第一輪數(shù)學(xué)：2.12函數(shù)的綜合問題

2.12 函數(shù)的綜合問題知識梳理函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾方面：1.函數(shù)內(nèi)容本身的相互綜合，如函數(shù)概念、性質(zhì)、圖象等方面知識的綜合.2.函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識點的綜合，如方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等方面的內(nèi)容與函數(shù)的綜合.這是高考主要考查的內(nèi)容.3.函數(shù)與實際應(yīng)用問題的綜合.點擊雙基1.已知函數(shù)f（x）=lg（2xb）（b為常數(shù)），若x1，+）時，f（x）0恒成立，則A.b1 B.b1 C.b1 D.b=1解析：當(dāng)x1，+）時，f（x）0，從而2xb1，即b2x1.而x1，+）時，2x1單調(diào)增加，b21=1.答案：A2.（2003年鄭州市質(zhì)檢題）若f（x）是R上的減函數(shù)，且f（x）的圖象經(jīng)過點A（0，3）和B（3，1），則不等式|f（x+1）1|2的解集是_.解析：由|f（x+1）1|2得2f（x+1）12，即1f（x+1）3.又f（x）是R上的減函數(shù)，且f（x）的圖象過點A（0，3），B（3，1），f（3）f（x+1）f（0）.0x+13，1x2.答案：（1，2）典例剖析【例1】 取第一象限內(nèi)的點P1（x1，y1），P2（x2，y2），使1，x1，x2，2依次成等差數(shù)列，1，y1，y2，2依次成等比數(shù)列，則點P1、P2與射線l:y=x（x0）的關(guān)系為A.點P1、P2都在l的上方B.點P1、P2都在l上C.點P1在l的下方，P2在l的上方D.點P1、P2都在l的下方剖析：x1=+1=，x2=1+=，y1=1=，y2=，y1x1，y2x2，P1、P2都在l的下方.答案：D【例2】 已知f（x）是R上的偶函數(shù)，且f（2）=0，g（x）是R上的奇函數(shù)，且對于xR，都有g(shù)（x）=f（x1），求f（2002）的值.解：由g（x）=f（x1），xR，得f（x）=g（x+1）.又f（x）=f（x），g（x）=g（x），故有f（x）=f（x）=g（x+1）=g（x1）=f（x2）=f（2x）=g（3x）=g（x3）=f（x4），也即f（x+4）=f（x），xR.f（x）為周期函數(shù)，其周期T=4.f（2002）=f（45002）f（2）=0.評述：應(yīng)靈活掌握和運用函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì).【例3】 函數(shù)f（x）=（m0），x1、x2R，當(dāng)x1+x2=1時，f（x1）+f（x2）=.（1）求m的值；（2）數(shù)列an，已知an=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1），求an.解：（1）由f（x1）+f（x2）=，得+=，4+4+2m=4+m（4+4）+m2.x1+x2=1，（2m）（4+4）=（m2）2.4+4=2m或2m=0.4+42=2=4，而m0時2m2，4+42m.m=2.（2）an=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1），an=f（1）+f（）+ f（）+f（）+f（0）.2an=f（0）+f（1）+f（）+f（）+f（1）+f（0）=+=.an=.深化拓展用函數(shù)的思想處理方程、不等式、數(shù)列等問題是一重要的思想方法.【例4】 函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意x、yR，有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x0時，f（x）0，f（1）=2.（1）證明f（x）是奇函數(shù)；（2）證明f（x）在R上是減函數(shù)；（3）求f（x）在區(qū)間3，3上的最大值和最小值.（1）證明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得fx+（x）=f（x）+f（x），f（x）+ f（x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），f（0）=0.從而有f（x）+f（x）=0.f（x）=f（x）.f（x）是奇函數(shù).（2）證明：任取x1、x2R，且x1x2，則f（x1）f（x2）=f（x1）fx1+（x2x1）=f（x1）f（x1）+f（x2x1）=f（x2x1）.由x1x2，x2x10.f（x2x1）0.f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），從而f（x）在R上是減函數(shù).（3）解：由于f（x）在R上是減函數(shù)，故f（x）在3，3上的最大值是f（3），最小值是f（3）.由f（1）=2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3（2）=6，f（3）=f（3）=6.從而最大值是6，最小值是6.深化拓展對于任意實數(shù)x、y，定義運算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊的運算是通常的加法和乘法運算.現(xiàn)已知1*2=3，2*3=4，并且有一個非零實數(shù)m，使得對于任意實數(shù)x，都有x*m=x，試求m的值.提示：由1*2=3，2*3=4，得b=2+2c，a=16c.又由x*m=ax+bm+cmx=x對于任意實數(shù)x恒成立，b=0=2+2c.c=1.（16c）+cm=1.1+6m=1.m=4.答案：4.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.已知y=f（x）在定義域1，3上為單調(diào)減函數(shù)，值域為4，7，若它存在反函數(shù)，則反函數(shù)在其定義域上A.單調(diào)遞減且最大值為7B.單調(diào)遞增且最大值為7C.單調(diào)遞減且最大值為3D.單調(diào)遞增且最大值為3解析：互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在各自定義區(qū)間上有相同的增減性，f1（x）的值域是1，3.答案：C2.（2003年鄭州市質(zhì)檢題）關(guān)于x的方程|x24x+3|a=0有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的值是_.解析：作函數(shù)y=|x24x+3|的圖象，如下圖.由圖象知直線y=1與y=|x24x+3|的圖象有三個交點，即方程|x24x+3|=1也就是方程|x24x+3|1=0有三個不相等的實數(shù)根，因此a=1.答案：13.（2003年春季北京）若存在常數(shù)p0，使得函數(shù)f（x）滿足f（px）=f（px）（xR），則f（x）的一個正周期為_.解析：由f（px）=f（px），令px=u，f（u）=f（u）=f（u+），T=或的整數(shù)倍.答案：（或的整數(shù)倍）4.已知關(guān)于x的方程sin2x2sinxa=0有實數(shù)解，求a的取值范圍.解：a=sin2x2sinx=（sinx1）21.1sinx1，0（sinx1）24.a的范圍是1，3.5.（2004年上海，19）記函數(shù)f（x）=的定義域為A，g（x）=lg（xa1）（2ax）（a1）的定義域為B.（1）求A；（2）若BA，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）由20，得0，x1或x1，即A=（，1）1，+）.（2）由（xa1）（2ax）0，得（xa1）（x2a）0.a1，a+12a.B=（2a，a+1）.BA，2a1或a+11，即a或a2.而a1，a1或a2.故當(dāng)BA時，實數(shù)a的取值范圍是（，2，1）.培養(yǎng)能力6.（理）已知二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b0，cR）.若f（x）的定義域為1，0時，值域也是1，0，符合上述條件的函數(shù)f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表達(dá)式；若不存在，請說明理由.解：設(shè)符合條件的f（x）存在，函數(shù)圖象的對稱軸是x=，又b0，0.當(dāng)0，即0b1時，函數(shù)x=有最小值1，則或（舍去）.當(dāng)1，即1b2時，則（舍去）或（舍去）.當(dāng)1，即b2時，函數(shù)在1，0上單調(diào)遞增，則解得 綜上所述，符合條件的函數(shù)有兩個，f（x）=x21或f（x）=x2+2x.（文）已知二次函數(shù)f（x）=x2+（b+1）x+c（b0，cR）.若f（x）的定義域為1，0時，值域也是1，0，符合上述條件的函數(shù)f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表達(dá)式；若不存在，請說明理由.解：函數(shù)圖象的對稱軸是x=，又b0，.設(shè)符合條件的f（x）存在，當(dāng)1時，即b1時，函數(shù)f（x）在1，0上單調(diào)遞增，則 當(dāng)1，即0b1時，則（舍去）.綜上所述，符合條件的函數(shù)為f（x）=x2+2x.7.（2005年春季上海，21）已知函數(shù)f（x）=x+的定義域為（0，+），且f（2）=2+.設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N.（1）求a的值.（2）問：|PM|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點，求四邊形OMPN面積的最小值.解：（1）f（2）=2+=2+，a=.（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x0，y0），則有y0=x0+，x00，由點到直線的距離公式可知，|PM|=，|PN|=x0，有|PM|PN|=1，即|PM|PN|為定值，這個值為1.（3）由題意可設(shè)M（t，t），可知N（0，y0）.PM與直線y=x垂直，kPM1=1，即=1.解得t=（x0+y0）.又y0=x0+，t=x0+.SOPM=+，SOPN=x02+.S四邊形OMPN=SOPM+SOPN=（x02+）+1+.當(dāng)且僅當(dāng)x0=1時，等號成立.此時四邊形OMPN的面積有最小值1+.探究創(chuàng)新8.有一塊邊長為4的正方形鋼板，現(xiàn)對其進(jìn)行切割、焊接成一個長方體形無蓋容器（切、焊損耗忽略不計）.有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識作了如下設(shè)計：如圖（a），在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成一個長方體，該長方體的高為小正方形邊長，如圖（b）.（1）請你求出這種切割、焊接而成的長方體的最大容積V1；（2）由于上述設(shè)計存在缺陷（材料有所浪費），請你重新設(shè)計切、焊方法，使材料浪費減少，而且所得長方體容器的容積V2V1.解：（1）設(shè)切去正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為42x，高為x，V1=（42x）2x=4（x34x2+4x）（0x2）.V1=4（3x28x+4）.令V1=0，得x1=，x2=2（舍去）.而V1=12（x）（x2），又當(dāng)x時，V10；當(dāng)x2時，V10，當(dāng)x=時，V1取最大值.（2）重新設(shè)計方案如下：如圖，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖，將圖焊成長方體容器.新焊長方體容器底面是一長方形，長為3，寬為2，此長方體容積V2=321=6，顯然V2V1.故第二種方案符合要求.思悟小結(jié)1.函數(shù)知識可深可淺，復(fù)習(xí)時應(yīng)掌握好分寸，如二次函數(shù)問題應(yīng)高度重視，其他如分類討論、探索性問題屬熱點內(nèi)容，應(yīng)適當(dāng)加強(qiáng).2.數(shù)形結(jié)合思想貫穿于函數(shù)研究的各個領(lǐng)域的全部過程中，掌握了這一點，將會體會到函數(shù)問題既千姿百態(tài)，又有章可循.教師下載中心教學(xué)點睛數(shù)形結(jié)合和數(shù)形轉(zhuǎn)化是解決本章問題的重要思想方法，應(yīng)要求學(xué)生熟練掌握用函數(shù)的圖象及方程的曲線去處理函數(shù)、方程、不等式等問題.拓展題例【例1】 設(shè)f（x）是定義在1，1上的奇函數(shù)，且對任意a、b1，1，當(dāng)a+b0時，都有0.（1）若ab，比較f（a）與f（b）的大小；（2）解不等式f（x）f（x）；（3）記P=x|y=f（xc），Q=x|y=f（xc2），且PQ=，求c的取值范圍.解：設(shè)1x1x21，則x1x20，0.x1x20，f（x1）+f（x2）0.f（x1）f（x2）.又f（x）是奇函數(shù)，f（x2）=f（x2）.f（x1）f（x2）.f（x）是增函數(shù).（1）ab，f（a）f（b）.（2）由f（x）f（x），得 x.不等式的解集為x|x.（3）由1xc1，得1+cx1+c，P=x|1+cx1+c.由1xc21，得1+c2x1+c2，Q=x|1+c2x1+c2.PQ=，1+c1+c2或1+c1+c2，解得c2或c1.【例2】 （2003年南昌市高三第一次質(zhì)量調(diào)研測試題）已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=x+2的圖象關(guān)于點A（0，1）對稱.（1）求f（x）的解析式；（2）（文）若g（x）=f（x）x+ax，且g（x）在區(qū)間（0，2上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.（理）若g（x）=f（x）+，且g（x）在區(qū)間（0，2上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）設(shè)f（x）圖象上任一點坐標(biāo)為（x，y），點（x，y）關(guān)于點A（0，1）的對稱點（x，2y）在h（x）的圖象上.2y=x+2.y=x+，即f（x）=x+.（2）（文）g（x）=（x+）x+ax，即g（x）=x2+ax+1.g（x）在（0，2上遞減2，a4.（理）g（x）=x+.g（x）=1，g（x）在（0，2上遞減，10在x（0，2時恒成立，即ax21在x（0，2時恒成立.x（0，2時，（x21）max=3，a3.【例3】 （2003年山東濰坊市第二次模擬考試題）在4月份（共30天），有一新款服裝投放某專賣店銷售，日銷售量（單位：件）f（n）關(guān)于時間n（1n30，nN*）的函數(shù)關(guān)系如下圖所示，其中函數(shù)f（n）圖象中的點位于斜率為5和3的兩條直線上，兩直線的交點的橫坐標(biāo)為m，且第m天日銷售量最大.（1）求f（n）的表達(dá)式，及前m天的銷售總數(shù)；（2）按規(guī)律，當(dāng)該專賣店銷售總數(shù)超過400件時，社會上流行該服裝，而日銷售量連續(xù)下降并低于30件時，該