數學華東師大版七年級下冊多邊形復習小結

多邊形知識要點梳理知識點一：三角形及有關概念1三角形：由三條不在同一直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形叫做三角形。2三角形的內角：在三角形中，每兩條邊所組成的角叫做三角形的內角。3三角形的外角：三角形中內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做三角形的外角。4三角形的分類：按角分類：三角形 按邊分類：三角形5三角形的三條重要線段中線：連結三角形的一個頂點與對邊中點的線段叫做三角形的中線。高：從三角形的一個頂點向對邊作垂線，頂點與垂足間的線段叫做三角形的高。鈍角三角形有兩條邊上的高在三角形外。三角形的角平分線：三角形一個內角的平分線與對邊相交于一點，頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。重要規(guī)律：三角形的三條中線相交于一點，該點叫做三角形的重心。三角形的三條高（或其所在直線）相交于一點。三角形的三條高（或其所在直線）相交于一點，該點叫做三角形的垂心。三角形的三條角平分線相交于一點，這一點叫做三角形的內心，它到三角形的三邊的距離相等。6三角形的內角和等于180。7三角形的外角和等于360。8三角形的外角性質：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和； 三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。9三角形的三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊； 三角形的任意兩邊之差小于第三邊。知識點二：多邊形及有關概念1、 多邊形的定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. （1）多邊形的一些要素： 邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊 頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點 內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角，一個n邊形有n個內角。 外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。（2）在定義中應注意： 一些線段（多邊形的邊數是大于等于3的正整數）； 首尾順次相連，二者缺一不可; 理解時要特別注意“在同一平面內”這個條件,其目的是為了排除幾個點不共面的情況,即空間 2、多邊形的分類:(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形（見圖1）.本章所講的多邊形都是指凸多邊形 凸多邊形 凹多邊形(2)多邊形通常還以邊數命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數最少的多邊形知識點三：正多邊形各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。 正三角形 正方形 正五邊形 正六邊形 正十二邊形要點詮釋： 各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才是正方形.知識點四：多邊形的對角線多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線. 如圖2，BD為四邊形ABCD的一條對角線。要點詮釋： (1)從n邊形一個頂點可以引(n3)條對角線，將多邊形分成(n2)個三角形。(2)n邊形共有條對角線。證明：過一個頂點有n3條對角線(n3的正整數)，又共有n個頂點，共有n(n3)條對角線，但過兩個不相鄰頂點的對角線重復了一次，凸n邊形，共有條對角線。知識點五：多邊形的內角和公式1.公式：邊形的內角和為.2.公式的證明：證法1：在邊形內任取一點，并把這點與各個頂點連接起來，共構成個三角形，這個三角形的內角和為，再減去一個周角，即得到邊形的內角和為.證法2：從邊形一個頂點作對角線，可以作條對角線，并且邊形被分成個三角形，這個三角形內角和恰好是邊形的內角和，等于.證法3：在邊形的一邊上取一點與各個頂點相連，得個三角形，邊形內角和等于這個三角形的內角和減去所取的一點處的一個平角的度數，即.要點詮釋： (1)注意：以上各推導方法體現出將多邊形問題轉化為三角形問題來解決的基礎思想。(2)內角和定理的應用： 已知多邊形的邊數，求其內角和； 已知多邊形內角和，求其邊數。 知識點六：多邊形的外角和公式1.公式：多邊形的外角和等于360. 2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個內角和與它相鄰的外角都是鄰補角，所以邊形的內角和加外角和為，外角和等于.注意：n邊形的外角和恒等于360，它與邊數的多少無關。要點詮釋： (1)外角和公式的應用： 已知外角度數，求正多邊形邊數； 已知正多邊形邊數，求外角度數. (2)多邊形的邊數與內角和、外角和的關系： n邊形的內角和等于(n2)180(n3，n是正整數)，可見多邊形內角和與邊數n有關，每增加 1條邊，內角和增加180。 多邊形的外角和等于360，與邊數的多少無關。知識點七：鑲嵌的概念和特征1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。2、實現鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等于360；相鄰的多邊形有公共邊。3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：(1)用正多邊形實現鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公用；在一個頂點處各正多邊形的內角之和為360。(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面對于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形，且不留一點空隙？解決問題的關鍵在于正多邊形的內角特點。當圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角360時，就能鋪成一個平面圖形。事實上，正n邊形的每一個內角為，要求k個正n邊形各有一個內角拼于一點，恰好覆蓋地面，這樣360，由此導出k2，而k是正整數，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。注意：任意四邊形的內角和都等于360。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關鍵是相關正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個周角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖： 又如，用一個正三角形、兩個正方形、一個正六邊形結合在一起恰好能夠鋪滿地面，因為它們的交接處各角之和恰好為一個周角360。規(guī)律方法指導1內角和與邊數成正比：邊數增加，內角和增加；邊數減少，內角和減少. 每增加一條邊，內角的和就增加180（反過來也成立），且多邊形的內角和必須是180的整數倍.2多邊形外角和恒等于360，與邊數的多少無關.3多邊形最多有三個內角為銳角，最少沒有銳角（如矩形）；