平面向量的線性運算教案.doc

中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家海伊教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號： 年 級：九年級 課時數(shù)：學(xué)員姓名：張鴻敬 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：高老師課 題平面向量的線性運算授課時間： 2013 年10月18日備課時間： 2013 年10月16日教學(xué)目標1.通過經(jīng)歷向量加法的探究，掌握向量加法概念，結(jié)合物理學(xué)實際理解向量加法的意義。能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，并能作出已知兩向量的和向量。 2.在應(yīng)用活動中，理解向量加法滿足交換律和結(jié)合律及表述兩個運算律的幾何意義。掌握有特殊位置關(guān)系的兩個向量的和，比如共線向量、共起點向量、共終點向量等。3.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，認識事物之間的相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，體會數(shù)學(xué)在生活中的作用。培養(yǎng)類比、遷移、分類、歸納等能力。4.通過探究活動，掌握向量減法概念，理解兩個向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進行，掌握相反向量。5.學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題。能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量。6.通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運算法則及幾何意義的過程，掌握實數(shù)與向量積的定義，理解實數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實數(shù)與向量的積的運算律。重點、難點1.向量加法的運算及其幾何意義。2.對向量加法法則定義的理解。3.向量的減法運算及其幾何意義。4.對向量減法定義的理解。5.實數(shù)與向量積的意義。6.實數(shù)與向量積的運算律。7.兩個向量共線的等價條件及其運用。8.對向量共線的等價條件的理解運用。授課方法聯(lián)想質(zhì)疑交流研討歸納總結(jié)實踐提高教學(xué)過程一、 情景設(shè)置（知識導(dǎo)入）二、 探索研究 【知識點總結(jié)與歸納】一、求若干個向量的和的模(或最值)的問題通常按下列步驟進行：(1)尋找或構(gòu)造平行四邊形，找出所求向量的關(guān)系式；(2)用已知長度的向量表示待求向量的模，有時還要利用模的重要性質(zhì)。二、1. 向量的加法定義向量加法的定義：如圖3，已知非零向量A.b，在平面內(nèi)任取一點A，作=a，=b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=+=。求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。2. 向量加法的法則：（1）向量加法的三角形法則在定義中所給出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法則。運用這一法則時要特別注意“首尾相接”，即第二個向量要以第一個向量的終點為起點，則由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量即為和向量。0位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型。（2）平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則如圖4，以同一點O為起點的兩個已知向量A.b為鄰邊作平行四邊形，則以O(shè)為起點的對角線就是a與b的和。我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。3. 向量a，b的加法也滿足交換律和結(jié)合律：對于零向量與任一向量，我們規(guī)定a+0=0+a=a。兩個數(shù)相加其結(jié)果是一個數(shù)，對應(yīng)于數(shù)軸上的一個點;在數(shù)軸上的兩個向量相加，它們的和仍是一個向量，對應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段。當a，b不共線時，|a+b|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊)；當a，b共線且方向相同時，|a+b|=|a|+|b|；當a，b共線且方向相反時，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中當向量a的長度大于向量b的長度時，|a+b|=|a|-|b|；當向量a的長度小于向量b的長度時，|a+b|=|b|-|a|。一般地，我們有|a+b|a|+|b|。如圖5，作=a，=b，以AB.AD為鄰邊作ABCD，則=b，=a。因為=+=a+b，=+=b+a，所以a+b=b+a。如圖6，因為=+=(+)+=(a+b)+c，=+=+(+)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。綜上所述，向量的加法滿足交換律和結(jié)合律。 特殊與一般，歸納與類比，數(shù)形結(jié)合，分類討論，特別是通過知識遷移類比獲得新知識的過程與方法。三、用向量法解決物理問題的步驟為：先用向量表示物理量，再進行向量運算，最后回扣物理問題，解決問題。四、向量也有減法運算。由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向，因此a和-a互為相反向量。于是-(-a)=a。我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。所以，如果A.b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。1. 平行四邊形法則圖1如圖1，設(shè)向量=b，=a，則=-b，由向量減法的定義，知=a+(-b)=a-b。又b+=a，所以=a-b。由此，我們得到a-b的作圖方法。圖22. 三角形法則如圖2，已知A.b，在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=b，則=a-b，即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義。（1）定義向量減法運算之前，應(yīng)先引進相反向量。與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似，我們規(guī)定，與a長度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，記作-a。（2）向量減法的定義。我們定義a-b=a+(-b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量。規(guī)定：零向量的相反向量是零向量。(3)向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運算的幾何意義所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)。五、我們規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)|a|=|a|；(2)當0時，a的方向與a的方向相同;當0時，a的方向與a的方向相反。由(1)可知，=0時，a=0。根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗證下面的運算律。實數(shù)與向量的積的運算律設(shè)、為實數(shù)，那么(1)(a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b.特別地，我們有(-)a=-(a)=(-a)，(a-b)=a-b。向量共線的等價條件是：如果a(a0)與b共線，那么有且只有一個實數(shù)，使b=a。共線向量可能有以下幾種情況：(1)有一個為零向量；(2)兩個都為零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等。數(shù)與向量的積仍是一個向量，向量的方向由實數(shù)的正負及原向量的方向確定，大小由|a|確定。它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小。向量的平行與直線的平行是不同的，直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒有公共點；而向量的平行既包含沒有交點的情況，又包含兩個向量在同一條直線上的情形。向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。對于任意向量A.b，以及任意實數(shù)、1、2，恒有(1a2b)=1a2b三、 課堂練習(xí)例1 化簡：(1)+(2)+(3)+解：(1)+=+=(2)+=+=(+)+=+=0(3)+FA=+=+=+=+=0解析：要善于運用向量的加法的運算法則及運算律來求和向量。例2 若=a+b，=a-b當A.b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？當A.b滿足什么條件時，|a+b|=|a-b|？當A.b滿足什么條件時，a+b平分a與b所夾的角 ？a+b與a-b可能是相等向量嗎？解析：如圖6，用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量、恰為平行四邊形的對角線。由平行四邊形法則，得=a+b，=-=a-b。由此問題就可轉(zhuǎn)換為：當邊AB.AD滿足什么條件時，對角線互相垂直？(|a|=|b|)當邊AB.AD滿足什么條件時，對角線相等？(A.b互相垂直)當邊AB.AD滿足什么條件時，對角線平分內(nèi)角？(A.b相等)a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能，因為對角線方向不同)解析：靈活的構(gòu)想，獨特巧妙，數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn)。由此我們可以想到在解決向量問題時，可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題。四、 課后作業(yè)1.已知正方形ABCD的邊長為1，=a，=c，=b，則|a+b+c|為( )。A.0B.3C.D.22.設(shè)a=(+)+(+)，b是任一非零向量，則下列結(jié)論中正確的為( )。ab；a+b=a；a+b=b；|a+b|a|+|b|；|a+b|=|a|+|b|。A.B.C.D.3.下列等式中，正確的個數(shù)是( )。a+b=b+a a-b=b 0-a=-a -(-a)=a a+(-a)=0A.5B.4C.3D.24.如圖7，D.E、F分別是ABC的邊、的中點，則-等于( )。A.B.C.D.5.下列式子中不能化簡為的是( )。A.(+)+B.(+)+(+)C.D.-+6.已知A.B.C三點不共線，O是ABC內(nèi)一點，若+=0，則O是ABC的( )。A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心7.(2a+8b)-(4a-2b)等于( )。A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b8.設(shè)兩非零向量e1、e2不共線，且ke1+e2與e1+ke2共線，則k的值為( )。A.1B.-1C.1D.09.若向量方2x-3(x-2a)=0，則向量x等于( )。A.aB.-6aC.6aD.a10.設(shè)向量a，b都不是零向量：(1)若向量a與b同向，則a+b與a的方向_，且|a+b|_|a|+|b|；(2)若向量a與b反向，且|a|b|，則a+b與a的方向_，且|a+b|_|a|-|b|。11.如圖17所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1，設(shè)=a，=b，=c，則=_。(用A.B.c表示)12.在ABC=，EFBC，EF交AC于F，設(shè)=a，=b，則用A.b表示的形式是=_。13.在ABC，M、N、P分別是AB.BC.CA邊上的靠近A.B.C的三等分點，O是ABC平面上的任意一點，若+=e1-e2，則=_。14.某人在靜水中游泳，速度為4 km/h，如果他徑直游向?qū)Π?，水流速度? km/h，則他實際以多大的速度沿何方向游?15.在中心為O的正八邊形A1A2A8中，a0=，ai=(i=1，2，7)，bj=j(j=1，2，8)，試化簡a2+a5+b2+b5+b716.已知ABC為直角三角形，A=90，ADBC于D，求證：|2=|+|2+|+|217.已知兩向量a和b，求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是a的方向與b的方向垂直。18.已知ABC的重心為G，O為坐標原點，=a，=b，=c，求證：=(a+b+c)19.對判斷向量a=-2e與b=2e是否共線?有如下解法：解：a=-2e，b=-2e，b=-a。a與b共線。請根據(jù)本節(jié)所學(xué)的共線知識給以評析 如果解法有誤，請給出正確解法。答案：1.D 2.C 3.C 4.D 5.C6.A 7.B 8.C 9.C10.(1)相同 = (2)相同 = 11.a+b+c12.-a+b13. e1-e214.如圖18所示，設(shè)此人在靜水中的游泳速度為，水流速度為，則=+為此人的實際速度，易求得|=8 km/h，COA=60。答：此人沿與河岸的夾角為60順著水流的方向前進，速度大小為8 km/h。15.如圖19所示，+=0，a2+a5+b2+b5+b7=+2+5+7=(2+)+(5+)+7=6=b6。 16.如圖20所示，以DB.DA為鄰邊作ADBE，于是+=。|=|，|+|=|。同理可得|+|=|。在RtABC中，由勾股定理，得|2=|+|2+|+|2。17.證明：(1)充分性：設(shè)=a，=b，使，以O(shè)A.OB為鄰邊作矩形OBCA，則|a+b|=|，|a-b|=|。四邊形OBCA為矩形，|=|，故|a+b|=|a-b|。(2)必要性：設(shè)=a，=b，以O(shè)A.OB為鄰邊作平行四邊形，則|a+b|=|，|a-b|=|。|a+b|=|a-b|，|=|。OBCA為矩形。a的方向與b的方向垂直。18.連接AG并延長，設(shè)AG交于M。=b-a，=c-a，=c-b=+=(b-a)+(c-b)=(c+b-2a)=(c+b-2a)=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c)19.評析：乍看上述解答，真是簡單明快。然而，仔細研究題目已知，卻發(fā)現(xiàn)其解答存在問題，這是因為，原題已知中，對向量e并無任何限制，那么就應(yīng)允許e=0，而當