三角函數(shù)性質——定義域、值域講解

三角函數(shù)定義域和值域一、求定義域例1.求下列函數(shù)的定義域：（1） (2)（3） （4） （5） (6) 解：（1） (2) （3）（4） 即，故函數(shù)的定義域為且（5） 即故函數(shù)的定義域為(6) 函數(shù)的定義域為 (*) 的解集，由于y=tanx的最小正周期為，y=sinx的最小正周期為2，所以原函數(shù)的周期為2，應結合三角函數(shù)y=tanx和y=sinx的圖象先求出(， )上滿足（*）的x的范圍，再據(jù)周期性易得所求定義域為x2kx2k+ ，或2k+ x2k+ ，kZ 總結：在確定三角函數(shù)的定義域時，應注意以下幾點：1、 正、余弦函數(shù)的定義域是R，正切函數(shù)的定義域是;2、 若函數(shù)是分式函數(shù)，則分母不能為零；3、 若函數(shù)是偶次根式函數(shù)，則被被開方式非負；4、 若函數(shù)是形如的函數(shù)，則定義域由確定；5、 若函數(shù)是有多個函數(shù)通過四則運算而構成，則函數(shù)定義域應是各部分定義域的交集。二、求值域、最值1、 型：當時， ； 當時 例1、若函數(shù)的最大值是1，最小值是，求a,b2、型： 利用公式，可以轉化為一個三角函數(shù)的情形。3、型：這是關于的二次齊次式，通過正余弦的降冪公式以及正弦的倍角公式，可轉化為的形式。例1、求函數(shù)的最大值和最小值。答案：例2、求函數(shù)的最大值和最小值。答案：4、型：此類型可化為在區(qū)間上的最值問題。例1、求函數(shù)（）的最值解：函數(shù)的最大值為，最小值為。例2、求函數(shù)的最小值。解： ，若，則當時，若，則當時，若，則當時，。練習：函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的值是 （ D ）A0B C D 5、型：利用換元法，設, ，則,轉化為關于的二次函數(shù).例1、 求函數(shù)的最大值分析 若有 可以令： 解：設，則，則，當時，有最大值為（換元法）求函數(shù)的最大值和最小值，并指出當x分別為何值時取到最大值和最小值。解：定義域為0x1，可設且，即當或，即 =0或（此時x=1或x=0），y=1；當，即時，（此時），當x=0或x=1時，y有最小值1；當時，y有最大值。評析：利用三角換元法求解此類問題時，要注意所設角的取值范圍，要同原函數(shù)定義域相一致，盡量恰到好處。6、型： 可以分離常數(shù)，利用正弦函數(shù)的有界性。例1 求函數(shù)的值域。解法一：由變形為，知，則有，則此函數(shù)的值域是。解法二：，利用來解。練習：1、求函數(shù)的值域 2、函數(shù)的定義域為a，b，值域為，則b-a的最大值和最小值之和為 bA B C D7、型：此類型最值問題可考慮如下幾種解法： 轉化為再利用輔助角公式求其最值； 采用數(shù)形結合法（轉化為斜率問題）求最值； 也可利用導數(shù)。例1、求函數(shù)的值域。解法1：將函數(shù)變形為，由，解得：， 故值域是解法2：數(shù)形結合法求原函數(shù)的值域等價于求單位圓上的點P(cosx, sinx)與定點Q(2, 0)所確定的直線的斜率的范圍。作出如圖得圖象，當過Q點的直線與單位圓相切時得斜率便是函數(shù)得最值，由幾何知識，易求得過Q的兩切線得斜率分別為、。結合圖形可知，此函數(shù)的值域是。練習：求函數(shù)的最值。解：由于 y/2即為單位圓上的點(cos，sin)與定點(3，1)連線