幾何模塊(教師版).doc

教 師：學(xué) 生：上課時(shí)間：2013年 月 日 : - :上課地點(diǎn)： 校區(qū)上課進(jìn)度：第 講 幾何模塊綜合復(fù)習(xí)知識(shí)框架板塊一 三角形等高模型我們已經(jīng)知道三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積底高從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積如果三角形的底不變，高越大(小)，三角形面積也就越大(小)；如果三角形的高不變，底越大(小)，三角形面積也就越大(小)；這說(shuō)明當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，底變?yōu)樵瓉?lái)的，則三角形面積與原來(lái)的一樣這就是說(shuō)：一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化同時(shí)也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無(wú)數(shù)多個(gè)不同的形狀在實(shí)際問(wèn)題的研究中，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖 夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比板塊二 鳥(niǎo)頭模型兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比如圖在中，分別是上的點(diǎn)如圖 (或在的延長(zhǎng)線上，在上)，則 板塊三 任意四邊形模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系板塊四 梯形模型的應(yīng)用梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：；的對(duì)應(yīng)份數(shù)為梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過(guò)構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果 板塊五 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形模塊六 燕尾定理在三角形中，相交于同一點(diǎn)，那么上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)楹偷男螤詈芟笱嘧拥奈舶?，所以這個(gè)定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.通過(guò)一道例題證明一下燕尾定理：如右圖，是上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你說(shuō)明：【解析】 三角形與三角形同高，分別以、為底，所以有；三角形與三角形同高，；三角形與三角形同高，所以；綜上可得. 例題精講【例 1】 如圖，長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，點(diǎn)、分別是長(zhǎng)方形邊上的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積 【解析】 本題是等底等高的兩個(gè)三角形面積相等的應(yīng)用連接、，同理，(平方厘米)【例 2】 長(zhǎng)方形的面積為36，、為各邊中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，問(wèn)陰影部分面積是多少？【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接、，如下圖： 可得：、，而 即； 而， 所以陰影部分的面積是： 解法二：特殊點(diǎn)法找的特殊點(diǎn)，把點(diǎn)與點(diǎn)重合，那么圖形就可變成右圖： 這樣陰影部分的面積就是的面積，根據(jù)鳥(niǎo)頭定理，則有： 【例 3】 已知的面積為平方厘米，求的面積【解析】 ，設(shè)份，則份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米【例 4】 (2007年”走美”五年級(jí)初賽試題)如圖所示，正方形邊長(zhǎng)為6厘米，三角形的面積為_(kāi)平方厘米【解析】 由題意知、，可得根據(jù)”共角定理”可得，；而；所以；同理得，;，故(平方厘米)【例5】(小數(shù)報(bào)競(jìng)賽活動(dòng)試題)如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對(duì)角線AC、BD分成四個(gè)部分，AOB面積為1平方千米，BOC面積為2平方千米，COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是692平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【分析】 根據(jù)蝴蝶定理求得平方千米，公園四邊形的面積是平方千米，所以人工湖的面積是平方千米【例6】如圖，平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，、的面積依次是2、4、4和6求：求的面積；求的面積【解析】 根據(jù)題意可知，的面積為，那么和的面積都是，所以的面積為；由于的面積為8，的面積為6，所以的面積為，根據(jù)蝴蝶定理，所以，那么【例7】如圖，長(zhǎng)方形中，三角形的面積為平方厘米，求長(zhǎng)方形的面積 【解析】 連接，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以平方厘米，所以平方厘米因?yàn)?，所以長(zhǎng)方形的面積是平方厘米【例8】(2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營(yíng))如下圖，梯形的平行于，對(duì)角線，交于，已知與的面積分別為 平方厘米與平方厘米，那么梯形的面積是_平方厘米 【解析】 根據(jù)梯形蝴蝶定理，可得，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以(平方厘米)那么梯形的面積為(平方厘米)【例9】如圖面積為平方厘米的正方形中，是邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積【解析】 因?yàn)槭沁吷系娜确贮c(diǎn)，所以，設(shè)份，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道份，份，份，因此正方形的面積為份，所以，所以平方厘米【例10】 如圖，在長(zhǎng)方形中，厘米，厘米，求陰影部分的面積【解析】 方法一：如圖，連接，將陰影部分的面積分為兩個(gè)部分，其中三角形的面積為平方厘米由于，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以，而平方厘米，所以平方厘米，陰影部分的面積為平方厘米方法二：如圖，連接，由于，設(shè)份，根據(jù)梯形蝴蝶定理， 份，份，份，因此份，份，而平方厘米，所以平方厘米【例11】 (2007年”迎春杯”高年級(jí)初賽)如圖，長(zhǎng)方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為_(kāi)平方厘米 連接、四邊形為梯形，所以，又根據(jù)蝴蝶定理，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)那么長(zhǎng)方形的面積為平方厘米，四邊形的面積為(平方厘米)【例12】如圖，平行，若，那么_【解析】 根據(jù)金字塔模型，設(shè)份，則份，份，所以【例13】 如圖， 中，互相平行，則 【解析】 設(shè)份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，所以，因此份，份，進(jìn)而有份，份，所以【例14】如圖：平行， ，求的長(zhǎng)度【解析】 在沙漏模型中，因?yàn)?，所以，在金字塔模型中有：，因?yàn)?，所以【?5】(年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽)如圖，四邊形和都是平行四邊形，四邊形的面積是，則四邊形的面積_【解析】 因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，所以，所以為平行四邊形，那么，所以又，所以，根?jù)沙漏模型，所以【例16】（2009年第七屆希望杯五年級(jí)一試試題）如圖，三角形的面積是，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，與交于點(diǎn)則四邊形的面積等于 【解析】 方法一：連接，根據(jù)燕尾定理，, 設(shè)份，則份，份，份，如圖所標(biāo)所以方法二：連接，由題目條件可得到，所以，而所以則四邊形的面積等于【例17】如圖所示，在四邊形中，四邊形的面積是，那么平行四邊形的面積為_(kāi) 【解析】 連接,根據(jù)燕尾定理,設(shè),則其他圖形面積，如圖所標(biāo)，所以.【例18】 （2009年清華附中入學(xué)測(cè)試題）如圖，四邊形是矩形，、分別是、上的點(diǎn)，且，與相交于，若矩形的面積為，則與的面積之和為 【解析】 (法1)如圖，過(guò)做的平行線交于，則，所以，即，所以且，故，則所以兩三角形面積之和為(法2)如上右圖，連接、根據(jù)燕尾定理，而，所以，則，所以兩個(gè)三角形的面積之和為15【例19】(2008年“學(xué)而思杯”六年級(jí)數(shù)學(xué)試題)如右圖，三角形中，且三角形的面積是，則三角形的面積為_(kāi)，三角形的面積為_(kāi)，三角形的面積為_(kāi) 【分析】 連接、由于，所以，故；根據(jù)燕尾定理，所以，則，；那么；同樣分析可得，則，所以，同樣分析可得，所以，【例20】?jī)蓷l線段把三角形分為三個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，如圖所示， 三個(gè)三角形的面積 分別是，則陰影四邊形的面積是多少？【解析】 方法一：遇到?jīng)]有標(biāo)注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點(diǎn)標(biāo)注字母，方便后面的計(jì)算.再看這道題，出現(xiàn)兩個(gè)面積相等且共底的三角形設(shè)三角形為，和交于，則，再連結(jié)所以三角形的面積為3.設(shè)三角形的面積為，則，所以，四邊形的面積為方法二：設(shè)，根據(jù)燕尾定理,得到，再根據(jù)向右下飛的燕子，有，解得四邊形的面積為家庭作業(yè)作業(yè)檢測(cè)1.如圖，三角形中，三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形的面積是多少？【解析】 ，；又，(平方厘米)2.(2009年第七屆”希望杯”二試六年級(jí))如圖，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面積分別是89，28，26那么三角形的面積是 【解析】 根據(jù)題意可知，所以，那么，故3.是長(zhǎng)方形內(nèi)一點(diǎn)，已知的面積是，的面積是，求的面積是多少？【解析】 由于是長(zhǎng)方形，所以，而，所以，則，所以4.如圖，求【解析】 本題題目本身很簡(jiǎn)單，但它把本講的兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)融合到一起，既可以看作是”當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)度的乘積比”的反復(fù)運(yùn)用，也可以看作是找點(diǎn)，最妙的是其中包含了找點(diǎn)的種情況最后求得的面積為5.如圖，在中，已知、分別在邊、上，與相交于,若、和的面積分別是3、2、1，則的面積是 【解析】 這道題給出的條件較少，需要運(yùn)用共邊定理和蝴蝶定理來(lái)求解根據(jù)蝴蝶定理得 設(shè)，根據(jù)共邊定理我們可以得，解得6.右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米 【分析】 連接由于與是平行的，所以也是梯形，那么根據(jù)蝴蝶定理，故，所以(平方厘米)7.(98迎春杯初賽)如圖，長(zhǎng)方形中，是直角三角形且面積為54，的長(zhǎng)是16，的長(zhǎng)是9那么四邊形的面積是 【解析】 解法一：連接，依題意，所以，則又因?yàn)?，所以，得，所?解法二：由于，所以，而，根據(jù)蝴蝶定理，所以，所以8.如圖，中，與平行，的面積是1平方厘米那么的面積是 平方厘米【解析】 因?yàn)椋c平行，根據(jù)相似模型可知，平方厘米，則平方厘米，又因?yàn)?，所?平方厘米)9.如圖，線段與垂直，已知，那么圖中陰影部分面積是多少？ 【解析】 解法一：這個(gè)圖是個(gè)對(duì)稱圖形，且各邊長(zhǎng)度已經(jīng)給出，不妨連接這個(gè)圖形的對(duì)稱軸看看作輔助線，則圖形關(guān)于對(duì)稱，有，且 設(shè)的面積為2份，則的面積為3份，直角三角形的面積為8份因?yàn)?，而陰影部分的面積為4份，所以陰影部分的面積為解法二：連接、由于，所以，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以，即；又，所以10.如右圖，三角形中，求.【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以11. 如右圖，三角形中，且三角形的面積是，求三角形的面積【解析】 連接BG，份根據(jù)燕尾定理，得(份)，(份)，則(份)，因此,同理連接AI、CH得,所以三角形GHI的面積是1，所以三角形ABC的面積是1912.如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA 的三等分點(diǎn),求陰影部分面積. 【解析】 三角形在開(kāi)會(huì)，那么就好好利用三角形中最好