素材：2012高中數(shù)學(xué)備課參考數(shù)學(xué)教學(xué)一道課本例題的演變.doc

一 道課本例題的演變 26江蘇省金湖縣外國(guó)語(yǔ)學(xué)校李東中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)工作通常是在鉆研數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的基礎(chǔ)上，精選并研究課本例題、習(xí)題，對(duì)所選題目作必要的演變和拓展，這樣才能讓學(xué)生有新鮮感，從而提高復(fù)習(xí)效率本文以蘇科版課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材八年級(jí)下冊(cè)第115頁(yè)的例1為例，具體說(shuō)明對(duì)問(wèn)題的演變處理，以期拋磚引玉原題如圖1，河對(duì)岸有一路燈桿AB，小明在點(diǎn)D處測(cè)得燈光下自己的影長(zhǎng)DF=3m，沿 J=ED方向到達(dá)點(diǎn)F處再測(cè)得自己的影長(zhǎng)FG 4m設(shè)小明身高為16m求路燈桿AB的高度 B D F G BD F G圖 1 圖 2一、解題方法的演變?cè)诮淌谠S多課本例、習(xí)題時(shí)，由于學(xué)生已有認(rèn)知水平的局限，無(wú)法引導(dǎo)他們獲取其他解法，但隨著所學(xué)知識(shí)的增加，特別是到中考復(fù)習(xí)時(shí)，引導(dǎo)他們探索其他解法就更可行，也更有效本題還有以下兩種解法另解1：如圖1，由題意知AEFG=ZCDG = XAG9。aA=B=0ItnG簀 器簀=B=B=A一G2，F(xiàn)25B而B(niǎo)4tanAFD -= A1O=， AB=64(m) 0另解2：如圖2，連結(jié)CE，并延長(zhǎng)EC交AB于點(diǎn)H，則CEDF，日上HE，CE=DF= 3mHB =CD =16m。 CEDFIAACEaoAAFGIJf =，得 m署=解AB 4()_二、題目的演變 (一)借助構(gòu)建逆命題尋求演變變式1如圖1，一路燈桿B高為64In，在燈光下，小明在點(diǎn)D處測(cè)得自己的影長(zhǎng)DF = 3m，沿BD方向到達(dá)點(diǎn)F處再測(cè)得自己的影長(zhǎng) FG=4In求小明的身高【答案及提示】小明的身高為16m變式2如圖1，一路燈桿 B高為64m，在燈光下，身高為1T的小明在點(diǎn)D處測(cè)得自己61I的影長(zhǎng)DF=3nl，他沿 D方向到達(dá)點(diǎn)F處時(shí)，自己的影長(zhǎng)FG如何變化?【答案及提示】此時(shí)小明的影長(zhǎng)FG為4m，變長(zhǎng)1i1l (二)借助背景中參照物的變換尋求演變 1路燈同側(cè)換異側(cè)變式3如圖3，路燈O下小明在點(diǎn)JE、D、F處的影長(zhǎng)分別為BM =16In，DN =06m，F(xiàn)尸=27m、F在同一條直線(xiàn)上，,若點(diǎn)、J)且 BD=DF=2m，求的值 o MBD P圖3【答案及提示】在圖3中，連結(jié)、 E，易得ACBD，CEDF，AC=BD=DF= CE =2In，則(二)C0MN，A0 E AONP = = IMN=NP，即16+(206)=06+2+，。=04 2懸空路燈換地?zé)糇兪?如圖4，小明站在一座大廈和一盞地?zé)?=)之間，當(dāng)小明在離地?zé)?m遠(yuǎn)的B處時(shí)，他頭部的影子正好與大廈正面垂掛的宣傳條幅頂端F重合；當(dāng)小明再向大廈走5m到D處時(shí)，頭部C的影子正好與條幅底端G重合已知條幅底端距地面8m，求該條幅FG的長(zhǎng)度 F G oBD E圖4【答案及提示】根據(jù)題意易得 AOABAOFE，AOCDoAOGE， AB FE= ，器=EAEODGBO=B颶C OE =0DGE。 AB=CD，。0BE =0DGE，即 5(FG+8)=10X8，F(xiàn)G=8(m) 3一盞路燈換兩盞變式5如圖5，晚上小明由路燈 B走向路燈D，當(dāng)他走到點(diǎn)P處時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后影子的頂部正好在路燈AB的底部B處，當(dāng)他向前再步行 12m到達(dá)點(diǎn)Q處時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前影子的頂部正好在路燈D的底部D處已知小明身高為16m，兩路燈的高度都是96na求兩路燈之間的距離【答案及提示】易得： L 、一cD = BDl和NQ=器由于尸=NQ，AB=CD，比較 、兩式可得JEP =QD，于是由 得方程 = DD，解得BP=3(m)，從而兩路燈之間的距離為18m變式6晚上小明走在大街上，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)他站在大街兩邊的兩盞路燈之間，并且自己被兩邊路燈照在地上的兩個(gè)影子成一條直線(xiàn)時(shí)，自己右邊的影子長(zhǎng)為3m，左邊影子長(zhǎng)為15nl(如圖6)已知小明身高18m，兩盞路燈的高度相同，兩盞路燈之間的距離為12nl，求路燈的高度 C圖6【答案及提示】設(shè)路燈高為 m，易得方程組 f1()I了8：面1：l土N 2z一 (L)BL D+BN =12十3十15(3)由(1)、(2)易知BN=2MD，與(3)聯(lián)立解得MD=55(m)，從而求得z=66(n】)變式7如圖7，在馬路兩側(cè)有兩盞路燈BA、D當(dāng)小明站在處時(shí)，由燈照射小明的影長(zhǎng)正好為，由燈照射小明的影長(zhǎng)為NE，如果BD：NB：NE：12：3：1，那么馬路兩側(cè)的兩盞路燈的高度是否相同?圖7【答案及提示】由題意得 MN NE， AB 而B(niǎo)E，IJ MN BN r CD = BD Lz由于BD：E =12：3：l，所以等式(1)、(2)的右邊相等，從而它們的左邊也相等，因此得AB=D，即馬路兩側(cè)的兩盞路燈高度相同變式8如圖8，在寬為16m的馬路兩側(cè)有兩盞路燈AD、B，當(dāng)小明站在F處時(shí)，由燈照射小明的影長(zhǎng)正好為F，由燈D照射小明的影長(zhǎng)為FB如果點(diǎn)(=)為馬路中心，點(diǎn)、O、F、B在同一條直線(xiàn)上，且測(cè)得OE+ F=8m，求兩路燈高度之和圖8FA =8+，易得EF =一FBgpAD =，B 同理Bc=職；RtZkEFO中，由勾股定理得EF。+。=(8一EF)，解得EF： ，、 AD+BC=( + ) = EF=百162 =16(m)，即兩路燈高度之和為16m (三)借助圖形有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)尋求演變變式9如圖9，身高16m的小明(AB)與路燈GH的底端日距離為6m，已知燈G離地面高為48m如果小明沿線(xiàn)段BH向路燈走去，當(dāng)小明走到BH的中點(diǎn)B1處時(shí)，求其影子BtC1的長(zhǎng)；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的砉到B2處時(shí)，求其 SY2C2；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的1到 3處時(shí)，按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當(dāng)小明走剩下路程的n十 l到處時(shí)，直接用n的代 數(shù)式表示小明的影子的長(zhǎng)【答案及提示】利用比例式易求得BlC1=罷()B()B=詈m，m，2：1=詈m，s()二 U o 由此規(guī)律可知 = (m) (四)借助解題過(guò)程的分析與反思尋求演變正如羅增儒教授所說(shuō)，分析解題過(guò)程“有益于洞察問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性與統(tǒng)一美”，“使我們對(duì)題目的認(rèn)識(shí)更加深刻和全回審視本例及上述幾個(gè)變式的解題過(guò)程，我們又得到觸及問(wèn)題本質(zhì)的三個(gè)變式 變式10如圖10，小明晚上在路燈下散步，已知小明的身高AB=h，燈P、Q離地面距離都為a，兩燈柱之間的距離DH =b如果小明在兩路燈之間行走，則他前后兩個(gè)影子的長(zhǎng)度之和(DA+AC)是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由圖 10【答案及提示】如圖10，。ABOP， AABCAOPC，塑 = =h A麗C =h 。一一即=OP：=：OC：，而 AC：Dn一凡同理可得DA= AH，DA+AC= (OA+AH)=是定值變式l1小明晚上在路燈下散步，已知小明的身高AB=h，燈P、Q離地面距離都為a，兩燈柱之間的距離DH=b如果小明不在兩路燈之間行走，在兩路燈之外行走(如圖)，則他前面兩個(gè)影子的長(zhǎng)度之差 CD還是定值嗎? U HAU圖 11【答案及提示】與變式10類(lèi)似，易得 AC D =a n =日)=a一n，一 也是定值變式12如圖12，小明晚上在路燈下散步，已知小明的身高AB=h，燈P離地面距離為a，如果小明在點(diǎn)朝著影子(如圖l2中箭頭所示)方向以速度t，勻速行走，那么他影子的頂端在 (下轉(zhuǎn)第l236頁(yè))( + + 1州 = 9所以 +1十1可麗 =+l(兩m)Il21am+6 +c-(、)又因?yàn)閍 +b +C=(am) +(bm) + (c)，令t廠(chǎng)()=，(0 m1且禮、mz)，則f(x)為下凸函數(shù)，所以 a+mc(Tmb+)n 即 a+mc(Tmb+m)麗a -“-n4b4a一，3 所以m6+m3(百3一。+mc)=1罟因此(2)式可化為 an Ab一+ Am+A + 6+cm 。cn+am 再 (3) 特別地，當(dāng)n=2T=1上式為，tt時(shí)，(上接第1234頁(yè))地面移動(dòng)的速度也是口嗎?為什么? PP圖12圖13【答案及提示】由題意設(shè)小明由點(diǎn)走到一 L一9n+Abb2-4-Ac C2-4-Aa 1+一 (、3入一1)，即為(1)式如此我們得到了一個(gè)更為一般的結(jié)論：定理如果a、b、c是滿(mǎn)足a“+b“+Cn=1的正數(shù)， 0，Ttm1且n、TnZ，那么一 一一 一I一 11anm。6 cna13一魯+Ab“+Ama十A m，+入問(wèn)題到此似乎可以說(shuō)已經(jīng)解決得令人較為滿(mǎn)意了，但是我記著張景中院士曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題解決前要進(jìn)一步想，問(wèn)題解決后則要退一步想”那么怎么退呢?我們把限制條件退一下，改成1次的已知a、b、c是滿(mǎn)足a+b+c：1的正數(shù)考慮：南+ +赤?我們有理由猜測(cè)當(dāng)a=b=c=1時(shí)，就是最小值如此我們得到問(wèn)題：已知a、b、c是滿(mǎn)足a+b+c=1的正數(shù)，求、一讓11 1、27：+ 我們的探究是從數(shù)學(xué)教學(xué)29年第6期的數(shù)學(xué)問(wèn)題與解答第768題開(kāi)始的，那么我們還是以上面的問(wèn)題作為結(jié)束吧!希望有興趣的讀者能從這里開(kāi)始，作出更漂亮的結(jié)果參考文獻(xiàn) 最新版)M】北京：1張景中新概