函數(shù)極值的概念.ppt

函數(shù)y f x 在點(diǎn)x1 x2 x3 x4處的函數(shù)值f x1 f x2 f x3 f x4 與它們左右近旁各點(diǎn)處的函數(shù)值 相比有什么特點(diǎn) 觀察圖像 2 3 1函數(shù)極值的概念 設(shè)函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)連續(xù) x0是 a b 內(nèi)一點(diǎn) 如果對(duì)于點(diǎn)x0近旁的任意一點(diǎn)x 均有f x f x0 則就稱f x0 是函數(shù)f x 的一個(gè)極大值 點(diǎn)x0是f x 的一個(gè)極大點(diǎn) 如果對(duì)于點(diǎn)x0近旁的任意一點(diǎn)x 均有f x f x0 則就稱f x0 是函數(shù)f x 的一個(gè)極小值 點(diǎn)x0是f x 的一個(gè)極小點(diǎn) 觀察與思考 極值與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系 在極值點(diǎn)處 曲線如果有切線 則切線是水平的 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn) 如果函數(shù)f x 在點(diǎn)x0處有極值 且f x0 存在 則必有f x0 0 取得極值的必要條件 駐點(diǎn) 使導(dǎo)數(shù)f x 為零的點(diǎn)叫函數(shù)f x 的駐點(diǎn) 說(shuō)明 可導(dǎo)函數(shù)f x 的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn) 但函數(shù)f x 的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn) 對(duì)于函數(shù)f x x3可知 x 0是函數(shù)的駐點(diǎn) 不是函數(shù)的極值點(diǎn) 函數(shù)極值的判定定理 設(shè)函數(shù)f x 在點(diǎn)x0的近旁可導(dǎo)且f x0 0 若在點(diǎn)x0的左側(cè)近旁f x 恒為正 在點(diǎn)x0的右側(cè)近旁f x 恒為負(fù) 則函數(shù)f x 在點(diǎn)x0處取得極大值f x0 2 若在點(diǎn)x0的左側(cè)近旁f x 恒為負(fù) 在點(diǎn)x0的右側(cè)近旁f x 恒為正 則函數(shù)f x 在點(diǎn)x0處取得極小值f x0 x1 x2 在極大值點(diǎn)附近 在極小值點(diǎn)附近 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 2 3 2函數(shù)極值的求法 1 確定函數(shù)的定義域 求可導(dǎo)函數(shù)f x 的極值點(diǎn)和極值的步驟 2 求出導(dǎo)數(shù)f x 3 令f x 0 求出f x 的全部駐點(diǎn) 用駐點(diǎn)把定義域劃分為部分區(qū)間 考察每個(gè)部分區(qū)間內(nèi)f x 的符號(hào) 以確定每個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn) 若是極值點(diǎn) 確定是極大點(diǎn)還是極小點(diǎn) 例 求 4 列表討論 如下 x f x f x 2 2 0 2 3 單調(diào)減少 3 0 3 單調(diào)增加 函數(shù)在x 2處取得極小值 62在x 3處取得極大值16 5 的單調(diào)區(qū)間和極值 解 1 f x 的定義域?yàn)?2 f x 3x 3x 18 3 令f x 0得駐點(diǎn)x1 2 x2 3 單調(diào)減少 極小值 62 極大值16 5 2 3 3函數(shù)最值的求法 問(wèn) 最大值與最小值可能在何處取得 怎樣求最大值與最小值 觀察極值與最值的關(guān)系 如果函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)增加 減少 則f a 是f x 在 a b 上的最小值 最大值 f b 是f x 在 a b 上的最大值 最小值 函數(shù)的最值一般分為兩種情況 1 如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 a b 內(nèi)有且僅有一個(gè)極大 小 值 而沒(méi)有極小 大 值 則此極大 小 值就是函數(shù)在區(qū)間 a b 上的最大 小 值 函數(shù)的最值一般分為兩種情況 2 求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值的步驟 求出函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)的全部駐點(diǎn)和駐點(diǎn)處的函數(shù)值 2 求出區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值 比較以上各函數(shù)值 其中最大的就是函數(shù)的最大值 最小的就是函數(shù)的最小值 求函數(shù)y x 3x 9x在上 4 4 的最大值和最小值 解 1 由f x 3x 6x 9 2 區(qū)間端點(diǎn) 4 4 處的函數(shù)值為f 4 20 f 4 76 3 比較以上各函數(shù)值 例 得駐點(diǎn)為x1 3 x2 1 駐點(diǎn)處的函數(shù)值為f 3 27 f 1 4 可知函數(shù)在 4 4 上的最大值為f 4 76 最小值為f 3 27 求下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值 答案 最大值f 2 2 最小值f 2 2 最大值f 3 4 5 4 最小值f 5 5 最大值f 1 29 最小值f 3 61 練習(xí) 2 3 4函數(shù)最值應(yīng)用舉例 在實(shí)際問(wèn)題中 如果函數(shù)f x 在某區(qū)間 a b 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)x0 而且從實(shí)際問(wèn)題本身又可以知道函數(shù)在 a b 內(nèi)必有最大值或最小值 那么f x0 就是所求的最大值或最小值 把一個(gè)邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮的四角各截去面積相等的正方形 然后將四邊折起 做成方盒 問(wèn)在四角截去多大的正方形 才能使所作的方盒容積最大 題例 解設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm 方盒容積為Vcm 把一個(gè)邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮的四角各截去面積相等的正方形 然后將四邊折起 做成方盒 問(wèn)在四角截去多大的正方形 才能使所作的方盒容積最大 題例 方盒容積為Vcm 則V x 48 2x 0 x 24 解設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm 把一個(gè)邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮的四角各截去面積相等的正方形 然后將四邊折起 做成方盒 問(wèn)在四角截去多大的正方形 才能使所作的方盒容積最大 題例 解設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm 方盒容積為Vc