數(shù)學模型與數(shù)學建模課件

數(shù)學模型 1 PPT學習交流 課程簡介 2 PPT學習交流 第一章建立數(shù)學模型第二章初等模型第三章簡單的優(yōu)化模型第四章數(shù)學規(guī)劃模型第五章微分方程模型第六章穩(wěn)定性模型第七章差分方程模型第八章離散模型第九章概率模型第十章統(tǒng)計回歸模型附錄 數(shù)學建模實驗 3 PPT學習交流 教學進度 4 PPT學習交流 5 PPT學習交流 第一章建立數(shù)學模型 1 1從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型1 2數(shù)學建模的重要意義1 3數(shù)學建模示例1 4數(shù)學建模的方法和步驟1 5數(shù)學模型的特點和分類1 6怎樣學習數(shù)學建模 6 PPT學習交流 玩具 照片 飛機 火箭模型 實物模型 水箱中的艦艇 風洞中的飛機 物理模型 地圖 電路圖 分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型 模型是為了一定目的 對客觀事物的一部分進行簡縮 抽象 提煉出來的原型的替代物 模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征 1 1從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型 我們常見的模型 7 PPT學習交流 你碰到過的數(shù)學模型 航行問題 用x表示船速 y表示水速 列出方程 答 船速每小時20千米 小時 甲乙兩地相距750千米 船從甲到乙順水航行需30小時 從乙到甲逆水航行需50小時 問船的速度是多少 x 20y 5 8 PPT學習交流 航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟 作出簡化假設(shè) 船速 水速為常數(shù) 用符號表示有關(guān)量 x y表示船速和水速 用物理定律 勻速運動的距離等于速度乘以時間 列出數(shù)學式子 二元一次方程 求解得到數(shù)學解答 x 20 y 5 回答原問題 船速每小時20千米 小時 9 PPT學習交流 數(shù)學模型 MathematicalModel 和數(shù)學建模 MathematicalModeling 對于一個現(xiàn)實對象 為了一個特定目的 根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律 作出必要的簡化假設(shè) 運用適當?shù)臄?shù)學工具 得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu) 建立數(shù)學模型的全過程 包括表述 求解 解釋 檢驗等 數(shù)學模型 數(shù)學建模 10 PPT學習交流 1 2數(shù)學建模的重要意義 電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展 數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透 數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步 越來越受到人們的重視 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學建模仍然大有用武之地 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具 數(shù)學進入一些新領(lǐng)域 為數(shù)學建模開辟了許多處女地 11 PPT學習交流 數(shù)學建模的具體應用 分析與設(shè)計 預報與決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理 數(shù)學建模 計算機技術(shù) 知識經(jīng)濟 12 PPT學習交流 1 3數(shù)學建模示例 1 3 1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎 問題分析 模型假設(shè) 通常 三只腳著地 放穩(wěn) 四只腳著地 四條腿一樣長 椅腳與地面點接觸 四腳連線呈正方形 地面高度連續(xù)變化 可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面 地面相對平坦 使椅子在任意位置至少三只腳同時著地 13 PPT學習交流 模型構(gòu)成 用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置 利用正方形 椅腳連線 的對稱性 用 對角線與x軸的夾角 表示椅子位置 四只腳著地 距離是 的函數(shù) 四個距離 四只腳 A C兩腳與地面距離之和 f B D兩腳與地面距離之和 g 兩個距離 椅腳與地面距離為零 正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn) 14 PPT學習交流 用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 f g 是連續(xù)函數(shù) 對任意 f g 至少一個為0 數(shù)學問題 已知 f g 是連續(xù)函數(shù) 對任意 f g 0 且g 0 0 f 0 0 證明 存在 0 使f 0 g 0 0 模型構(gòu)成 地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地 15 PPT學習交流 模型求解 給出一種簡單 粗糙的證明方法 將椅子旋轉(zhuǎn)900 對角線AC和BD互換 由g 0 0 f 0 0 知f 2 0 g 2 0 令h f g 則h 0 0和h 2 0 由f g的連續(xù)性知h為連續(xù)函數(shù) 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 必存在 0 使h 0 0 即f 0 g 0 因為f g 0 所以f 0 g 0 0 評注和思考 建模的關(guān)鍵 假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì) 考察四腳呈長方形的椅子 和f g 的確定 16 PPT學習交流 背景 世界人口增長概況 中國人口增長概況 研究人口變化規(guī)律 控制人口過快增長 1 3 3如何預報人口的增長 17 PPT學習交流 指數(shù)增長模型 馬爾薩斯提出 1798 常用的計算公式 x t 時刻t的人口 基本假設(shè) 人口 相對 增長率r是常數(shù) 今年人口x0 年增長率r k年后人口 隨著時間增加 人口按指數(shù)規(guī)律無限增長 18 PPT學習交流 指數(shù)增長模型的應用及局限性 與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預測 不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預測較長期的人口增長過程 19世紀后人口數(shù)據(jù) 19 PPT學習交流 阻滯增長模型 Logistic模型 人口增長到一定數(shù)量后 增長率下降的原因 資源 環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用 且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大 假設(shè) r 固有增長率 x很小時 xm 人口容量 資源 環(huán)境能容納的最大數(shù)量 20 PPT學習交流 x t S形曲線 x增加先快后慢 阻滯增長模型 Logistic模型 21 PPT學習交流 參數(shù)估計 用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報 必須先估計模型參數(shù)r或r xm 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合 例 美國人口數(shù)據(jù) 單位 百萬 專家估計 阻滯增長模型 Logistic模型 22 PPT學習交流 模型檢驗 用模型計算2000年美國人口 與實際數(shù)據(jù)比較 實際為281 4 百萬 模型應用 預報美國2010年的人口 加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù) Logistic模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應用 如耐用消費品的售量 阻滯增長模型 Logistic模型 23 PPT學習交流 數(shù)學建模的基本方法 機理分析 測試分析 根據(jù)對客觀事物特性的認識 找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律 將對象看作 黑箱 通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析 找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型 機理分析沒有統(tǒng)一的方法 主要通過實例研究 CaseStudies 來學習 以下建模主要指機理分析 二者結(jié)合 用機理分析建立模型結(jié)構(gòu) 用測試分析確定模型參數(shù) 1 4數(shù)學建模的方法和步驟 24 PPT學習交流 數(shù)學建模的一般步驟 模型準備 了解實際背景 明確建模目的 搜集有關(guān)信息 掌握對象特征 形成一個比較清晰的 問題 25 PPT學習交流 模型假設(shè) 針對問題特點和建模目的 作出合理的 簡化的假設(shè) 在合理與簡化之間作出折中 模型構(gòu)成 用數(shù)學的語言 符號描述問題 發(fā)揮想像力 使用類比法 盡量采用簡單的數(shù)學工具 數(shù)學建模的一般步驟 26 PPT學習交流 模型求解 各種數(shù)學方法 軟件和計算機技術(shù) 如結(jié)果的誤差分析 統(tǒng)計分析 模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析 模型分析 模型檢驗 與實際現(xiàn)象 數(shù)據(jù)比較 檢驗模型的合理性 適用性 模型應用 數(shù)學建模的一般步驟 27 PPT學習交流 數(shù)學建模的全過程 現(xiàn)實對象的信息 數(shù)學模型 現(xiàn)實對象的解答 數(shù)學模型的解答 歸納 演繹 表述 求解 解釋 驗證 根據(jù)建模目的和信息將實際問題 翻譯 成數(shù)學問題 選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答 將數(shù)學語言表述的解答 翻譯 回實際對象 用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答 實踐 現(xiàn)實世界 數(shù)學世界 28 PPT學習交流 1 5數(shù)學模型的特點和分類 模型的逼真性和可行性 模型的漸進性 模型的強健性 模型的可轉(zhuǎn)移性 模型的非預制性 模型的條理性 模型的技藝性 模型的局限性 數(shù)學模型的特點 29 PPT學習交流 數(shù)學模型的分類 應用領(lǐng)域 人口 交通 經(jīng)濟 生態(tài) 數(shù)學方法 初等數(shù)學 微分方程 規(guī)劃 統(tǒng)計 表現(xiàn)特性 描述 優(yōu)化 預報 決策 建模目的 了解程度 白箱 灰箱 黑箱 確定和隨機 靜態(tài)和動態(tài) 線性和非線性 離散和連續(xù) 30 PPT學習交流 1 6怎樣學習數(shù)學建模 數(shù)學建模與其說是一門技術(shù) 不如說是一門藝術(shù) 技術(shù)大致有章可循 藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準則 想像力 洞察力 判斷力 學習 分析 評價 改進別人作過的模型 親自動手 認真作幾個實際題目 31 PPT學習交流 第二章初等模型 2 1公平的席位分配2 2錄像機計數(shù)器的用途2 3雙層玻璃窗的功效2 7實物交換 32 PPT學習交流 2 1公平的席位分配 問題 三個系學生共200名 甲系100 乙系60 丙系40 代表會議共20席 按比例分配 三個系分別為10 6 4席 現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系 三系人數(shù)為103 63 34 問20席如何分配 若增加為21席 又如何分配 比例加慣例 對丙系公平嗎 33 PPT學習交流 公平 分配方法 衡量公平分配的數(shù)量指標 當p1 n1 p2 n2時 分配公平 p1 n1 p2 n2 對A的絕對不公平度 p1 150 n1 10 p1 n1 15p2 100 n2 10 p2 n2 10 p1 1050 n1 10 p1 n1 105p2 1000 n2 10 p2 n2 100 p1 n1 p2 n2 5 但后者對A的不公平程度已大大降低 雖二者的絕對不公平度相同 若p1 n1 p2 n2 對不公平 A p1 n1 p2 n2 5 34 PPT學習交流 公平分配方案應使rA rB盡量小 設(shè)A B已分別有n1 n2席 若增加1席 問應分給A 還是B 不妨設(shè)分配開始時p1 n1 p2 n2 即對A不公平 對A的相對不公平度 將絕對度量改為相對度量 類似地定義rB n1 n2 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配 即 公平 分配方法 若p1 n1 p2 n2 定義 35 PPT學習交流 1 若p1 n1 1 p2 n2 則這席應給A 2 若p1 n1 1 p2 n2 3 若p1 n1 p2 n2 1 應計算rB n1 1 n2 應計算rA n1 n2 1 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 則這席應給 應討論以下幾種情況 初始p1 n1 p2 n2 問 p1 n1 p2 n2 1 是否會出現(xiàn) A 否 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 則這席應給B 36 PPT學習交流 當rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 該席給A 該席給A 否則 該席給B 推廣到m方分配席位 該席給Q值最大的一方 Q值方法 37 PPT學習交流 三系用Q值方法重新分配21個席位 按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢 甲系 p1 103 n1 10乙系 p2 63 n2 6丙系 p3 34 n3 3 用Q值方法分配第20席和第21席 第20席 第21席 同上 Q3最大 第21席給丙系 甲系11席 乙系6席 丙系4席 Q值方法分配結(jié)果 公平嗎 Q1最大 第20席給甲系 38 PPT學習交流 進一步的討論 Q值方法比 比例加慣例 方法更公平嗎 席位分配的理想化準則 已知 m方人數(shù)分別為p1 p2 pm 記總?cè)藬?shù)為P p1 p2 pm 待分配的總席位為N 設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1 n2 nm 自然應有n1 n2 nm N 記qi Npi P i 1 2 m ni應是N和p1 pm的函數(shù) 即ni ni N p1 pm 若qi均為整數(shù) 顯然應ni qi 39 PPT學習交流 qi Npi P不全為整數(shù)時 ni應滿足的準則 記 qi floor qi 向 qi方向取整 qi ceil qi 向 qi方向取整 1 qi ni qi i 1 2 m 2 ni N p1 pm ni N 1 p1 pm i 1 2 m 即ni必取 qi qi 之一 即當總席位增加時 ni不應減少 比例加慣例 方法滿足1 但不滿足2 Q值方法滿足2 但不滿足1 令人遺憾 40 PPT學習交流 問題 在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半 計數(shù)器讀數(shù)為4450 問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目 要求 不僅回答問題 而且建立計數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時間的關(guān)系 思考 計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎 2 2錄像機計數(shù)器的用途 經(jīng)試驗 一盤標明180分鐘的錄像帶從頭走到尾 時間用了184分 計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061 41 PPT學習交流 錄像機計數(shù)器的工作原理 錄像帶運動 問題分析 觀察 計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢 42 PPT學習交流 模型假設(shè) 錄像帶的運動速度是常數(shù)v 計數(shù)器讀數(shù)n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)m成正比 記m kn 錄像帶厚度 加兩圈間空隙 為常數(shù)w 空右輪盤半徑記作r 時間t 0時讀數(shù)n 0 建模目的 建立時間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系 設(shè)v k w r為已知參數(shù) 43 PPT學習交流 模型建立 建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法 1 右輪盤轉(zhuǎn)第i圈的半徑為r wi m圈的總長度等于錄像帶在時間t內(nèi)移動的長度vt 所以 44 PPT學習交流 2 考察右輪盤面積的變化 等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過的長度 即 3 考察t到t dt錄像帶在右輪盤纏繞的長度 有 模型建立 45 PPT學習交流 思考 3種建模方法得到同一結(jié)果 但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別 請解釋 模型中有待定參數(shù) 一種確定參數(shù)的辦法是測量或調(diào)查 請設(shè)計測量方法 思考 46 PPT學習交流 參數(shù)估計 另一種確定參數(shù)的方法 測試分析 將模型改記作 只需估計a b 理論上 已知t 184 n 6061 再有一組 t n 數(shù)據(jù)即可 實際上 由于測試有誤差 最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合 現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù) 用最小二乘法可得 47 PPT學習交流 模型檢驗 應該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗模型 模型應用 回答提出的問題 由模型算得n 4450時t 116 4分 剩下的錄像帶能錄184 116 4 67 6分鐘的節(jié)目 揭示了 t與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系 這一普遍規(guī)律 當錄像帶的狀態(tài)改變時 只需重新估計a b即可 48 PPT學習交流 問題 雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比 減少多少熱量損失 假設(shè) 熱量傳播只有傳導 沒有對流 T1 T2不變 熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài) 材料均勻 熱傳導系數(shù)為常數(shù) 建模 熱傳導定律 Q 單位時間單位面積傳導的熱量 T 溫差 d 材料厚度 k 熱傳導系數(shù) 2 3雙層玻璃窗的功效 49 PPT學習交流 Ta Tb 記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1 Ta 內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度 Tb 外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度 建模 50 PPT學習交流 記單層玻璃窗傳導的熱量Q2 雙層與單層窗傳導的熱量之比 k1 4 10 3 8 10 3 k2 2 5 10 4 k1 k2 16 32 對Q1比Q2的減少量作最保守的估計 取k1 k2 16 建模 51 PPT學習交流 模型應用 取h l d 4 則Q1 Q2 0 03 即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比 可減少97 的熱量損失 結(jié)果分析 Q1 Q2所以如此小 是由于層間空氣極低的熱傳導系數(shù)k2 而這要求空氣非常干燥 不流通 房間通過天花板 墻壁 損失的熱量更多 雙層窗的功效不會如此之大 52 PPT學習交流 問題 甲有物品X 乙有物品Y 雙方為滿足更高的需要 商定相互交換一部分 研究實物交換方案 用x y分別表示甲 乙 占有X Y的數(shù)量 設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0 乙占有Y的數(shù)量為y0 作圖 若不考慮雙方對X Y的偏愛 則矩形內(nèi)任一點p x y 都是一種交換方案 甲占有 x y 乙占有 x0 x y0 y 2 7實物交換 53 PPT學習交流 甲的無差別曲線 分析與建模 如果甲占有 x1 y1 與占有 x2 y2 具有同樣的滿意程度 即p1 p2對甲是無差別的 線上各點的滿意度相同 線的形狀反映對X Y的偏愛程度 比MN各點滿意度更高的點如p3 在另一條無差別曲線M1N1上 于是形成一族無差別曲線 無數(shù)條 54 PPT學習交流 無差別曲線族的性質(zhì) 單調(diào)減 x增加 y減小 下凸 凸向原點 互不相交 在p1點占有x少 y多 寧愿以較多的 y換取較少的 x 在p2點占有y少 x多 就要以較多的 x換取較少的 y 甲的無差別曲線族記作 f x y c1 c1 滿意度 f 等滿意度曲線 55 PPT學習交流 乙的無差別曲線族g x y c2具有相同性質(zhì) 形狀可以不同 雙方的交換路徑 乙的無差別曲線族g c2 坐標系x O y 且反向 甲的無差別曲線族f c1 雙方滿意的交換方案必在AB 交換路徑 上 因為在AB外的任一點p 雙方 滿意度低于AB上的點p 兩族曲線切點連線記作AB 56 PPT學習交流 p 交換方案的進一步確定 交換方案 交換后甲的占有量 x y 0 x x0 0 y y0矩形內(nèi)任一點 交換路徑AB 等價交換原則 X Y用貨幣衡量其價值 設(shè)交換前x0 y0價值相同 則等價交換原則下交換路徑為 x0 0 0 y0 兩點的連線CD AB與CD的交點p 設(shè)X單價a Y單價b 則等價交換下ax by s s ax0 by0 57 PPT學習交流 第三章簡單的優(yōu)化模型 3 2生豬的出售時機3 3森林救火3 4最優(yōu)價格3 6消費者均衡 58 PPT學習交流 現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題 靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù) 不是函數(shù) 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當?shù)哪繕撕瘮?shù) 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法 靜態(tài)優(yōu)化模型 59 PPT學習交流 3 2生豬的出售時機 飼養(yǎng)場每天投入4元資金 用于飼料 人力 設(shè)備 估計可使80千克重的生豬體重增加2公斤 問題 市場價格目前為每千克8元 但是預測每天會降低0 1元 問生豬應何時出售 如果估計和預測有誤差 對結(jié)果有何影響 分析 投入資金使生豬體重隨時間增加 出售單價隨時間減少 故存在最佳出售時機 使利潤最大 60 PPT學習交流 求t使Q t 最大 10天后出售 可多得利潤20元 建模及求解 生豬體重w 80 rt 出售價格p 8 gt 銷售收入R pw 資金投入C 4t 利潤Q R C pw C 估計r 2 若當前出售 利潤為80 8 640 元 t天出售 10 Q 10 660 640 g 0 1 61 PPT學習交流 敏感性分析 研究r g變化時對模型結(jié)果的影響 設(shè)g 0 1不變 t對r的 相對 敏感度 生豬每天體重增加量r增加1 出售時間推遲3 62 PPT學習交流 敏感性分析 研究r g變化時對模型結(jié)果的影響 設(shè)r 2不變 t對g的 相對 敏感度 生豬價格每天的降低量g增加1 出售時間提前3 63 PPT學習交流 強健性分析 保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售 由S t r 3 建議過一周后 t 7 重新估計 再作計算 研究r g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響 w 80 rt w w t p 8 gt p p t 若 10 則 30 64 PPT學習交流 3 3森林救火 森林失火后 要確定派出消防隊員的數(shù)量 隊員多 森林損失小 救援費用大 隊員少 森林損失大 救援費用小 綜合考慮損失費和救援費 確定隊員數(shù)量 問題分析 問題 記隊員人數(shù)x 失火時刻t 0 開始救火時刻t1 滅火時刻t2 時刻t森林燒毀面積B t 損失費f1 x 是x的減函數(shù) 由燒毀面積B t2 決定 救援費f2 x 是x的增函數(shù) 由隊員人數(shù)和救火時間決定 存在恰當?shù)膞 使f1 x f2 x 之和最小 65 PPT學習交流 關(guān)鍵是對B t 作出合理的簡化假設(shè) 問題分析 失火時刻t 0 開始救火時刻t1 滅火時刻t2 畫出時刻t森林燒毀面積B t 的大致圖形 分析B t 比較困難 轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB dt 66 PPT學習交流 模型假設(shè) 3 f1 x 與B t2 成正比 系數(shù)c1 燒毀單位面積損失費 1 0 t t1 dB dt與t成正比 系數(shù) 火勢蔓延速度 2 t1 t t2 降為 x 為隊員的平均滅火速度 4 每個隊員的單位時間滅火費用c2 一次性費用c3 假設(shè)1 的解釋 火勢以失火點為中心 均勻向四周呈圓形蔓延 半徑r與t成正比 67 PPT學習交流 模型建立 目標函數(shù) 總費用 68 PPT學習交流 模型建立 目標函數(shù) 總費用 模型求解 求x使C x 最小 結(jié)果解釋 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù) 其中c1 c2 c3 t1 為已知參數(shù) 69 PPT學習交流 模型應用 c1 c2 c3已知 t1可估計 c2 x c1 t1 x c3 x 結(jié)果解釋 c1 燒毀單位面積損失費 c2 每個隊員單位時間滅火費 c3 每個隊員一次性費用 t1 開始救火時刻 火勢蔓延速度 每個隊員平均滅火速度 為什么 可設(shè)置一系列數(shù)值 由模型決定隊員數(shù)量x 70 PPT學習交流 3 4最優(yōu)價格 問題 根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求 在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價格 使利潤最大 假設(shè) 1 產(chǎn)量等于銷量 記作x 2 收入與銷量x成正比 系數(shù)p即價格 3 支出與產(chǎn)量x成正比 系數(shù)q即成本 4 銷量x依賴于價格p x p 是減函數(shù) 建模與求解 收入 支出 利潤 進一步設(shè) 求p使U p 最大 71 PPT學習交流 使利潤U p 最大的最優(yōu)價格p 滿足 最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到 建模與求解 72 PPT學習交流 結(jié)果解釋 q 2 成本的一半 b 價格上升1單位時銷量的下降幅度 需求對價格的敏感度 a 絕對需求 p很小時的需求 b p a p 思考 如何得到參數(shù)a b 73 PPT學習交流 3 6消費者均衡 問題 消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別曲線族表示 問他如何分配一定數(shù)量的錢 購買這兩種商品 以達到最大的滿意度 設(shè)甲乙數(shù)量為q1 q2 消費者的無差別曲線族 單調(diào)減 下凸 不相交 記作U q1 q2 c U q1 q2 效用函數(shù) 已知甲乙價格p1 p2 有錢s 試分配s 購買甲乙數(shù)量q1 q2 使U q1 q2 最大 74 PPT學習交流 模型及求解 已知價格p1 p2 錢s 求q1 q2 或p1q1 p2q2 使U q1 q2 最大 幾何解釋 直線MN 最優(yōu)解Q MN與l2切點 斜率 75 PPT學習交流 結(jié)果解釋 邊際效用 消費者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們價格之比時達到 效用函數(shù)U q1 q2 應滿足的條件 A U q1 q2 c所確定的函數(shù)q2 q2 q1 單調(diào)減 下凸 解釋B的實際意義 76 PPT學習交流 效用函數(shù)U q1 q2 幾種常用的形式 消費者均衡狀態(tài)下購買兩種商品費用之比與二者價格之比的平方根成正比 U q1 q2 中參數(shù) 分別表示消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度 77 PPT學習交流 購買兩種商品費用之比與二者價格無關(guān) U q1 q2 中參數(shù) 分別表示對甲乙的偏愛程度 思考 如何推廣到m 2 種商品的情況 效用函數(shù)U q1 q2 幾種常用的形式 78 PPT學習交流 第四章數(shù)學規(guī)劃模型 4 3汽車生產(chǎn)與原油采購4 5飲料廠的生產(chǎn)與檢修 79 PPT學習交流 數(shù)學規(guī)劃模型 實際問題中的優(yōu)化模型 x 決策變量 f x 目標函數(shù) gi x 0 約束條件 多元函數(shù)條件極值 決策變量個數(shù)n和約束條件個數(shù)m較大 最優(yōu)解在可行域的邊界上取得 數(shù)學規(guī)劃 線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃 重點在模型的建立和結(jié)果的分析 80 PPT學習交流 如果生產(chǎn)某一類型汽車 則至少要生產(chǎn)80輛 那么最優(yōu)的生產(chǎn)計劃應作何改變 例1汽車廠生產(chǎn)計劃 汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車 已知各類型每輛車對鋼材 勞動時間的需求 利潤及工廠每月的現(xiàn)有量 制訂月生產(chǎn)計劃 使工廠的利潤最大 4 3汽車生產(chǎn)與原油采購 81 PPT學習交流 設(shè)每月生產(chǎn)小 中 大型汽車的數(shù)量分別為x1 x2 x3 汽車廠生產(chǎn)計劃 模型建立 線性規(guī)劃模型 LP 82 PPT學習交流 模型求解 3 模型中增加條件 x1 x2 x3均為整數(shù) 重新求解 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 632 2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164 5161290 000000X2167 7419280 000000X30 0000000 946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2 0 0000000 7311833 0 0000000 003226 結(jié)果為小數(shù) 怎么辦 1 舍去小數(shù) 取x1 64 x2 167 算出目標函數(shù)值z 629 與LP最優(yōu)值632 2581相差不大 2 試探 如取x1 65 x2 167 x1 64 x2 168等 計算函數(shù)值z 通過比較可能得到更優(yōu)的解 但必須檢驗它們是否滿足約束條件 為什么 83 PPT學習交流 IP可用LINDO直接求解 整數(shù)規(guī)劃 IntegerProgramming 簡記IP gin3 表示 前3個變量為整數(shù) 等價于 ginx1ginx2ginx3 IP的最優(yōu)解x1 64 x2 168 x3 0 最優(yōu)值z 632 max2x1 3x2 4x3st1 5x1 3x2 5x3 600280 x1 250 x2 400 x3 60000endgin3 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 632 0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164 000000 2 000000X2168 000000 3 000000X30 000000 4 000000 模型求解 IP結(jié)果輸出 84 PPT學習交流 其中3個子模型應去掉 然后逐一求解 比較目標函數(shù)值 再加上整數(shù)約束 得最優(yōu)解 方法1 分解為8個LP子模型 汽車廠生產(chǎn)計劃 若生產(chǎn)某類汽車 則至少生產(chǎn)80輛 求生產(chǎn)計劃 x1 x2 x3 0或 80 x1 80 x2 150 x3 0 最優(yōu)值z 610 85 PPT學習交流 LINDO中對0 1變量的限定 inty1inty2inty3 方法2 引入0 1變量 化為整數(shù)規(guī)劃 M為大的正數(shù) 可取1000 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 610 0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX180 000000 2 000000X2150 000000 3 000000X30 000000 4 000000Y11 0000000 000000Y21 0000000 000000Y30 0000000 000000 若生產(chǎn)某類汽車 則至少生產(chǎn)80輛 求生產(chǎn)計劃 x1 0或 80 最優(yōu)解同前 86 PPT學習交流 NLP雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學軟件求解 如LINGO MATLAB 但是其結(jié)果常依賴于初值的選擇 方法3 化為非線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃 Non LinearProgramming 簡記NLP 實踐表明 本例僅當初值非常接近上面方法算出的最優(yōu)解時 才能得到正確的結(jié)果 若生產(chǎn)某類汽車 則至少生產(chǎn)80輛 求生產(chǎn)計劃 x1 0或 80 87 PPT學習交流 應如何安排原油的采購和加工 例2原油采購與加工 市場上可買到不超過1500噸的原油A 購買量不超過500噸時的單價為10000元 噸 購買量超過500噸但不超過1000噸時 超過500噸的部分8000元 噸 購買量超過1000噸時 超過1000噸的部分6000元 噸 88 PPT學習交流 決策變量 目標函數(shù) 問題分析 利潤 銷售汽油的收入 購買原油A的支出難點 原油A的購價與購買量的關(guān)系較復雜 原油A的購買量 原油A B生產(chǎn)汽油甲 乙的數(shù)量 c x 購買原油A的支出 利潤 千元 c x 如何表述 89 PPT學習交流 原油供應 約束條件 x 500噸單價為10千元 噸 500噸 x 1000噸 超過500噸的8千元 噸 1000噸 x 1500噸 超過1000噸的6千元 噸 目標函數(shù) 90 PPT學習交流 目標函數(shù)中c x 不是線性函數(shù) 是非線性規(guī)劃 對于用分段函數(shù)定義的c x 一般的非線性規(guī)劃軟件也難以輸入和求解 想辦法將模型化簡 用現(xiàn)成的軟件求解 汽油含原油A的比例限制 約束條件 91 PPT學習交流 x1 x2 x3 以價格10 8 6 千元 噸 采購A的噸數(shù) 目標函數(shù) 只有當以10千元 噸的價格購買x1 500 噸 時 才能以8千元 噸的價格購買x2 方法1 非線性規(guī)劃模型 可以用LINGO求解 模型求解 x x1 x2 x3 c x 10 x1 8x2 6x3 500噸 x 1000噸 超過500噸的8千元 噸 x x1 x2 x3 c x 10 x1 8x2 6x3 92 PPT學習交流 方法1 LINGO求解 Model Max 4 8 x11 4 8 x21 5 6 x12 5 6 x22 10 x1 8 x2 6 x3 x11 x120 2 x12 3 x22 0 x x1 x2 x3 x1 500 x2 0 x2 500 x3 0 x10 x11 0 x12 0 x21 0 x22 0 x1 0 x2 0 x3 0 end Objectivevalue 4800 000VariableValueReducedCostX11500 00000 0000000E 00X21500 00000 0000000E 00X120 0000000E 000 0000000E 00X220 0000000E 000 0000000E 00X10 1021405E 1310 00000X20 0000000E 008 000000X30 0000000E 006 000000X0 0000000E 000 0000000E 00 LINGO得到的是局部最優(yōu)解 還能得到更好的解嗎 用庫存的500噸原油A 500噸原油B生產(chǎn)汽油甲 不購買新的原油A 利潤為4 800千元 93 PPT學習交流 y1 y2 y3 1 以價格10 8 6 千元 噸 采購A 增加約束 方法2 0 1線性規(guī)劃模型 可用LINDO求解 y1 y2 y3 0或1 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1 5000 000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11 0000000 000000Y21 0000002200 000000Y31 0000001200 000000X110 0000000 800000X210 0000000 800000X121500 0000000 000000X221000 0000000 000000X1500 0000000 000000X2500 0000000 000000X30 0000000 400000X1000 0000000 000000 購買1000噸原油A 與庫存的500噸原油A和1000噸原油B一起 生產(chǎn)汽油乙 利潤為5 000千元 x1 x2 x3 以價格10 8 6 千元 噸 采購A的噸數(shù) 優(yōu)于方法1的結(jié)果 94 PPT學習交流 b1b2b3b4 方法3 b1 x b2 x z1b1 z2b2 z1 z2 1 z1 z2 0 c x z1c b1 z2c b2 b2 x b3 x z2b2 z3b3 z2 z3 1 z2 z3 0 c x z2c b2 z3c b3 b3 x b4 x z3b3 z4b4 z3 z4 1 z3 z4 0 c x z3c b3 z4c b4 直接處理處理分段線性函數(shù)c x 95 PPT學習交流 IP模型 LINDO求解 得到的結(jié)果與方法2相同 處理分段線性函數(shù) 方法3更具一般性 bk x bk 1 yk 1 否則 yk 0 方法3 bk x bk 1 x zkbk zk 1bk 1zk zk 1 1 zk zk 1 0 c x zkc bk zk 1c bk 1 對于k 1 2 3 96 PPT學習交流 4 5飲料廠的生產(chǎn)與檢修 單階段生產(chǎn)計劃 多階段生產(chǎn)計劃 生產(chǎn)批量問題 企業(yè)生產(chǎn)計劃 考慮與產(chǎn)量無關(guān)的固定費用 給優(yōu)化模型求解帶來新的困難 97 PPT學習交流 安排生產(chǎn)計劃 滿足每周的需求 使4周總費用最小 存貯費 每周每千箱飲料0 2千元 例1飲料廠的生產(chǎn)與檢修計劃 在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修 占用當周15千箱生產(chǎn)能力 能使檢修后每周增產(chǎn)5千箱 檢修應排在哪一周 某種飲料4周的需求量 生產(chǎn)能力和成本 98 PPT學習交流 問題分析 除第4周外每周的生產(chǎn)能力超過每周的需求 生產(chǎn)成本逐周上升 前幾周應多生產(chǎn)一些 飲料廠在第1周開始時沒有庫存 從費用最小考慮 第4周末不能有庫存 周末有庫存時需支出一周的存貯費 每周末的庫存量等于下周初的庫存量 模型假設(shè) 99 PPT學習交流 目標函數(shù) 約束條件 產(chǎn)量 庫存與需求平衡 決策變量 能力限制 非負限制 模型建立 x1 x4 第1 4周的生產(chǎn)量 y1 y3 第1 3周末庫存量 存貯費 0 2 千元 周 千箱 100 PPT學習交流 模型求解 4周生產(chǎn)計劃的總費用為528 千元 最優(yōu)解 x1 x4 15 40 25 20 y1 y3 0 15 5 LINDO求解 101 PPT學習交流 檢修計劃 0 1變量wt wt 1 檢修安排在第t周 t 1 2 3 4 在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修 占用當周15千箱生產(chǎn)能力 能使檢修后每周增產(chǎn)5千箱 檢修應排在哪一周 檢修安排在任一周均可 約束條件 能力限制 產(chǎn)量 庫存與需求平衡條件不變 102 PPT學習交流 增加約束條件 檢修1次 檢修計劃 目標函數(shù)不變 0 1變量wt wt 1 檢修安排在第t周 t 1 2 3 4 LINDO求解 總費用由528千元降為527千元 檢修所導致的生產(chǎn)能力提高的作用 需要更長的時間才能得到充分體現(xiàn) 最優(yōu)解 w1 1 w2 w3 w4 0 x1 x4 15 45 15 25 y1 y3 0 20 0 103 PPT學習交流 例2飲料的生產(chǎn)批量問題 安排生產(chǎn)計劃 滿足每周的需求 使4周總費用最小 存貯費 每周每千箱飲料0 2千元 飲料廠使用同一條生產(chǎn)線輪流生產(chǎn)多種飲料 若某周開工生產(chǎn)某種飲料 需支出生產(chǎn)準備費8千元 某種飲料4周的需求量 生產(chǎn)能力和成本 104 PPT學習交流 混合0 1規(guī)劃模型 最優(yōu)解 x1 x4 15 40 45 0 總費用 554 0 千元 生產(chǎn)批量問題的一般提法 將所給參數(shù)代入模型 用LINDO求解 105 PPT學習交流 第五章微分方程模型 5 1傳染病模型5 2經(jīng)濟增長模型5 6人口預測和控制 106 PPT學習交流 動態(tài)模型 描述對象特征隨時間 空間 的演變過程 分析對象特征的變化規(guī)律 預報對象特征的未來性態(tài) 研究控制對象特征的手段 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù) 微分方程建模 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè) 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程 107 PPT學習交流 5 1傳染病模型 問題 描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預報傳染病高潮到來的時刻 預防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律 用機理分析方法建立模型 108 PPT學習交流 已感染人數(shù) 病人 i t 每個病人每天有效接觸 足以使人致病 人數(shù)為 模型1 假設(shè) 若有效接觸的是病人 則不能使病人數(shù)增加 建模 109 PPT學習交流 模型2 區(qū)分已感染者 病人 和未感染者 健康人 假設(shè) 1 總?cè)藬?shù)N不變 病人和健康人的比例分別為 2 每個病人每天有效接觸人數(shù)為 且使接觸的健康人致病 建模 日接觸率 SI模型 110 PPT學習交流 模型2 tm 傳染病高潮到來時刻 日接觸率 tm 病人可以治愈 t tm di dt最大 111 PPT學習交流 模型3 傳染病無免疫性 病人治愈成為健康人 健康人可再次被感染 增加假設(shè) SIS模型 3 病人每天治愈的比例為 日治愈率 建模 日接觸率 1 感染期 一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù) 稱為接觸數(shù) 112 PPT學習交流 模型3 接觸數(shù) 1 閾值 感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù) 模型2 SI模型 如何看作模型3 SIS模型 的特例 113 PPT學習交流 模型4 傳染病有免疫性 病人治愈后即移出感染系統(tǒng) 稱移出者 SIR模型 假設(shè) 1 總?cè)藬?shù)N不變 病人 健康人和移出者的比例分別為 2 病人的日接觸率 日治愈率 接觸數(shù) 建模 需建立的兩個方程 114 PPT學習交流 模型4 SIR模型 115 PPT學習交流 模型4 SIR模型 相軌線的定義域 在D內(nèi)作相軌線的圖形 進行分析 116 PPT學習交流 模型4 SIR模型 相軌線及其分析 s t 單調(diào)減 相軌線的方向 P1 s0 1 i t 先升后降至0 P2 s0 1 i t 單調(diào)降至0 1 閾值 117 PPT學習交流 模型4 SIR模型 預防傳染病蔓延的手段 日接觸率 衛(wèi)生水平 日治愈率 醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件 s0 1 的估計 降低s0 提高r0 提高閾值1 118 PPT學習交流 模型4 SIR模型 被傳染人數(shù)的估計 記被傳染人數(shù)比例 小 s0 1 提高閾值1 降低被傳染人數(shù)比例x s0 1 119 PPT學習交流 5 2經(jīng)濟增長模型 增加生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟 增加投資 增加勞動力 提高技術(shù) 建立產(chǎn)值與資金 勞動力之間的關(guān)系 研究資金與勞動力的最佳分配 使投資效益最大 調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率 使經(jīng)濟 生產(chǎn)率 增長 1 道格拉斯 Douglas 生產(chǎn)函數(shù) 產(chǎn)值Q t F為待定函數(shù) 資金K t 勞動力L t 技術(shù)f t f0 120 PPT學習交流 模型假設(shè) 靜態(tài)模型 每個勞動力的產(chǎn)值 每個勞動力的投資 z隨著y的增加而增長 但增長速度遞減 1 道格拉斯 Douglas 生產(chǎn)函數(shù) 含義 Douglas生產(chǎn)函數(shù) 121 PPT學習交流 QK 單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值 QL 單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值 資金在產(chǎn)值中的份額 1 勞動力在產(chǎn)值中的份額 更一般的道格拉斯 Douglas 生產(chǎn)函數(shù) 1 Douglas生產(chǎn)函數(shù) 122 PPT學習交流 w r K L 求資金與勞動力的分配比例K L 每個勞動力占有的資金 使效益S最大 資金和勞動力創(chuàng)造的效益 資金來自貸款 利率r 勞動力付工資w 2 資金與勞動力的最佳分配 靜態(tài)模型 123 PPT學習交流 3 經(jīng)濟 生產(chǎn)率 增長的條件 動態(tài)模型 要使Q t 或Z t Q t L t 增長 K t L t 應滿足的條件 模型假設(shè) 投資增長率與產(chǎn)值成正比 用一定比例擴大再生產(chǎn) 勞動力相對增長率為常數(shù) 124 PPT學習交流 Bernoulli方程 125 PPT學習交流 產(chǎn)值Q t 增長 3 經(jīng)濟增長的條件 126 PPT學習交流 勞動力增長率小于初始投資增長率 每個勞動力的產(chǎn)值Z t Q t L t 增長 3 經(jīng)濟增長的條件 127 PPT學習交流 5 6人口預測和控制 年齡分布對于人口預測的重要性 只考慮自然出生與死亡 不計遷移 人口發(fā)展方程 128 PPT學習交流 人口發(fā)展方程 一階偏微分方程 129 PPT學習交流 人口發(fā)展方程 已知函數(shù) 人口調(diào)查 生育率 控制人口手段 130 PPT學習交流 生育率的分解 總和生育率 h 生育模式 131 PPT學習交流 人口發(fā)展方程和生育率 總和生育率 控制生育的多少 生育模式 控制生育的早晚和疏密 正反饋系統(tǒng) 滯后作用很大 132 PPT學習交流 人口指數(shù) 1 人口總數(shù) 2 平均年齡 3 平均壽命 t時刻出生的人 死亡率按 r t 計算的平均存活時間 4 老齡化指數(shù) 控制生育率 控制N t 不過大 控制 t 不過高 133 PPT學習交流 第六章穩(wěn)定性模型 6 1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲6 2軍備競賽6 4種群的相互依存 134 PPT學習交流 穩(wěn)定性模型 對象仍是動態(tài)過程 而建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢 平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定 不求解微分方程 而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 135 PPT學習交流 6 1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 再生資源 漁業(yè) 林業(yè)等 與非再生資源 礦業(yè)等 再生資源應適度開發(fā) 在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益 問題及分析 在捕撈量穩(wěn)定的條件下 如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳 如果使捕撈量等于自然增長量 漁場魚量將保持不變 則捕撈量穩(wěn)定 背景 136 PPT學習交流 產(chǎn)量模型 假設(shè) 無捕撈時魚的自然增長服從Logistic規(guī)律 單位時間捕撈量與漁場魚量成正比 建模 捕撈情況下漁場魚量滿足 不需要求解x t 只需知道x t 穩(wěn)定的條件 r 固有增長率 N 最大魚量 h x Ex E 捕撈強度 x t 漁場魚量 137 PPT學習交流 一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性 一階非線性 自治 方程 F x 0的根x0 微分方程的平衡點 不求x t 判斷x0穩(wěn)定性的方法 直接法 1 的近似線性方程 138 PPT學習交流 產(chǎn)量模型 穩(wěn)定性判斷 x0穩(wěn)定 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量 x1穩(wěn)定 漁場干枯 E 捕撈強度 r 固有增長率 139 PPT學習交流 產(chǎn)量模型 在捕撈量穩(wěn)定的條件下 控制捕撈強度使產(chǎn)量最大 圖解法 P的橫坐標x0 平衡點 P的縱坐標h 產(chǎn)量 產(chǎn)量最大 控制漁場魚量為最大魚量的一半 140 PPT學習交流 效益模型 假設(shè) 魚銷售價格p 單位捕撈強度費用c 單位時間利潤 在捕撈量穩(wěn)定的條件下 控制捕撈強度使效益最大 求E使R E 最大 漁場魚量 收入T ph x pEx 支出S cE 141 PPT學習交流 捕撈過度 封閉式捕撈追求利潤R E 最大 開放式捕撈只求利潤R E 0 R E 0時的捕撈強度 臨界強度 Es 2ER 臨界強度下的漁場魚量 捕撈過度 令 0 142 PPT學習交流 6 2軍備競賽 描述雙方 國家或國家集團 軍備競賽過程 解釋 預測 雙方軍備競賽的結(jié)局 假設(shè) 1 由于相互不信任 一方軍備越大 另一方軍備增加越快 2 由于經(jīng)濟實力限制 一方軍備越大 對自己軍備增長的制約越大 3 由于相互敵視或領(lǐng)土爭端 每一方都存在增加軍備的潛力 進一步假設(shè) 1 2 的作用為線性 3 的作用為常數(shù) 目的 143 PPT學習交流 建模 軍備競賽的結(jié)局 x t 甲方軍備數(shù)量 y t 乙方軍備數(shù)量 本方經(jīng)濟實力的制約 k l 對方軍備數(shù)量的刺激 g h 本方軍備競賽的潛力 144 PPT學習交流 記系數(shù)矩陣 特征方程 特征根 145 PPT學習交流 特征根 平衡點P0 0 0 微分方程一般解形式 1 2為負數(shù)或有負實部 p 0或q 0 146 PPT學習交流 平衡點 穩(wěn)定性判斷 系數(shù)矩陣 平衡點 x0 y0 穩(wěn)定的條件 模型 軍備競賽 147 PPT學習交流 模型的定性解釋 雙方軍備穩(wěn)定 時間充分長后趨向有限值 的條件 雙方經(jīng)濟制約大于雙方軍備刺激時 軍備競賽才會穩(wěn)定 否則軍備將無限擴張 平衡點 2 若g h 0 則x0 y0 0 在 kl下x t y t 0 即友好鄰國通過裁軍可達到永久和平 模型 本方經(jīng)濟實力的制約 k l 對方軍備數(shù)量的刺激 g h 本方軍備競賽的潛力 148 PPT學習交流 3 若g h不為零 即便雙方一時和解 使某時x t y t 很小 但因 也會重整軍備 4 即使某時一方 由于戰(zhàn)敗或協(xié)議 軍備大減 如x t 0 也會因使該方重整軍備 即存在互不信任 或固有爭端 的單方面裁軍不會持久 模型的定性解釋 本方經(jīng)濟實力的制約 k l 對方軍備數(shù)量的刺激 g h 本方軍備競賽的潛力 模型 149 PPT學習交流 6 4種群的相互依存 甲乙兩種群的相互依存有三種形式 1 甲可以獨自生存 乙不能獨自生存 甲乙一起生存時相互提供食物 促進增長 2 甲乙均可以獨自生存 甲乙一起生存時相互提供食物 促進增長 3 甲乙均不能獨自生存 甲乙一起生存時相互提供食物 促進增長 150 PPT學習交流 模型假設(shè) 甲可以獨自生存 數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律 甲乙一起生存時乙為甲提供食物 促進增長 乙不能獨自生存 甲乙一起生存時甲為乙提供食物 促進增長 乙的增長又受到本身的阻滯作用 服從Logistic規(guī)律 模型 乙為甲提供食物是甲消耗的 1倍 甲為乙提供食物是乙消耗的 2倍 151 PPT學習交流 種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性 P2是甲乙相互依存而共生的平衡點 152 PPT學習交流 平衡點P2穩(wěn)定性的相軌線 11 1 2 1