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2019年考研數(shù)學(xué)(二)真題及完全解析(Word版)一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.1、當(dāng)時(shí),若與 是 同階無窮小量,則( )、 . 、. 、 . 、 .【答案】.【解析】因?yàn)?,所以,選 .2、曲線的拐點(diǎn)是( )、 . 、 . 、 . 、.【答案】.【解析】,令 ,解得或。當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以是拐點(diǎn)。故選 .3、下列反常積分發(fā)散的是( )、. 、 . 、 . 、.【答案】.【解析】、,收斂;、,收斂;、,收斂;、,發(fā)散,故選。4、已知微分方程的通解為,則依次為( ) 、 . 、 . 、. 、.【答案】D.【解析】 由題設(shè)可知是特征方程的二重根,即特征方程為,所以。又知是方程的特解,代入方程的。故選。5、已知積分區(qū)域,則( )、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】比較積分的大小,當(dāng)積分區(qū)域一致時(shí),比較被積函數(shù)的大小即可解決問題。由 ,可得 【畫圖發(fā)現(xiàn)包含在圓的內(nèi)部】,令,則 ,于是有 ,從而。令,則,。在內(nèi)單調(diào)減少,在單調(diào)增加,又因?yàn)?,故在?nèi),即,從而。綜上,選。6、設(shè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在處連續(xù),則是兩條曲線,在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處相切及曲率相等的( )、充分非必要條件. 、充分必要條件. 、必要非充分條件. 、既非充分也非必要條件.【答案】.【解析】充分性:利用洛必達(dá)法則,由可得 及,進(jìn)而推出 ,。由此可知兩曲線在處有相同切線,且由曲率公式可知曲線在處曲率也相等,充分性得證。必要性:由曲線,在處相切,可得,;由曲率相等,可知或。當(dāng)時(shí),所求極限,而未必等于0,因此必要性不一定成立。故選。7、設(shè)是4階矩陣,為的伴隨矩陣,若線性方程組的基礎(chǔ)解系中只有2個(gè)向量,則( )。、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】因?yàn)榉匠探M的基礎(chǔ)解系中只有2個(gè)向量,所以,從而,則0,故選 。8、設(shè)是3階實(shí)對(duì)稱矩陣,是3階單位矩陣,若,且,則二次型的規(guī)范型為( )、. 、 . 、. 、.【答案】.【解析】設(shè)是的特征值,根據(jù)得,解得或;又因?yàn)?,所以的特征值?,-2,-2,根據(jù)慣性定理,的規(guī)范型為。故選。二、填空題:914小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.9、.【答案】。【解析】.10、曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線在軸上的截距為 。【答案】.【解析】斜率 ,切線方程為 ,截距為。11、設(shè)函數(shù)可導(dǎo),則 ?!敬鸢浮?【解析】,12、曲線的弧長為 【答案】【解析】13、已知函數(shù),則 【答案】【解析】設(shè),則 .14、已知矩陣,表示元素的代數(shù)余子式,則 【答案】.【解析】由行列式展開定理得三、解答題:1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、(本題滿分10分)已知函數(shù),求,并求函數(shù)的極值【解析】當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), ; ,即在處不可導(dǎo)綜合上述:;令得駐點(diǎn);是函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)。當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;故是函數(shù)的極小值點(diǎn),極小值為;是函數(shù)的極小值點(diǎn),極小值為;函數(shù)在處連續(xù)且有極大值16、(本題滿分10分)求不定積分【解析】設(shè) (1)兩邊同乘以且令,可得;(2)兩邊同乘以且令,可得;(3)兩邊分別令,可得;解得。則 ,于是。17、(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)是微分方程滿足條件的特解(1)求的表達(dá)式;(2)設(shè)平面區(qū)域,求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積【解析】(1)方程為一階線性非齊次微分方程由通解公式可得,把初始條件代入,得,從而得到 (2)旋轉(zhuǎn)體的體積為18、(本題滿分10分)設(shè)平面區(qū)域,計(jì)算二重積分【解析】顯然積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱,由對(duì)稱性可得 ;將化為極坐標(biāo),有 ,于是.19、(本題滿分10分)設(shè)是正整數(shù),記為曲線與軸所形成圖形的面積,求,并求【解析】當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故曲線與軸之間圖形的面積應(yīng)表示為 ,先計(jì)算, 作變量替換 ,于是有 .所以 ,因此 。20、(本題滿分11分)已知函數(shù)滿足關(guān)系式求的值,使得在變換之下,上述等式可化為函數(shù)的不含一階偏導(dǎo)數(shù)的等式【解析】在變換之下, ,;把上述式子代入關(guān)系式,得到根據(jù)要求,顯然當(dāng)時(shí),可化為函數(shù)的不含一階偏導(dǎo)數(shù)的等式21、(本題滿分11分)已知函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù),且,證明:(1)至少存在一點(diǎn),使得;(2)至少存在一點(diǎn),使得證明:(1)令,則,則由于在連續(xù),則在上可導(dǎo),且,則由拉格朗日中值定理,至少存在一點(diǎn),使得,即;又因?yàn)?,?duì)在上用羅爾定理 ,則至少存在一點(diǎn),使得;(2)令,顯然 在具有二階導(dǎo)數(shù),且對(duì)分別在上用拉格朗日中值定理,至少存在一點(diǎn),使得;至少存在一點(diǎn),使得;對(duì)在上用拉格朗日中值定理,則至少存在一點(diǎn),使得,又因?yàn)椋?2(本題滿分11分)已知向量組:;向量組:若向量組和向量組等價(jià),求常數(shù)的值,并將用線性表示【解析】向量組和向量組等價(jià)的充分必要條件是(1)當(dāng)時(shí),顯然, ,兩個(gè)向量組等價(jià)此時(shí),方程組的通解為,也就是,其中為任意常數(shù);(2)當(dāng)時(shí),繼續(xù)進(jìn)行初等行變換如下:顯然,當(dāng)且時(shí),同時(shí),也就是,兩個(gè)向量組等價(jià)這時(shí),可由線性表示,表示法唯一:(3)當(dāng)時(shí),,此時(shí)兩個(gè)向量組不等價(jià).綜上所述,綜上所述,當(dāng)向量組和向量組等價(jià)時(shí),。23、(本題滿分11分)已知矩陣 與 相似,(I)求;(II)求可逆矩陣,使得 .【解析】(I)由于與相似,根據(jù)矩陣相似必要條件,有 ,即,解得 。(II)矩陣是上三角矩陣,易得的特征值為。又因?yàn)榕c相似,所以的特征值也是。對(duì)于矩陣:解方程組,可得屬于特征值的線
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