2016年四川省達(dá)州市高考數(shù)學(xué)二診試卷(理)含答案解析

四川省達(dá)州市 2016 年高考數(shù)學(xué)二診試卷（理科） （解析版） 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項。 1已知集合 A=x|2x 1 1， B=（ 2， 2，則 AB=（ ） A（ 2， 0） B（ 2， 2 C（ 1， 2 D（ 2， 1） 2 i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z= +2 3i，則 |z|=（ ） A 5 B 4 C 3 D 1 3已知 a 1 b 0 c 1，則下列不等式成立的是（ ） A c c C D bc+一個幾何體的正視圖和俯視圖都是邊長為 6正方形，側(cè)視圖是等腰直角三角形（如圖所示），這個幾何體的體積是（ ） A 216 54 36 108已知 等比數(shù)列 前 n 項和，若 = （ m N*），則 =（ ） A B 4 C D 5 6已知四邊形 直角梯形， 列結(jié)論中成立的是（ ） A 0 B 0 C 0 D 0 7當(dāng)行駛的 6 輛軍車行駛至 A 處時 ，接上級緊急通知，這 6 輛軍車需立即沿 B、 C 兩路分開縱隊行駛，要求 B、 C 每路至少 2 輛但不多于 4 輛則這 6 輛軍車不同的分開行駛方案總數(shù)是（ ） A 50 B 1440 C 720 D 2160 8已知角 x 始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，與圓 x2+ 相交于點 A，終邊與圓 x2+ 相交于點 B，點 B 在 x 軸上的射影為 C， 面積為 S（ x），函數(shù) y=S（ x）的圖象大致是（ ） A B CD 9 A、 B、 O 是拋物線 E： p 0）上不同三點，其中 O 是坐標(biāo)原點， =0，直線 x 軸于 C 點， D 是線段 中點，以 E 上一點 M 為圓心、以 |半徑的圓被 y 軸截得的弦長為 d，下列結(jié)論正確的是（ ） A d | 2p B d | 2p C d=|2p D d |2p 10定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足： f（ x+4） =f（ x）， f（ x） = ，當(dāng) x 0， +）時，方程 f（ x） 4（ a 0）有且只有 3 個不等實根，則實數(shù) a 的值為（ e 是自然對數(shù)底數(shù)）（ ） A B C D 二、填空題：本題共 5 小題，每題 5 分。 11（ x+2）（ x ） 6 的展開式中，常數(shù)項是 （用數(shù)字作答） 12運行如圖所示的程序框圖，輸出的 S= 13為了了解某火車站候車旅客用手機(jī)使用火車站 況，在某日 15： 00 時，把該候車廳 10 至 50 歲年齡段的旅客按年齡分區(qū)間 10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50得到如圖所示的人數(shù)頻 率分布直方圖，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中得到一樣本若樣本在區(qū)間20， 30）上有 6 人，則該樣本在區(qū)間 40， 50上有 人 14已知 a、 b 是兩條不同直線， 、 、 是三個不同平面，給出以下命題： 若 ， ，則 ； 若 ， ，則 ； 若 a ， a ，則 ； 若 a ， b ， ，則 a b 以上命題中真命題的個數(shù)是 15已知實數(shù) x、 y 滿足 =3，則 x |y|的最小值是 三、簡答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 16（ 12 分）（ 2016 達(dá)州模擬）已知數(shù)列 等差數(shù)列， 數(shù)列 前 n 項和， 0，a7+2 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設(shè) + （ n N*），求數(shù)列 前 n 項和 17（ 12 分）（ 2016 達(dá)州模擬）已知 銳角三角形， （ ）求角 A； （ ）若 ， B=x，求 周長 f（ x）的單調(diào)區(qū)間 18（ 12 分）（ 2016 達(dá)州模擬）某企業(yè)擬對員工進(jìn)行一次傷寒疫情防治，共有甲、乙、丙三套方案在員工中隨機(jī)抽取 6 人，并對這 6 人依次檢查如果這 6 人都沒有感染傷寒，就不采取措施；如果 6 人中只有 1 人或 2 人感染傷寒，就用甲方案；如果這 6 人中只有 3 人感染傷寒，就用乙方案，其余用丙方案 （ ）若這 6 人中只有 2 人感染傷寒，求檢查時恰好前 2 人感染傷寒的概率 ； （ ）若每個員工感染傷寒的概率為 ，求采用乙方案的概率； （ ）這次傷寒疫情防治的費用為 元當(dāng)員工無人感染傷寒時， 為 0，采用甲、乙、丙三套方案的 分別為 512、 512 和 1024求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 19（ 12 分）（ 2016 達(dá)州模擬）如圖，點 E、 F 分別是正方體 棱 中點， G 是棱 一點 （ ）求證：平面 平面 （ ）若 ， ， M 是棱 中點，點 N 在線段 ， 二面角 M 的大小 20（ 13 分）（ 2016 達(dá)州模擬）過橢圓 C： + =1（ a 0， b 0）右焦點 F（ c， 0）的直線 l 與 C 相交于 A、 B 兩點， l 交 y 軸于 E 點， C 的離心率 e= 當(dāng)直線 l 斜率為 1時，點（ 0， b）到 l 的距離為 （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）若 M（ t， 0）滿足： = ，求實數(shù) t 的取值范圍 21（ 14 分）（ 2016 達(dá)州模擬）設(shè) f（ x） =， g（ x） =e=自然對數(shù)的底數(shù)）， f（ x）是 f（ x）的導(dǎo)數(shù) （ ）當(dāng) a 0 時，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）當(dāng) a 0 時，若函數(shù) f（ x）與 g（ x）的圖象都與直線 l 相切于點 P（ 求實數(shù) 值； （ ）求證：當(dāng) a 1 時，函數(shù) f（ x）與 g（ x）的圖象在（ 2， 0）上有公共點 2016 年四川省達(dá)州市高考數(shù)學(xué)二診試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項。 1已知集合 A=x|2x 1 1， B=（ 2， 2，則 AB=（ ） A（ 2， 0） B（ 2， 2 C（ 1， 2 D（ 2， 1） 【分析】 先對集合 A 進(jìn)行化簡，再利用交集運算的法則求出集合 A、 B 的交集，得本題結(jié)論 【解答】 解： 2x 1 1=20， x 1， A=（ ， 1）， B=（ 2， 2， 則 AB=（ 2， 1） 故選 D 【點評】 本題考查了集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題 2 i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z= +2 3i，則 |z|=（ ） A 5 B 4 C 3 D 1 【分析】 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除 運算化簡，然后代入復(fù)數(shù)模的公式得答案 【解答】 解： z= +2 3i= ， 故選： A 【點評】 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)的計算題 3已知 a 1 b 0 c 1，則下列不等式成立的是（ ） A c c C D bc+分析】 可通過舉反例的方法說明選項 A， B 錯誤，而由不等式的性質(zhì)及條件便可判斷出選項 C 正確，通過作差，分解因式及條件便可判斷出 bc+關(guān)系不確定，即選項D 錯誤 【解答】 解： A 錯誤，比如 b= ， 時 ，不滿足 c； B 錯誤，比如 時，不滿足 ； C 正確， a b 0， ； 又 ； ； D 錯誤， bc+=（ +（ =（ b a）（ b+c）； a b； b a 0； 又 1 b 0 c 1； b+c 的符號不確定； 不能判斷 bc+關(guān)系 故選： C 【點評】 考查通過舉反例的方法說明選項錯誤，以及不等式的性質(zhì)，作差法比較兩個式子的大小 4一個幾何體的正視圖和俯視圖都是邊長為 6正方形，側(cè)視圖是等腰直角三角形（如圖所示），這個幾何體的體積是（ ） A 216 54 36 108分析】 由三視圖可知：該幾何體為橫放的三棱柱，為正方體的一半 【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體 為橫放的三棱柱，為正方體的一半 其體積 = =108 故選： D 【點評】 本題考查了三視圖的有關(guān)知識、正方體的體積計算公式，考查了推理能力與計算公式，屬于基礎(chǔ)題 5已知 等比數(shù)列 前 n 項和，若 = （ m N*），則 =（ ） A B 4 C D 5 【分析】 等比數(shù)列 前 n 項和，若 = （ m N*），不妨取 m=1，則 = ，化簡即可得出 【解答】 解： 等比數(shù)列 前 n 項和，若 = （ m N*）， 不妨取 m=1，則 = ，可得 則 = = ， 故選： A 【點評】 本題考查了等比數(shù)的通項公式、取特殊值方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中 檔題 6已知四邊形 直角梯形， 列結(jié)論中成立的是（ ） A 0 B 0 C 0 D 0 【分析】 可根據(jù)條件畫出圖形，由圖形及向量數(shù)量積的計算公式便可判斷每個選項數(shù)量積的符號是否恒成立，從而找出正確選項 【解答】 解：根據(jù)條件可以畫出以下兩種圖形： （ 1）； （ 2）； A由圖（ 1）看出 的夾角為銳角， ， 該選項錯誤； B由圖（ 1），圖（ 2）看出 的夾角為銳角， ， 該選項正確； C由圖（ 1）看出 的夾角為銳角， ， 該選項錯誤； D由圖（ 2）看出 的夾角為鈍角， ， 該選項錯誤 故選 B 【點評】 考查向量數(shù)量積的計算公式，向量夾角的概念，清楚銳角和鈍角的余弦值的符號，舉反例排除選項的方法 7當(dāng)行駛的 6 輛軍車行駛至 A 處時，接上級緊急通知，這 6 輛軍車需立即沿 B、 C 兩路分開縱隊行駛，要求 B、 C 每路至少 2 輛但不多于 4 輛則這 6 輛軍車不同的分開行駛方案總數(shù)是（ ） A 50 B 1440 C 720 D 2160 【分析】 確定 B、 C 兩路軍車的量數(shù)類型，然后求解這 6 輛軍車不同的分開行駛方案總數(shù) 【解答】 解：由題意可知 B、 C 兩路軍車的量數(shù)類型有 2、 4； 3、 3； 4、 2；三種類型由于軍車互不相同，排列是有順序的， 2、 4； 4、 2；類型的結(jié)果都是： 3、 3 類型的結(jié)果為： 則這 6 輛軍車不同的分開行駛方案總數(shù)是： 263160 故選： D 【點評】 本題考查排列組合的實際應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力 8已知角 x 始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，與圓 x2+ 相交于點 A，終邊與圓 x2+ 相交于點 B，點 B 在 x 軸上的射影為 C， 面積為 S（ x），函數(shù) y=S（ x）的圖象大致是（ ） A B CD 【分析】 由題意畫出圖象，由三角形的面積公式表示出 S（ x），利用排除法和特值法選出正確答案 【解答】 解：如圖： A（ 2， 0），在 ， |2| |2| 面積為 S（ x） = | 0， 所以 排除 C、 D； 選項 A、 B 的區(qū)別是 面積為 S（ x）何時取到最大值？ 下面結(jié)合選項 A、 B 中的圖象利用特值驗證： 當(dāng) x= 時， 面積為 S（ x） = =2， 當(dāng) x= 時， |2|= ， |2|= ， 則 |2+ ， 面積為 S（ x） = = ， 綜上可知，答案 B 的圖象正確， 故選： B 【點評】 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積公式，以及選擇題的解題方法：排除法和 特值法，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題 9 A、 B、 O 是拋物線 E： p 0）上不同三點，其中 O 是坐標(biāo)原點， =0，直線 x 軸于 C 點， D 是線段 中點，以 E 上一點 M 為圓心、以 |半徑的圓被 y 軸截得的弦長為 d，下列結(jié)論正確的是（ ） A d | 2p B d | 2p C d=|2p D d |2p 【分析】 設(shè)直線 方程為 y=k 1， 0），可得直線 方程為： y= x，直線方程分別與拋物線方程聯(lián)立可得 A， B 的坐標(biāo)由直線 方程可得 C（ 2p， 0）， D（ p，0）設(shè) M（ 可得 d=2 ，即可得出結(jié)論 【解答】 解：設(shè)直線 方程為 y=k 1， 0），則直線 方程為： y= x， 聯(lián)立 ，解得 A ，同理可得 B（ 2 2 直線 方程為： y+2（ x 2化為： y+2（ x 2令 y=0，解得 x=2p， C（ 2p， 0）， |2p D（ p， 0） 設(shè) M（ 則 d=2 =2 =2p 綜上可得： d=|2p 故選： C 【點評】 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、直線與圓相交弦長問題、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題 10定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足： f（ x+4） =f（ x）， f（ x） = ，當(dāng) x 0， +）時，方程 f（ x） 4（ a 0）有且只有 3 個不等實根，則實數(shù) a 的值為（ e 是自然對數(shù)底數(shù)）（ ） A B C D 【分析】 作出函數(shù) f（ x）的圖象，利用程 f（ x） 4（ a 0）有且只有 3 個不等實根，等價為函數(shù) g（ x） =4直線 f（ x） =2（ x 4）相切，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出 a 的值即可 【解答】 解：由 f（ x） 4 得 f（ x） =4 f（ x+4） =f（ x）， 函數(shù) f（ x）是周期為 4 的周 期函數(shù)， 作出函數(shù)在 0， +）上的圖象如圖： 若方程 f（ x） 4（ a 0）有且只有 3 個不等實根， 則等價為當(dāng) 3 x 5 時， 1 x 4 1，此時 f（ x） =f（ x 4） =2（ x 4）， 函數(shù) g（ x） =4直線 f（ x） =2（ x 4）相切， 設(shè)切點為（ m， n）， n=4 則 g（ x） =4 g（ m） =4 則對應(yīng)的切線方程為 y 4x m）， 即 y=4x m） +41 f（ x） =2（ x 4） =2x 8， 4 且 41 = 8， 兩式相除得 = ， 得 = ，即 m= =4+ =4+ 則 4m= = =28e， 則 a= = = ， 故選： A 【點評】 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)相切問題，利用到是的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強，運算量較大，有一定的難度 二、填空題：本題共 5 小題，每題 5 分。 11（ x+2）（ x ） 6 的展開式中，常數(shù)項是 40 （用數(shù)字作答） 【分析】 首先寫出（ x ） 6 的展開式的通項，由 x 的指數(shù)為 0 求得常數(shù)項，與 2 相乘得答案 【解答】 解：（ x ） 6 的展開式的通項 ， 當(dāng) r=3 時該通項為常數(shù)項， （ x+2）（ x ） 6 的展開式中，常數(shù)項是 2 = 40 故答案為： 40 【點評】 本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項展開式的通項，是基礎(chǔ)題 12運行如圖所示的程序框圖，輸出的 S= 1 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 S， i 的值，當(dāng) i=10 時，不滿足條件i 9，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 1 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 S=0， i=1 滿足條件 i 9，執(zhí)行循環(huán)體， S= i=2 滿足條件 i 9，執(zhí)行循環(huán)體， S= i=3 滿足條件 i 9，執(zhí)行循環(huán)體， S= i=4 滿足條件 i 9，執(zhí)行循環(huán)體， S= i=9 滿足條件 i 9，執(zhí)行循環(huán)體， S= 1， i=10 不滿足條件 i 9，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 1， 故答案為： 1 【點評】 本題主要考查了程序框圖和算法，依次寫出每次循環(huán)得到的 S， k 的值是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查 13 為了了解某火車站候車旅客用手機(jī)使用火車站 況，在某日 15： 00 時，把該候車廳 10 至 50 歲年齡段的旅客按年齡分區(qū)間 10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50得到如圖所示的人數(shù)頻率分布直方圖，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中得到一樣本若樣本在區(qū)間20， 30）上有 6 人，則該樣本在區(qū)間 40， 50上有 4 人 【分析】 根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率 = ，即可求出對應(yīng)的數(shù)值 【解答 】 解：根據(jù)頻率分布直方圖，得； 在區(qū)間 20， 30）上的頻率為 10= 所以樣本容量為 =20， 又該樣本在區(qū)間 40， 50上的頻率為 1 所以該區(qū)間上的頻數(shù)為 20 故答案為： 4 【點評】 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目 14已知 a、 b 是兩條不同直線， 、 、 是三個不同平面，給出以下命題： 若 ， ，則 ； 若 ， ，則 ； 若 a ， a ，則 ； 若 a ， b ， ，則 a b 以上命題中真命題的個數(shù)是 3 【分析】 根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷 根據(jù)面面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷 根據(jù)線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷 根據(jù)線面垂直和面面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷 【解答】 解： 若 ， ，則 正確，同時和一個平面都平行的兩個平面是平行的；故 正確， 若 ， ，則 錯誤，同時和一個平面都垂直的兩個平面可能是平行的也可能是相交的；故 錯誤 若 a ， a ，則 正確，同時和一條直線垂直的兩個平面是平行 的；故 正確； 若 a ， ，則 a 或 a平面 ， b ，則 a b 成立，故 正確， 故正確的是 故答案為： 3 【點評】 本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間直線和平面，平面和平面平行或垂直的判斷，根據(jù)相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵 15已知實數(shù) x、 y 滿足 =3，則 x |y|的最小值是 2 【分析】 由題意可得 x+3y 0， x 3y 0，即有 9（ x 0），令 x |y|=t，即有 |y|=x t，代入雙曲線的方程，運用判別式非負(fù)，解不等式即可得到最小值 【解答】 解：由 =3，可得 x+3y 0， x 3y 0，即有 9（ x 0）， 令 x |y|=t，即有 |y|=x t， 可得 x t） 2，代入 9（ x 0）， 即有 818=0， 由 x 0 可得 t 0， 由 =32432（ 9） 0， 解得 8，解得 t 2 即有 x= ， y= ， x |y|取得最小值 2 故答案為： 2 【點評】 本題考查最值的求法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和二次方程的判別式法，考查化簡整理的運算能力，屬于中 檔題 三、簡答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 16（ 12 分）（ 2016 達(dá)州模擬）已知數(shù)列 等差數(shù)列， 數(shù)列 前 n 項和， 0，a7+2 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）設(shè) + （ n N*），求數(shù)列 前 n 項和 【分析】 （ ）利用等差數(shù)列，等差中項求的 6， ，即可求得 d， 可寫出通項公式； （ ）先求得 通項公式，采用裂項法即可求得數(shù)列 前 n 項和 【解答】 解：數(shù)列 等差數(shù)列， a7+2，即 22， 6， 0， =30， a1+2， 22， ， d=10， d=2， ， 數(shù)列 通項公式 n； （ 2） + （ n N*）， = + ， = + （ ）， 數(shù)列 前 n 項和 + （ 1 ） +（ ） +（ ） +（ ） ， =1 + （ 1 ）， = 【點評】 本題考查求等差數(shù)列通項公式，采用裂項法 求數(shù)列的前 n 項和，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中占有重要的地位高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏，屬于中檔題 17（ 12 分）（ 2016 達(dá)州模擬）已知 銳角三角形， （ ）求角 A； （ ）若 ， B=x，求 周長 f（ x）的單調(diào)區(qū)間 【分析】 （ 1）由同角三角函數(shù)恒等式及二倍角公式，可得 A= （ 2）由正弦定理得到 f（ x），借助輔助角公式化簡后得到單調(diào)區(qū)間 【解 答】 解：（ ） ， 21 ， 銳角三角形， ， A= （ ） ， B=x， AB= 周長 f（ x） =1+ x+ ）， 當(dāng) +2x+ +2 k Z）時， x +2 +2 x （ 0， ） f（ x）的單調(diào)增區(qū)間是（ 0， ， 單調(diào)減區(qū)間是 ， ） 【點評】 本題考查三角函數(shù)化簡及確定單調(diào)區(qū)間和正弦定理 18（ 12 分）（ 2016 達(dá)州模擬）某企業(yè)擬對員工進(jìn)行一次傷寒疫情防治，共有甲、乙、丙三套方案在員工中隨機(jī)抽取 6 人，并對這 6 人依次檢查如 果這 6 人都沒有感染傷寒，就不采取措施；如果 6 人中只有 1 人或 2 人感染傷寒，就用甲方案；如果這 6 人中只有 3 人感染傷寒，就用乙方案，其余用丙方案 （ ）若這 6 人中只有 2 人感染傷寒，求檢查時恰好前 2 人感染傷寒的概率； （ ）若每個員工感染傷寒的概率為 ，求采用乙方案的概率； （ ）這次傷寒疫情防治的費用為 元當(dāng)員工無人感染傷寒時， 為 0，采用甲、乙、丙三套方案的 分別為 512、 512 和 1024求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【分析】 （ ）由這 6 人中只有 2 人感 染傷寒，利用相互獨立事件概率乘法公式能求出檢查時恰好前 2 人感染傷寒的概率 （ ）由這 6 人中只有 3 人感染傷寒，就用乙方案，利用 n 次獨立重復(fù)試驗中事件 A 恰好發(fā)生 k 次的概率計算公式能求出采用乙方案的概率 （ ）由已知得 的可能取值為 0， 512， 1024，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 的分布列和 【解答】 解：（ ） 這 6 人中只有 2 人感染傷寒， 檢查時恰好前 2 人感染傷寒的概率： = （ ） 這 6 人中只有 3 人感染傷寒，就用乙方案， 采用乙方案的概率 = ， （ ）由已知得 的可能取值為 0， 512， 1024， P（ =0） = = ， P（ =512） = + = ， P（ =1024） = + + = ， 的分布列為： 0 512 1024 P =680 【點評】 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意 n 次獨立重復(fù)試驗中事件 A 恰好發(fā)生 k 次的概率計算公式的合理運用 19（ 12 分）（ 2016 達(dá)州模擬）如圖，點 E、 F 分別是正方體 棱 中點， G 是棱 一點 （ ）求證：平面 平面 （ ）若 ， ， M 是棱 中點，點 N 在線段 ， 二面角 M 的大小 【分析】 （ ）建立空間坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用面面垂直的判定定理證明即可 （ ）求出平面的法向量，利用向量法求出向量夾角，即可求出二面角的大小 【解答】 證明：（ ）在正方體中，建立以 A 為坐標(biāo)原點， 別為 x， y， 點 E、 F 分別是正方體 棱 中點， 設(shè)正 方體的棱長為 2， 則 A（ 0， 0， 0）， 0， 0， 2）， 2， 0， 2）， E（ 0， 1， 0）， F（ 0， 0， 1）， 0， 2， 2）， M（ 0， 2， 1） 則 =（ 0， 2， 1）， =（ 2， 0， 0）， =（ 0， 1， 2）， 則 =0， =2 2=0， 則 1E=A， 平面 面 平面 平面 （ ） 若 ， ， ， M 是棱 中點，點 N 在線段 ， ， 即 ，則 = ， 則 N（ ， 2， 1）， =（ ， 2， 0）， =（ 0， 2， 1）， 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z）， 則 = x+2y=0， =2y+z=0， 令 x= ，則 y= 1， z=2， 則 =（ ， 1， 2）， 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z）， =（ 0， 2， 0）， 則 = x+2y=0， =2y=0， 則 y=0， x=0，設(shè) z=1， 則 =（ 0， 0， 1）， 則 = ， 則 = ， 即二面角 M 的大小為 【點評】 本題考查了空間中的面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強，運算量較大 20（ 13 分）（ 2016 達(dá)州模擬）過橢圓 C： + =1（ a 0， b 0）右焦點 F（ c， 0）的直線 l 與 C 相交于 A、 B 兩點， l 交 y 軸于 E 點， C 的離心率 e= 當(dāng)直線 l 斜率為 1時，點（ 0， b）到 l 的距離為 （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）若 M（ t， 0）滿足： = ，求實數(shù) t 的取值范圍 【分析】 （ I）直線 l 的方程為： y=x c，點（ 0， b）到 l 的距離為 ，可得 = ，即 b+c=2，又 e= = ， a2=b2+立解出即可得出 （ F（ 1， 0），可設(shè)直線 l 的方程為： y=k（ x 1）， E（ 0， k）， A（ B（ x2，與橢圓方程聯(lián)立化為：（ 1+242=0， 利用根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)及其 = ，可得： t= ，令 21=m （ 1， 0） （ 0， +），則 t= =f（ m），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出 【解答】 解：（ I）直線 l 的方程為： y=x c，點（ 0， b）到 l 的距離為 ， = ，化為 b+c=2， 又 e= = ， a2=b2+立解得 ： b=c=1， 橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1 （ F（ 1， 0），可設(shè)直線 l 的方程為： y=k（ x 1）， E（ 0， k）， A（ B（ x2， 聯(lián)立 ，化為：（ 1+242=0， x1+， ， = ， （ t， t， =（ 1 t， 0）（ t， k）， 化為： t（ x1+t2+t， t（ x1+x1+ t， 即（ 1+ t+ x1+t=0， （ 1+（ t+ +t=0， 化為：