（試題 試卷 真題）專題33 直線（線段）平移 【教師版】

專題33 直線（線段）平移【母題來源】2013年甘肅天水第25題（12分）【母題原題】如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）兩點(diǎn)。（1）求拋物線的解析式；（2）將直線OB向下平移m個(gè)單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線上，且NBO=ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足PODNOB的點(diǎn)P坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對應(yīng)）。又點(diǎn)D在直線y=xm上，x23x=xm，即x24x+m=0。拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，=164m=0，解得：m=4。此時(shí)x1=x2=2，y=x23x=2。D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）。（3）直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，3）。根據(jù)軸對稱性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得出ABO=ABO，設(shè)直線AB的解析式為y=k2x+3，過點(diǎn)（4，4），4k2+3=4，解得：k2=。直線AB的解析式是y=。NBO=ABO，ABO=ABO，BA和BN重合，即點(diǎn)N在直線AB上。設(shè)點(diǎn)N（n，），又點(diǎn)N在拋物線y=x23x上，=n23n，解得：n1=，n2=4（不合題意，舍去）。N點(diǎn)的坐標(biāo)為（）。如圖，將NOB沿x軸翻折，得到N1OB1，則N1（），B1（4，4）。O、D、B1都在直線y=x上。由勾股定理，得OD=，OB1=，P1ODNOB，NOBN1OB1，P1ODN1OB1。點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（）。將OP1D沿直線y=x翻折，可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P2（）。綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）或（）。【命題意圖】本題是基于二次函數(shù)的代數(shù)幾何綜合題，綜合考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、一次函數(shù)（直線）的平移、一元二次方程根的判別式、翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換以及相似三角形等重要知識(shí)點(diǎn)。本題將初中階段重點(diǎn)代數(shù)、幾何知識(shí)熔于一爐，難度很大，對學(xué)生能力要求極高，具有良好的區(qū)分度，是一道非常好的中考壓軸題。1.【2013年江蘇揚(yáng)州10分】如圖，拋物線交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B。（1）求直線AB對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）有一寬度為1的直尺平行于x軸，在點(diǎn)A、B之間平行移動(dòng)，直尺兩長邊所在直線被直線AB和拋物線截得兩線段MN、PQ，設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且0m3試比較線段MN與PQ的大小。【答案】解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=8；當(dāng)y=0時(shí)，x22x8=0，解得，x1=4，x2=8。A（0，8），B（4，0）。設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，將A（0，8），B（4，0）分別代入解析式得，解得，。一次函數(shù)解析式為y=2x8。2.【2013年江蘇泰州10分】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中直線y=x2與y軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)B（m，2）。（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）將直線y=x2向上平移后與反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C，且ABC的面積為18，求平移后的直線的函數(shù)關(guān)系式。【答案】解：（1）將B坐標(biāo)代入直線y=x2中得：m2=2，解得：m=4，B（4，2），即BE=4，OE=2。設(shè)反比例解析式為，將B（4，2）代入反比例解析式得：k=8，反比例解析式為。（2）設(shè)平移后直線解析式為y=x+b，C（a，a+b），對于直線y=x2，令x=0求出y=2，得到OA=2，過C作CDy軸，過B作BEy軸，將C坐標(biāo)代入反比例解析式得：a（a+b）=8，。聯(lián)立，解得：b=7。平移后直線解析式為y=x+7。3.【2013年湖南益陽10分】閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xp，yp）由xpx1=x2xp，得，同理，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為由勾股定理得，所以A、B兩點(diǎn)間的距離公式為。注：上述公式對A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立。解答下列問題：如圖2，直線l：y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，過P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C。（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連結(jié)AB、AC，求證ABC為直角三角形；（3）將直線l平移到C點(diǎn)時(shí)得到直線l，求兩直線l與l的距離。（3）如圖，過點(diǎn)C作CGAB于G，過點(diǎn)A作AHPC于H，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）。又直線l與l之間的距離等于點(diǎn)C到l的距離CG，直線l與l之間的距離為。4.【2013年福建晉江13分】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動(dòng)直線l從y軸出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向右平移，直線l與直線y=x相交于點(diǎn)P，以O(shè)P為半徑的P與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B設(shè)直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）填空：當(dāng)t=1時(shí)，P的半徑為 2 ，OA= 2 ，OB= 2 ；（2）若點(diǎn)C是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且以點(diǎn)O、P、C、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形請你直接寫出所有符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)；（用含t的代數(shù)式表示）當(dāng)點(diǎn)C在直線y=x上方時(shí)，過A、B、C三點(diǎn)的Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，連接DC、DA，試判斷DAC的形狀，并說明理由【答案】解：（1）；2；2。（2）符合條件的點(diǎn)C有3個(gè)，分別為C1（t，3t）、C2（t，t）、C3（t，t）。（3）DAC是等腰直角三角形。理由如下：當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，如圖2，連接DA、DC、PA、AC，由（2）可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，3t），由點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，t），點(diǎn)A坐標(biāo)為（2t，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2t），可知OA=OB=2t，OAB是等腰直角三角形。又PO=PB，進(jìn)而可得OPB也是等腰直角三角形，則POB=PBO=45。AOB=90，AB為P的直徑。A、P、B三點(diǎn)共線。又BCOP，CBE=POB=45。ABC=180CBEPBO=90。AC為Q的直徑。DADC。CDE+ADO=90。過點(diǎn)C作CEy軸于點(diǎn)E，則有DCE+CDE=90，ADO=DCE。RtDCERtADO，即，解得OD=t或OD=2t。依題意，點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合，舍去OD=2t，只取OD=t。，即相似比為1，此時(shí)兩個(gè)三角形全等，則DC=AD。DAC是等腰直角三角形。當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時(shí)，如圖3，同上可證DAC也是等腰直角三角形。綜上所述，當(dāng)點(diǎn)C在直線y=x上方時(shí)，DAC必為等腰直角三角形。正確作出圖形，找到線段CD與AD之間的關(guān)聯(lián)，這就是RtDCERtADO，通過計(jì)算可知其相似比為1，即兩個(gè)三角形全等，從而得到CD=AD，DAC為等腰直角三角形。本問符合條件的點(diǎn)C有2個(gè)，因此存在兩種情形，分別如答圖2和答圖3所示。5.【2013年甘肅天水12分】如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）兩點(diǎn)。（1）求拋物線的解析式；（2）將直線OB向下平移m個(gè)單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線上，且NBO=ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足PODNOB的點(diǎn)P坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對應(yīng)）。（3）直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，3）。根據(jù)軸對稱性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得出ABO=ABO，設(shè)直線AB的解析式為y=k2x+3，過點(diǎn)（4，4），4k2+3=4，解得：k2=。直線AB的解析式是y=。NBO=ABO，ABO=ABO，BA和BN重合，即點(diǎn)N在直線AB上。設(shè)點(diǎn)N（n，），又點(diǎn)N在拋物線y=x23x上，=n23n，解得：n1=，n2=4（不合題意，舍去