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2.12 函數(shù)的綜合問題知識(shí)梳理函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾方面:1.函數(shù)內(nèi)容本身的相互綜合,如函數(shù)概念、性質(zhì)、圖象等方面知識(shí)的綜合.2.函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的綜合,如方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等方面的內(nèi)容與函數(shù)的綜合.這是高考主要考查的內(nèi)容.3.函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用問題的綜合.點(diǎn)擊雙基1.已知函數(shù)f(x)=lg(2xb)(b為常數(shù)),若x1,+)時(shí),f(x)0恒成立,則A.b1 B.b1 C.b1 D.b=1解析:當(dāng)x1,+)時(shí),f(x)0,從而2xb1,即b2x1.而x1,+)時(shí),2x1單調(diào)增加,b21=1.答案:A2.(2003年鄭州市質(zhì)檢題)若f(x)是R上的減函數(shù),且f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,3)和B(3,1),則不等式|f(x+1)1|2的解集是_.解析:由|f(x+1)1|2得2f(x+1)12,即1f(x+1)3.又f(x)是R上的減函數(shù),且f(x)的圖象過點(diǎn)A(0,3),B(3,1),f(3)f(x+1)f(0).0x+13,1x2.答案:(1,2)典例剖析【例1】 取第一象限內(nèi)的點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),使1,x1,x2,2依次成等差數(shù)列,1,y1,y2,2依次成等比數(shù)列,則點(diǎn)P1、P2與射線l:y=x(x0)的關(guān)系為A.點(diǎn)P1、P2都在l的上方B.點(diǎn)P1、P2都在l上C.點(diǎn)P1在l的下方,P2在l的上方D.點(diǎn)P1、P2都在l的下方剖析:x1=+1=,x2=1+=,y1=1=,y2=,y1x1,y2x2,P1、P2都在l的下方.答案:D【例2】 已知f(x)是R上的偶函數(shù),且f(2)=0,g(x)是R上的奇函數(shù),且對(duì)于xR,都有g(shù)(x)=f(x1),求f(2002)的值.解:由g(x)=f(x1),xR,得f(x)=g(x+1).又f(x)=f(x),g(x)=g(x),故有f(x)=f(x)=g(x+1)=g(x1)=f(x2)=f(2x)=g(3x)=g(x3)=f(x4),也即f(x+4)=f(x),xR.f(x)為周期函數(shù),其周期T=4.f(2002)=f(45002)f(2)=0.評(píng)述:應(yīng)靈活掌握和運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì).【例3】 函數(shù)f(x)=(m0),x1、x2R,當(dāng)x1+x2=1時(shí),f(x1)+f(x2)=.(1)求m的值;(2)數(shù)列an,已知an=f(0)+f()+f()+f()+f(1),求an.解:(1)由f(x1)+f(x2)=,得+=,4+4+2m=4+m(4+4)+m2.x1+x2=1,(2m)(4+4)=(m2)2.4+4=2m或2m=0.4+42=2=4,而m0時(shí)2m2,4+42m.m=2.(2)an=f(0)+f()+f()+f()+f(1),an=f(1)+f()+ f()+f()+f(0).2an=f(0)+f(1)+f()+f()+f(1)+f(0)=+=.an=.深化拓展用函數(shù)的思想處理方程、不等式、數(shù)列等問題是一重要的思想方法.【例4】 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意x、yR,有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x0時(shí),f(x)0,f(1)=2.(1)證明f(x)是奇函數(shù);(2)證明f(x)在R上是減函數(shù);(3)求f(x)在區(qū)間3,3上的最大值和最小值.(1)證明:由f(x+y)=f(x)+f(y),得fx+(x)=f(x)+f(x),f(x)+ f(x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0),f(0)=0.從而有f(x)+f(x)=0.f(x)=f(x).f(x)是奇函數(shù).(2)證明:任取x1、x2R,且x1x2,則f(x1)f(x2)=f(x1)fx1+(x2x1)=f(x1)f(x1)+f(x2x1)=f(x2x1).由x1x2,x2x10.f(x2x1)0.f(x2x1)0,即f(x1)f(x2),從而f(x)在R上是減函數(shù).(3)解:由于f(x)在R上是減函數(shù),故f(x)在3,3上的最大值是f(3),最小值是f(3).由f(1)=2,得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3(2)=6,f(3)=f(3)=6.從而最大值是6,最小值是6.深化拓展對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y,定義運(yùn)算x*y=ax+by+cxy,其中a、b、c是常數(shù),等式右邊的運(yùn)算是通常的加法和乘法運(yùn)算.現(xiàn)已知1*2=3,2*3=4,并且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)m,使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,都有x*m=x,試求m的值.提示:由1*2=3,2*3=4,得b=2+2c,a=16c.又由x*m=ax+bm+cmx=x對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立,b=0=2+2c.c=1.(16c)+cm=1.1+6m=1.m=4.答案:4.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.已知y=f(x)在定義域1,3上為單調(diào)減函數(shù),值域?yàn)?,7,若它存在反函數(shù),則反函數(shù)在其定義域上A.單調(diào)遞減且最大值為7B.單調(diào)遞增且最大值為7C.單調(diào)遞減且最大值為3D.單調(diào)遞增且最大值為3解析:互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自定義區(qū)間上有相同的增減性,f1(x)的值域是1,3.答案:C2.(2003年鄭州市質(zhì)檢題)關(guān)于x的方程|x24x+3|a=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的值是_.解析:作函數(shù)y=|x24x+3|的圖象,如下圖.由圖象知直線y=1與y=|x24x+3|的圖象有三個(gè)交點(diǎn),即方程|x24x+3|=1也就是方程|x24x+3|1=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,因此a=1.答案:13.(2003年春季北京)若存在常數(shù)p0,使得函數(shù)f(x)滿足f(px)=f(px)(xR),則f(x)的一個(gè)正周期為_.解析:由f(px)=f(px),令px=u,f(u)=f(u)=f(u+),T=或的整數(shù)倍.答案:(或的整數(shù)倍)4.已知關(guān)于x的方程sin2x2sinxa=0有實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.解:a=sin2x2sinx=(sinx1)21.1sinx1,0(sinx1)24.a的范圍是1,3.5.(2004年上海,19)記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳,g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1)的定義域?yàn)锽.(1)求A;(2)若BA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)由20,得0,x1或x1,即A=(,1)1,+).(2)由(xa1)(2ax)0,得(xa1)(x2a)0.a1,a+12a.B=(2a,a+1).BA,2a1或a+11,即a或a2.而a1,a1或a2.故當(dāng)BA時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,2,1).培養(yǎng)能力6.(理)已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b0,cR).若f(x)的定義域?yàn)?,0時(shí),值域也是1,0,符合上述條件的函數(shù)f(x)是否存在?若存在,求出f(x)的表達(dá)式;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:設(shè)符合條件的f(x)存在,函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=,又b0,0.當(dāng)0,即0b1時(shí),函數(shù)x=有最小值1,則或(舍去).當(dāng)1,即1b2時(shí),則(舍去)或(舍去).當(dāng)1,即b2時(shí),函數(shù)在1,0上單調(diào)遞增,則解得 綜上所述,符合條件的函數(shù)有兩個(gè),f(x)=x21或f(x)=x2+2x.(文)已知二次函數(shù)f(x)=x2+(b+1)x+c(b0,cR).若f(x)的定義域?yàn)?,0時(shí),值域也是1,0,符合上述條件的函數(shù)f(x)是否存在?若存在,求出f(x)的表達(dá)式;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=,又b0,.設(shè)符合條件的f(x)存在,當(dāng)1時(shí),即b1時(shí),函數(shù)f(x)在1,0上單調(diào)遞增,則 當(dāng)1,即0b1時(shí),則(舍去).綜上所述,符合條件的函數(shù)為f(x)=x2+2x.7.(2005年春季上海,21)已知函數(shù)f(x)=x+的定義域?yàn)椋?,+),且f(2)=2+.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.(1)求a的值.(2)問:|PM|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求四邊形OMPN面積的最小值.解:(1)f(2)=2+=2+,a=.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則有y0=x0+,x00,由點(diǎn)到直線的距離公式可知,|PM|=,|PN|=x0,有|PM|PN|=1,即|PM|PN|為定值,這個(gè)值為1.(3)由題意可設(shè)M(t,t),可知N(0,y0).PM與直線y=x垂直,kPM1=1,即=1.解得t=(x0+y0).又y0=x0+,t=x0+.SOPM=+,SOPN=x02+.S四邊形OMPN=SOPM+SOPN=(x02+)+1+.當(dāng)且僅當(dāng)x0=1時(shí),等號(hào)成立.此時(shí)四邊形OMPN的面積有最小值1+.探究創(chuàng)新8.有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形鋼板,現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行切割、焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體形無蓋容器(切、焊損耗忽略不計(jì)).有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)作了如下設(shè)計(jì):如圖(a),在鋼板的四個(gè)角處各切去一個(gè)小正方形,剩余部分圍成一個(gè)長(zhǎng)方體,該長(zhǎng)方體的高為小正方形邊長(zhǎng),如圖(b).(1)請(qǐng)你求出這種切割、焊接而成的長(zhǎng)方體的最大容積V1;(2)由于上述設(shè)計(jì)存在缺陷(材料有所浪費(fèi)),請(qǐng)你重新設(shè)計(jì)切、焊方法,使材料浪費(fèi)減少,而且所得長(zhǎng)方體容器的容積V2V1.解:(1)設(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x,則焊接成的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為42x,高為x,V1=(42x)2x=4(x34x2+4x)(0x2).V1=4(3x28x+4).令V1=0,得x1=,x2=2(舍去).而V1=12(x)(x2),又當(dāng)x時(shí),V10;當(dāng)x2時(shí),V10,當(dāng)x=時(shí),V1取最大值.(2)重新設(shè)計(jì)方案如下:如圖,在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形;如圖,將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間;如圖,將圖焊成長(zhǎng)方體容器.新焊長(zhǎng)方體容器底面是一長(zhǎng)方形,長(zhǎng)為3,寬為2,此長(zhǎng)方體容積V2=321=6,顯然V2V1.故第二種方案符合要求.思悟小結(jié)1.函數(shù)知識(shí)可深可淺,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)掌握好分寸,如二次函數(shù)問題應(yīng)高度重視,其他如分類討論、探索性問題屬熱點(diǎn)內(nèi)容,應(yīng)適當(dāng)加強(qiáng).2.數(shù)形結(jié)合思想貫穿于函數(shù)研究的各個(gè)領(lǐng)域的全部過程中,掌握了這一點(diǎn),將會(huì)體會(huì)到函數(shù)問題既千姿百態(tài),又有章可循.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛數(shù)形結(jié)合和數(shù)形轉(zhuǎn)化是解決本章問題的重要思想方法,應(yīng)要求學(xué)生熟練掌握用函數(shù)的圖象及方程的曲線去處理函數(shù)、方程、不等式等問題.拓展題例【例1】 設(shè)f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù),且對(duì)任意a、b1,1,當(dāng)a+b0時(shí),都有0.(1)若ab,比較f(a)與f(b)的大?。唬?)解不等式f(x)f(x);(3)記P=x|y=f(xc),Q=x|y=f(xc2),且PQ=,求c的取值范圍.解:設(shè)1x1x21,則x1x20,0.x1x20,f(x1)+f(x2)0.f(x1)f(x2).又f(x)是奇函數(shù),f(x2)=f(x2).f(x1)f(x2).f(x)是增函數(shù).(1)ab,f(a)f(b).(2)由f(x)f(x),得 x.不等式的解集為x|x.(3)由1xc1,得1+cx1+c,P=x|1+cx1+c.由1xc21,得1+c2x1+c2,Q=x|1+c2x1+c2.PQ=,1+c1+c2或1+c1+c2,解得c2或c1.【例2】 (2003年南昌市高三第一次質(zhì)量調(diào)研測(cè)試題)已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)=x+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對(duì)稱.(1)求f(x)的解析式;(2)(文)若g(x)=f(x)x+ax,且g(x)在區(qū)間(0,2上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(理)若g(x)=f(x)+,且g(x)在區(qū)間(0,2上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)設(shè)f(x)圖象上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(0,1)的對(duì)稱點(diǎn)(x,2y)在h(x)的圖象上.2y=x+2.y=x+,即f(x)=x+.(2)(文)g(x)=(x+)x+ax,即g(x)=x2+ax+1.g(x)在(0,2上遞減2,a4.(理)g(x)=x+.g(x)=1,g(x)在(0,2上遞減,10在x(0,2時(shí)恒成立,即ax21在x(0,2時(shí)恒成立.x(0,2時(shí),(x21)max=3,a3.【例3】 (2003年山東濰坊市第二次模擬考試題)在4月份(共30天),有一新款服裝投放某專賣店銷售,日銷售量(單位:件)f(n)關(guān)于時(shí)間n(1n30,nN*)的函數(shù)關(guān)系如下圖所示,其中函數(shù)f(n)圖象中的點(diǎn)位于斜率為5和3的兩條直線上,兩直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,且第m天日銷售量最大.(1)求f(n)的表達(dá)式,及前m天的銷售總數(shù);(2)按規(guī)律,當(dāng)該專賣店銷售總數(shù)超過400件時(shí),社會(huì)上流行該服裝,而日銷售量連續(xù)下降并低于30件時(shí),該
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