數(shù)學思維的開拓性論述(doc 8頁).doc

第四講 數(shù)學思維的開拓性一、概述數(shù)學思維開拓性指的是對一個問題能從多方面考慮；對一個對象能從多種角度觀察；對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解?！皵?shù)學是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關系。我們在學習每一分支時，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關系結成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內容，使之融會貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解決同一道數(shù)學題，既可以開拓解題思路，鞏固所學知識；又可激發(fā)學習數(shù)學的興趣和積極性，達到開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。在一題多解的訓練中，我們要密切注意每種解法的特點，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。數(shù)學思維的開拓性主要體現(xiàn)在：(1) 一題的多種解法例如 已知復數(shù)滿足，求的最大值。我們可以考慮用下面幾種方法來解決：運用復數(shù)的代數(shù)形式；運用復數(shù)的三角形式；運用復數(shù)的幾何意義；運用復數(shù)模的性質（三角不等式）；運用復數(shù)的模與共軛復數(shù)的關系；（數(shù)形結合）運用復數(shù)方程表示的幾何圖形，轉化為兩圓與有公共點時，的最大值。(2) 一題的多種解釋例如，函數(shù)式可以有以下幾種解釋：可以看成自由落體公式可以看成動能公式可以看成熱量公式又如“1”這個數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷?！?”可以變換為：，等等。1 思維訓練實例例1 已知求證：分析1 用比較法。本題只要證為了同時利用兩個已知條件，只需要觀察到兩式相加等于2便不難解決。證法1 所以 分析2 運用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運用已知的條件、定理和性質等，得出正確的結論。從而證明原結論正確。分析法其本質就是尋找命題成立的充分條件。因此，證明過程必須步步可逆，并注意書寫規(guī)范。證法2 要證 只需證 xMyd圖421O即 因為 所以只需證 即 因為最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析3 運用綜合法（綜合運用不等式的有關性質以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）進行推理、運算，從而達到證明需求證的不等式成立的方法）證法3 即 分析4 三角換元法：由于已知條件為兩數(shù)平方和等于1的形式，符合三角函數(shù)同角關系中的平方關系條件，具有進行三角代換的可能，從而可以把原不等式中的代數(shù)運算關系轉化為三角函數(shù)運算關系，給證明帶來方便。證法4 可設 分析5 數(shù)形結合法：由于條件可看作是以原點為圓心，半徑為1的單位圓，而聯(lián)系到點到直線距離公式，可得下面證法。證法5 （如圖4-2-1）因為直線經過圓的圓心O，所以圓上任意一點到直線的距離都小于或等于圓半徑1，即 簡評 五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應該掌握的重要方法。除了證法4、證法5的方法有適應條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法?？稍诰唧w應用過程中，根據(jù)題目的變化的需要適當進行選擇。例2 如果求證：成等差數(shù)列。分析1 要證，必須有成立才行。此條件應從已知條件中得出。故此得到直接的想法是展開已知條件去尋找轉換。證法1 故 ，即 成等差數(shù)列。分析2 由于已知條件具有輪換對稱特點，此特點的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉換運算帶來便利。證法2 設則于是，已知條件可化為：所以成等差數(shù)列。分析3 已知條件呈現(xiàn)二次方程判別式的結構特點引人注目，提供了構造一個適合上述條件的二次方程的求解的試探的機會。證法3 當時，由已知條件知即成等差數(shù)列。當時，關于的一元二次方程：其判別式故方程有等根，顯然1為方程的一個根，從而方程的兩根均為1，由韋達定理知 即 成等差數(shù)列。簡評：證法1是常用方法，略嫌呆板，但穩(wěn)妥可靠。證法2簡單明了，是最好的解法，其換元的技巧有較大的參考價值。證法3引入輔助方程的方法，技巧性強，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。例3 已知，求的最小值。分析1 雖然所求函數(shù)的結構式具有兩個字母，但已知條件恰有的關系式，可用代入法消掉一個字母，從而轉換為普通的二次函數(shù)求最值問題。解法1 設，則二次項系數(shù)為故有最小值。當時， 的最小值為分析2 已知的一次式兩邊平方后與所求的二次式有密切關聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉換成不等式而求得。解法2 即即 當且僅當時取等號。 的最小值為分析3 配方法是解決求最值問題的一種常用手段，利用已知條件結合所求式子，配方后得兩個實數(shù)平方和的形式，從而達到求最值的目的。解法3 設 當時，即的最小值為11Oxy圖422分析4 因為已知條件和所求函數(shù)式都具有解析幾何常見方程的特點，故可得到用解析法求解的啟發(fā)。解法4 如圖422，表示直線表示原點到直線上的點的距離的平方。顯然其中以原點到直線的距離最短。此時，即所以的最小值為注 如果設則問題還可轉化為直線與圓有交點時，半徑的最小值。簡評 幾種解法都有特點和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都緊緊地抓住題設條件的特點，與相關知識聯(lián)系起來，所以具有靈巧簡捷的優(yōu)點，特別是解法4，形象直觀，值得效仿。例4 設求證：分析1 由已知條件為實數(shù)這一特點，可提供設實系數(shù)二次方程的可能，在該二次方程有兩個虛根的條件下，它們是一對共軛虛根，運用韋達定理可以探求證題途徑。證法1 設當時，可得與條件不合。于是有 該方程有一對共軛虛根，設為，于是又由韋達定理知 分析2 由于實數(shù)的共軛復數(shù)仍然是這個實數(shù)，利用這一關系可以建立復數(shù)方程，注意到這一重要性質，即可求出的值。證法2 設當時，可得與條件不合，則有 ，即 但 而 即分析3 因為實數(shù)的倒數(shù)仍為實數(shù)，若對原式取倒數(shù)，可變換化簡為易于進行運算的形式。再運用共軛復數(shù)的性質，建立復數(shù)方程，具有更加簡捷的特點。證法3 即從而必有簡評 設出復數(shù)的代數(shù)形式或三角形式，代入已知條件化簡求證，一般也能夠證明，它是解決復數(shù)問題的基本方法。但這些方法通常運算量大，較繁?，F(xiàn)在的三種證法都應用復數(shù)的性質去證，技巧性較強，思路都建立在方程的觀點上，這是需要體會的關鍵之處。證法3利用倒數(shù)的變換，十分巧妙是最好的方法。例5 由圓外一點引圓的割線交圓于兩點，求弦的中點的軌跡方程。分析1 （直接法）根據(jù)題設條件列出幾何等式，運用解析幾何基本公式轉化為代數(shù)等式，從而求出曲線方程。這里考慮在圓中有關弦中點的一些性質，圓心和弦中點的連線垂直于弦，可得下面解法。解法1 如圖423，設弦的中點的坐標為，連接，則，在中，由兩點間的距離公式和勾股定理有整理，得 其中圖423PMBAOyx分析2 （定義法）根據(jù)題設條件，判斷并確定軌跡的曲線類型，運用待定系數(shù)法求出曲線方程。解法2 因為是的中點，所以，所以點的軌跡是以為直徑的圓，圓心為,半徑為該圓的方程為：化簡，得 其中分析3 （交軌法）將問題轉化為求兩直線的交點軌跡問題。因為動點可看作直線與割線的交點，而由于它們的垂直關系，從而獲得解法。解法3 設過點的割線的斜率為則過點的割線方程為：.且過原點，的方程為 這兩條直線的交點就是點的軌跡。兩方程相乘消去化簡，得：其中分析4 （參數(shù)法）將動點坐標表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設法消去參數(shù)。由于動點隨直線的斜率變化而發(fā)生變化，所以動點的坐標是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。解法4 設過點的割線方程為：它與圓的兩個交點為，的中點為.解方程組 利用韋達定理和中點坐標公式，可求得點的軌跡方程為：其中分析5 （代點法）根據(jù)曲線和方程的對應關系：點在曲線上則點的坐標滿足方程。設而不求，代點運算。從整體的角度看待問題。這里由于中點的坐標與兩交點通過中點公式聯(lián)系起來，又點構成4點共線的和諧關系，根據(jù)它們的斜率相等，可求得軌跡方程。解法5 設則兩