離散時間信號的傅里葉變換和離散傅里葉變換.doc

離散時間信號的傅里葉變換和離散傅里葉變換摘要本文主要介紹了離散時間信號的離散時間傅里葉變換及離散傅里葉變換，說明其在頻域的具體表示和分析，并通過定義的方法和矩陣形式的表示來給出其具體的計算方法。同時還介紹了與離散時間傅里葉變換（DTFT）和離散傅里葉變換（DFT）相關(guān)的線性卷積與圓周卷積，并講述它們之間的聯(lián)系，從而給出了用圓周卷積計算線性卷積的方法，即用離散傅里葉變換實現(xiàn)線性卷積。1. 離散時間傅里葉變換1.1離散時間傅里葉變換及其逆變換離散時間傅里葉變換為離散時間序列xn的傅里葉變換，是以復(fù)指數(shù)序列的序列來表示的（可對應(yīng)于三角函數(shù)序列），相當(dāng)于傅里葉級數(shù)的展開，為離散時間信號和線性時不變系統(tǒng)提供了一種頻域表示，其中是實頻率變量。時間序列xn的離散時間傅里葉變換定義如下： （1.1）通常是實變量的復(fù)數(shù)函數(shù)同時也是周期為的周期函數(shù)，并且的幅度函數(shù)和實部是的偶函數(shù)，而其相位函數(shù)和虛部是的奇函數(shù)。這是由于：（1.2）由于式（1.1）中的傅里葉系數(shù)xn可以用下面給出的傅里葉積分從中算出： （1.3）故可以稱該式為離散時間傅里葉逆變換（IDTFT），則式（1.1）和（1.3）構(gòu)成了序列xn的離散時間傅里葉變換對。上述定義給出了計算DTFT的方法，對于大多數(shù)時間序列其DTFT可以用收斂的幾何級數(shù)形式表示，例如序列xn=,此時其傅里葉變換可以寫成簡單的封閉形式。而一個序列xn的DTFT存在的充要條件是其為絕對可和序列，即：此時對于所有值有：1.2 離散時間傅里葉變換的性質(zhì)與線性卷積序列xn的離散時間傅里葉變換的一般性質(zhì)包括線性、時移、頻移、頻域微分、調(diào)制及卷積等。其中卷積性質(zhì)可表示為如下形式：一般來說，序列xn和hn的卷積和可以定義為如下形式：，或 卷積和運(yùn)算滿足交換率、結(jié)合率以及分配率，可以對卷積和作如下解釋：先將序列hk反轉(zhuǎn)得到h-k，然后將h-k平移（如果n0，右移n個抽樣周期；如果n0,左移n個抽樣周期）形成序列hn-k。然后形成乘積序列vk=xkhn-k，把vk的全部樣本求和即得到卷積和yn的第n個樣本。上述過程可用下圖表示：h-khn-kxkvkyn卷積和運(yùn)算的示意圖離散時間傅里葉變換的卷積性質(zhì)表明，序列g(shù)n和hn的線性卷積yn的離散時間傅里葉變換可以簡單地由它們各自的離散時間傅里葉變換和的積給出。這就為我們提供了一種計算序列g(shù)n和hn的線性卷積yn的重要方法：可先計算gn和hn的離散時間傅里葉變換和，然后將和相乘得到，最后作的離散時間傅里葉逆變換，而逆變換的結(jié)果就是yn序列。在一些應(yīng)用中，特別是序列為無限長序列時，基本離散時間傅里葉變換的方法可能比直接卷積計算起來更加方便，尤其是在快速傅里變換技術(shù)的應(yīng)用以后。在Matlab軟件中函數(shù)fregz可以用來計算序列的離散時間傅里葉變換在給定離散頻率點(diǎn)上的值，其變換序列是以的有理函數(shù)來描述的，使用形式為：H=fregz(num,den,w)，其中返回值H表示頻率響應(yīng)值，num和den為變換序列的有理函數(shù)的分母、分子系數(shù)向量（按升冪排列），w為0到之間指定的頻率點(diǎn)向量。為得到準(zhǔn)確的圖形，需要選擇大量的頻率點(diǎn)。2. 離散傅里葉變換2.1 離散傅里葉變換及其計算已知定義在的有限長序列xn及其離散時間傅里葉變換，通過在軸上（），對均勻抽樣得到（抽樣點(diǎn)為，）： （2.1）式中所得Xk為頻域上的有限長序列，長度為N，稱為時間序列xn的離散傅里葉變換（DFT）。若令 ，則DFT的定義式可表達(dá)為： （2.2）而與此相對，Xk的離散傅里葉逆變換（IDFT）為： （2.3）對于序列xn的離散傅里葉變換的計算，可以直接用上述定義式計算其N點(diǎn)DFT，也可利用定義的矩陣形式進(jìn)行計算。由于式（2.2）可用矩陣的形式表示為： （2.4）其中是N個離散傅里葉變換抽樣的向量，而是N個輸入抽樣的向量， ，矩陣是大小為NN的離散傅里葉變換矩陣，形式如下：通過這種矩陣形式的表示來計算序列xn的N點(diǎn)DFT將會變得更加直觀，并且可通過觀察矩陣的規(guī)律來達(dá)到簡化計算的目的。與DFT的矩陣計算方法相對應(yīng)，IDFT也有類似的矩陣計算： （2.5）與式（2.4）不同的是矩陣為：，其中表示矩陣的共軛。當(dāng)然，如果借助Matlab軟件來計算DFT和IDFT將會變得更簡便。常用的函數(shù)是：fft(x)和ifft(X)，用來計算時間序列xn的DFT及離散傅里葉抽樣序列Xk的IDFT。在上述函數(shù)中可指定輸出序列的長度，一般缺省時輸出長度與輸入序列相等，若指定長度小于輸入長度時原序列將被截短易出現(xiàn)錯誤，而大于時，輸入序列將用零填充，這在利用圓周卷積計算線性卷積時會用到（需先對待卷積的兩個序列補(bǔ)零）。2.2 離散時間傅里葉變換與離散傅里葉變換的關(guān)系一方面，從DFT的定義即式（2.1）可知，長為N的時間序列xn的N點(diǎn)離散傅里葉變換Xk是其離散時間傅里葉變換在N個均勻間隔頻率點(diǎn)上的抽樣，。若給定一個長為N的序列xn的N點(diǎn)離散傅里葉變換Xk，則可通過IDFT確定xn，從而計算其DTFT，即從DFT通過內(nèi)插得到DTFT，具體表示為下式： （2.6）另一方面，從時間序列xn的離散時間傅里葉變換的N個等間隔點(diǎn)抽樣生成N個頻率樣本，可將其看作一個N點(diǎn)的離散傅里葉變換Yk，而Yk的IDFT為序列yn，經(jīng)推導(dǎo)可得到如下關(guān)系： （2.7） 這表明，經(jīng)xn的頻域抽樣所恢復(fù)的序列yn是將xn平移并無限次疊加對原xn上得到的，每次復(fù)制移動的距離為N，最后的疊加結(jié)果取區(qū)間。即頻域采樣造成時域周期延拓，對于非有限長序列周期延拓后混疊，而對于M點(diǎn)的有限長序列，頻域抽樣不失真的條件是頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N大于M，此時有yn=xn，否則用xn的樣本產(chǎn)生yn時會有時域混疊，不能從yn恢復(fù)。2.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)與序列的圓周卷積離散傅里葉變換的一些性質(zhì)與離散時間傅里葉變換的性質(zhì)相似，如線性、循環(huán)時移、循環(huán)頻移、對偶、N點(diǎn)循環(huán)卷積、調(diào)制等。在這些性質(zhì)中涉及到循環(huán)移位的概念，而在DTFT性質(zhì)中是沒有的。序列的循環(huán)移位是為了使一個定義在的序列在移位之后仍舊位于范圍中，為此引入模運(yùn)算來定義這樣一種平移： （2.8）相當(dāng)于將長度為N的序列以N個等間隔點(diǎn)放在一個圓柱體的圓周上，按順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)個空間點(diǎn)。接下來對循環(huán)卷積給出定義：對于兩個長度為N的序列g(shù)n和hn，其N點(diǎn)循環(huán)卷積為： （2.9）根據(jù)離散傅里葉變換的性質(zhì)，兩個長度為N的序列的循環(huán)卷積也可通過計算它們的N點(diǎn)離散傅里葉變換的積后，運(yùn)用離散傅里葉逆變換計算得到。類似前面用矩陣的形式直觀地計算序列的離散傅里葉變換及逆變換，式（2.9）所示的循環(huán)卷積也可用如下的矩陣形式計算：2.4 用離散傅里葉變換實現(xiàn)線性卷積由于兩個有限長序列的線性卷積，如長度為N的序列g(shù)n和長度為M的序列hn，等于長度為N+M-1的兩個序列（gn序列后補(bǔ)M-1個零）和（hn序列后補(bǔ)N-1個零）的圓周卷積。故可以先對原序列補(bǔ)零后分別進(jìn)行N+M-1點(diǎn)的離散傅里葉變換，得到 和，然后對積做M+N-1點(diǎn)的離散傅里葉逆變換得到。當(dāng)采用快速傅里葉變換技術(shù)后，一個N點(diǎn)的離散傅里葉變換可以只用大約次算術(shù)運(yùn)算有效實現(xiàn)，故該種計算線性卷積的方法是有意義的。3 總結(jié)本文簡要地介紹了離散時間傅里葉變換和離散傅里葉變換以及其逆變換，討論了兩者的關(guān)系及時間序列經(jīng)頻域