《論文勢(shì)阱中粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的研究 論文 定稿(定稿)》.doc

論文勢(shì)阱中粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的研究 論文 定稿(定稿) 本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目勢(shì)阱中粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的研究姓名董賢寶指導(dǎo)教師馬堃院系信息工程學(xué)院專業(yè)物理學(xué)提交日期xx年5月7日目錄中文摘要2外文摘要3引言41一維無(wú)限深勢(shì)阱42一維半無(wú)限深勢(shì)阱72.1模型172.2模型2103一維有限深勢(shì)阱123.1勢(shì)阱外133.2勢(shì)阱內(nèi)133.2.1偶宇稱態(tài)143.2.2奇宇稱態(tài)144總結(jié)15參考文獻(xiàn)17致謝18勢(shì)阱中粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的研究06物理董賢寶指導(dǎo)教師馬堃（黃山學(xué)院信息工程學(xué)院，黃山，安徽245041）摘要本文將對(duì)粒子在一維勢(shì)阱中的行為進(jìn)行系統(tǒng)的研究。 具體地，將針對(duì)不同位置的一維有限深、無(wú)限深勢(shì)阱對(duì)應(yīng)薛定諤方程的解法進(jìn)行探討，并對(duì)以上勢(shì)阱中的粒子運(yùn)動(dòng)行為進(jìn)行研究，總結(jié)出不同勢(shì)阱對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)行為的影響。 得知一維無(wú)限深勢(shì)阱是一維半無(wú)限深勢(shì)阱的特例，而一維半無(wú)限深勢(shì)阱是一維有限深勢(shì)阱的特例。 所以我們只要掌握了一維有限深勢(shì)阱的情況，那么對(duì)于一維半無(wú)限深勢(shì)阱和一維無(wú)限深勢(shì)阱的情況，就很容易了解了。 關(guān)鍵詞勢(shì)阱，波函數(shù)，能量Potential wellin thestate ofparticle motionPhysics06Dongxianbao DirectorMa Kun(College ofInformation Engineering,Huangshan University,Anhui,China,245041)Abstract:The behavior of the particle whichin one-dimensional potential well hasbeen studiedin thispaper.Corresponds to the solutionof theSchrodinger equationgave beengiven.Then theinfection ofpotential welltothebehaviorof theparticlebeen summarizedat last.We knowthat onedimensional infinite potentialwell is one-dimensional semi-infinite well ofthespecial caseand one-dimensional semi-infinite one-dimensional potentialwellisa specialcase offinitepotentialwell.Once wehave onlya limitedgrasp ofthe one-dimensional potentialwellofthe situation.Then wecan clearlyunderstand one-dimensional semi-infinite welland theone-dimensional infinitewell case(Wave functionand energylevel formulas).Key Words:Potential well,Wave function,Energy引言量子力學(xué)最基本的任務(wù)就是求解薛定諤方程，而薛定諤方程的求解的難易主要取決與勢(shì)函數(shù)的形式，目前可以精確求解的薛定諤方程很少，這主要是由于具體問(wèn)題中的勢(shì)函數(shù)所帶來(lái)的計(jì)算困難。 目前，國(guó)內(nèi)外初等量子力學(xué)教材中1-3，都普遍地將一維無(wú)限深勢(shì)阱模型作為可以精確求解的一個(gè)例子。 然而，教材中多以單個(gè)模型勢(shì)阱進(jìn)行了講解，沒(méi)有擴(kuò)展到一般的情況。 近年，在教學(xué)和科研方面，也有不少學(xué)者針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了研究4-10，xx年，劉敏等4通過(guò)作圖研究了一維無(wú)限深勢(shì)阱中引入勢(shì)壘后的能級(jí)變化情況，隨著雙勢(shì)阱的壘高不斷增大，相鄰的奇宇稱能級(jí)與偶宇稱能級(jí)逐漸接近，當(dāng)勢(shì)壘高度趨于無(wú)窮大時(shí)，二者相等，能級(jí)由原來(lái)的非簡(jiǎn)并變成了簡(jiǎn)并；xx年，梁麥林等5對(duì)無(wú)限深勢(shì)阱中自旋為0和1/2的相對(duì)論粒子進(jìn)行了研究，分別計(jì)算了坐標(biāo)、動(dòng)量以及速度算符的矩陣元；同年，徐建良等利用數(shù)值計(jì)算的方法，研究了一維對(duì)稱雙勢(shì)阱的透射系數(shù)與勢(shì)阱的深度、兩勢(shì)阱間距以及入射粒子能量之間的變化規(guī)律，并分析產(chǎn)生共振透射的條件；xx年，尹建武6用數(shù)值計(jì)算方法求出了一維有限深不對(duì)稱方勢(shì)阱中束縛粒子的能級(jí)和歸一化波函數(shù)及其圖示，所得結(jié)果在勢(shì)阱深度趨于無(wú)窮大時(shí)與無(wú)限深勢(shì)阱的結(jié)果一致；xx年，李柏林7使用Matlab軟件求解了一維半無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題，得到相應(yīng)的能級(jí)表達(dá)式。 本文將對(duì)粒子在一維勢(shì)阱中的行為進(jìn)行系統(tǒng)的研究，具體地將針對(duì)不同位置的一維有限深、無(wú)限深勢(shì)阱對(duì)應(yīng)薛定諤方程的解法進(jìn)行研究，并對(duì)以上勢(shì)阱中的粒子運(yùn)動(dòng)行為進(jìn)行研究，總結(jié)出不同勢(shì)阱對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)行為的影響。 從研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對(duì)于無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子是無(wú)法越出勢(shì)阱的，即粒子在勢(shì)阱外的概率為0。 對(duì)與半無(wú)限深勢(shì)阱中粒子也只能越出一邊。 其運(yùn)動(dòng)情況具有一定規(guī)律性。 一一維無(wú)限深勢(shì)阱質(zhì)量為m的粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱(如圖1)，其勢(shì)能函數(shù)可以表示為00(),xaU xxaxa?= （7）下面我們將分區(qū)間討論在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的薛定諤方程的解1在0xa時(shí)，薛定諤方程為221022dEUm dx=?+? （8）由于在0xa處，00U=所以有22122dEm dx=? （9）兩邊作變換，得21222mEddx=?令12mEk=? （10）從而可得方程 (9)的通解為0UXa0圖2一維半無(wú)限深勢(shì)阱20tantansin1tankakkakkaykka=?=+在根據(jù)邊界條件1 (0)0=得 (0)sin0A=即0=則，上式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為1()sinxAkx= （11）2在xa時(shí)，0UU=于是有222022dEUm dx=?+? （12）作變換得202222()0dmU?Edx?=令022(m U)E=? （13）則2xBe?=xa （14）由波函數(shù)的連續(xù)性條件，可知()1(lnsin)coslnxx a=x a=kxe?=即cot()kka?= （15）令ka=，a= （16）將 （16）式代入 （15）式得到cot?= （17）同時(shí)結(jié)合 （10）、 （13）和 （16）式得到和滿足的超越代數(shù)方程組22xx22(m U)EE a+?=? （18）到這里我們知道式 （17）與 （18）是與滿足的超越代數(shù)方程組，可用數(shù)值計(jì)算求解，或用圖解法近似的求解。 我們這里采用圖解法來(lái)求解根據(jù)式 （15）得到tankak=? （19）為了使圖解法變得簡(jiǎn)潔一點(diǎn)我們?cè)俅螌?duì)式 （19）進(jìn)行變形20tansin1tankakkakka=+ （20）式中002mUk=? （20）式也是超越方程，畫(huà)出yk?圖如下圖所示，圖中直線0yk k=與曲線sinyka=在ka的第二和四象限的交點(diǎn)1P，2P，3P，所對(duì)應(yīng)的1k，2k，3k，值，按222kEm=?，即可算出相應(yīng)的能級(jí)E-sinyka=0yk k=4P2P3P1P1k2k3k4k0kk0ya2a3a一維半無(wú)限深勢(shì)阱模型1能級(jí)圖解圖2.2模型2質(zhì)量為m的粒子在一維半無(wú)限深勢(shì)阱(如圖3)，其勢(shì)能函數(shù)可以表示為0000xUUxaax?= （21）下面我們將分區(qū)間討論在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的薛定諤方程的解1在xa （22）令102(m E)U?=? （23）得到11xAe= （24）2在0ax?時(shí)，波函數(shù)()x0=，則2 (0)0=，即22sin0cos00AkBk?+?=所以有20B=所以波函數(shù)可寫成22sinAkx= （29）由波函數(shù)的連續(xù)性條件，并求導(dǎo)得到1212sincosaaAeAkaA eAkka?=?= （30）解得cotkka=? （31）令a=，ka= （32）將 （32）式代入 （31）得cot?= （33）同時(shí)結(jié)合 （23）、 （26）和 （32）式得了和滿足的超越代數(shù)方程組2212022(m E)EU+?= （34）到這里我們發(fā)現(xiàn)模型2情況同模型1是一樣的，下面分析也同模型2。 由 （31）式得tankak=?為了使圖解法變得簡(jiǎn)潔一點(diǎn)我們?cè)俅螌?duì)式 （31）進(jìn)行變形20tansin1tankakkakka=+ （35）式中002mUk=?， （35）式也是超越方程，畫(huà)出yk?圖如下圖所示，圖中直線0yk k=與曲線sinyka=在ka的第二和四象限的交點(diǎn)1P，2P，3P，所對(duì)應(yīng)的1k，2k，3k，值，按222kEm=?，即可算出相應(yīng)的能級(jí)E0三一維有限深勢(shì)阱質(zhì)量為m的粒子在一維有限深勢(shì)阱(如圖4)，其勢(shì)能函數(shù)可以表示為0U0UX2a?2a圖4一維有限深勢(shì)阱2P3P1P1k2k3k4k0kkya2a3a一維半無(wú)限深勢(shì)阱模型2能級(jí)圖解圖sinyka=0yk k=4P002()2xaU xUxa?=? （37）其中a為勢(shì)阱寬度，0U為勢(shì)阱高度。 下面我們將分區(qū)間討論在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的薛定諤方程的解3.1在勢(shì)阱外，即2xa，定態(tài)波動(dòng)方程為20222()0dmU?Edx?= （38）令02(m U)E=? （39）則方程 (34)有如下指數(shù)形式的解xe?考慮到束縛邊界條件0x處，()x0于是波函數(shù)應(yīng)取如下形式2()x2xxAexaBexa?=? （40）上式中常數(shù)A和B待定，當(dāng)0U（無(wú)限深勢(shì)阱），即則上式0=3.2在勢(shì)阱內(nèi)，即2xa，薛定諤方程為22220dmEdx+=? （41）令2kmE=? （42）則方程 (40)有如下形式的解sinkx，coskx或ikxe但考慮到勢(shì)阱具有空間的反射不變性()()UxU x?=，則必有確定的宇稱，因此只能取sinkx或coskx形式。 下面作如下的討論3.2.1偶宇稱態(tài)()xcoskx?，2xa （43）則由連續(xù)性可有()()22lncoslnxx a=x a=kxe?= （44）解得sincosxxkxekkxe?=? （45）顯然有()tan2kka= （46）令2ka=，2a= （47）tan= （48）此外按照 （39）、 （42）與 （47），得到與滿足的超越代數(shù)方程組有222022mU a+=? （49）3.2.1奇宇稱態(tài)()sinxkx?，()2xa （50）與偶宇稱類似，利用()ln的連續(xù)條件有()()22lnsinlnxx a=x a=kxe?= （51）可求得()cot2kka?= （52）同理令2ka=，2a= （53）代入上 （52）式有cot?= （54）將 （54）聯(lián)立 （49），可確定參數(shù)和，從而確定能量本征值。 在一維有限深勢(shì)阱下，無(wú)論20U a的值多小，方程 （48）和 （49）至少有一個(gè)根，換言之至少存在一個(gè)束縛態(tài)（基態(tài)），其宇稱為偶，當(dāng)20U a增大，使2222022mU a+=?時(shí)， （55）則將出現(xiàn)偶宇稱第一激發(fā)態(tài)。 當(dāng)20U a繼續(xù)增大，還將一次出現(xiàn)更高的激發(fā)能級(jí)。 但奇宇稱與上述情況不一樣。 只當(dāng)22220224mU a+=? （56）即22202U am? （57）只在上述情況下才可能出現(xiàn)最低的奇宇稱能級(jí)。 四總結(jié)以上對(duì)一維無(wú)限深勢(shì)阱、一維半無(wú)限深勢(shì)阱和一維有限深勢(shì)阱中粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行了簡(jiǎn)單的探討。 得到如下結(jié)論 1、在無(wú)限深勢(shì)阱中，粒子被“束縛”在勢(shì)阱內(nèi)，無(wú)法越出勢(shì)阱，即勢(shì)阱外波函數(shù)為零。 粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中的能量為22222nEnma=?，1,2,3n=?并且能量是分立取的； 2、在一維半無(wú)限深勢(shì)阱中，我們分了模型1和模型2來(lái)分析的。 通過(guò)分析可知我們所采用的模型1和模型2其量子行為是相同的。 3、從一維半無(wú)限深勢(shì)阱能級(jí)圖解圖中，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)k，即0U時(shí)，一維半無(wú)限深勢(shì)阱就會(huì)變成一維無(wú)限深勢(shì)阱，且1P，2P，3P，分別與a重合，相應(yīng)的，2，a3，重合，從而可得到更加一般性的結(jié)論，即anP與nannka=，22222nEnma=?，1,2,3n=?，由于在結(jié)論2中勢(shì)阱寬度為a，將a換成2a。 即一維無(wú)限深勢(shì)阱的勢(shì)阱寬度相同。 則能級(jí)公式變?yōu)?2228nnEma=?，1,2,3n=?。 從而可以看出，一維半無(wú)限深勢(shì)阱便自然過(guò)渡到一維無(wú)限深勢(shì)阱能級(jí)公式。 說(shuō)明一維無(wú)限深勢(shì)阱是一維半無(wú)限深勢(shì)阱在兩邊勢(shì)壁無(wú)限高無(wú)限高，阱寬相同的特例。 4、一維有限深勢(shì)阱的波函數(shù)4.1在勢(shì)阱外2()x2xxAexaBexa?=?一維有限深勢(shì)阱兩邊勢(shì)阱高度都為0U，式中常數(shù)A和B待定，當(dāng)一邊0U，即則上式有一個(gè)0=。 4.2在勢(shì)阱內(nèi)()xsinkx?或()xcoskx? 5、一維半無(wú)限深勢(shì)阱的波函數(shù)5.1在勢(shì)阱外模型1xBe?=模型2xAe=5.2在勢(shì)阱內(nèi)模型1和模型2sinAkx=從以上分析可知，一維半無(wú)限深勢(shì)阱只是一維有限深勢(shì)阱的特例；上面我們總結(jié)了一維無(wú)限深勢(shì)阱勢(shì)是一維半無(wú)限深勢(shì)阱的特例。 所以我們只要掌握了一維有限深勢(shì)阱的情況。 那么對(duì)于一維半無(wú)限深勢(shì)阱和一維無(wú)限深勢(shì)阱的情況（波函數(shù)和能級(jí)公式），就很容易了。 參考文獻(xiàn)1曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)導(dǎo)論(第二版)M.北京:北京大學(xué)出版社,1998,57-60.2汪德新.量子力學(xué)M.武漢:湖北科學(xué)技術(shù)出版社,2000,187-1913蘇汝鏗.量子力學(xué)M,上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1997,37-404劉敏,韓廣兵,孫艷等.雙阱勢(shì)能級(jí)研究J.原子與分子物理學(xué)報(bào).xx,23 (6):1159-11615梁麥林,張福林,袁兵.無(wú)窮深勢(shì)阱中相對(duì)論粒子的矩陣元及其經(jīng)典近