高中數(shù)學第二章統(tǒng)計2.3.1變量之間的相關(guān)關(guān)系2.3.2兩個變量的線性相關(guān)課件

2 3變量間的相關(guān)關(guān)系2 3 1變量之間的相關(guān)關(guān)系2 3 2兩個變量的線性相關(guān) 自主預習 主題1 變量間的相關(guān)關(guān)系1 某同學物理成績的好壞與他對物理的學習興趣 學習時間以及數(shù)學成績有關(guān)嗎 提示 物理成績確實與三者有著一定的關(guān)系 2 對于問題1中的關(guān)系中 能用他的數(shù)學成績確定他的物理成績嗎 是一個確定的函數(shù)關(guān)系嗎 提示 不能 它們不是一個確定的函數(shù)關(guān)系 結(jié)合以上探究過程 試著寫出兩個變量的相關(guān)關(guān)系的定義 相關(guān)關(guān)系 如果兩個變量中一個變量的取值一定時 另一個變量的取值帶有一定的 那么這兩個變量之間的關(guān)系 叫做相關(guān)關(guān)系 隨機性 主題2 散點圖與線性相關(guān)觀察圖形 回答問題 1 年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)中點的分布有什么特點 提示 它們散布在從左下角到右上角的區(qū)域 2 當年齡增長時 脂肪含量的變化是什么 提示 脂肪含量隨著年齡的增長而增高 通過以上探究 闡述你對線性相關(guān)的理解用文字語言描述 若散點大致分布在一條直線附近 則兩變量間呈現(xiàn)線性相關(guān) 散點圖及兩個變量正相關(guān)與負相關(guān)的定義 1 散點圖 將樣本中n個數(shù)據(jù)點 xi yi i 1 2 n 描在平面直角坐標系中得到的圖形 2 正相關(guān) 點散布的方向 從 到 3 負相關(guān) 點散布的方向 從 到 左下角 右上角 左上角 右下角 主題3 回歸直線方程1 樣本點落在怎樣的區(qū)域內(nèi) 說明變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系 提示 如果所有的樣本點都落在某一直線附近 變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系 2 回歸直線與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關(guān)系 提示 從整體上看 各點與此直線的距離最小 3 教材中通過計算哪個解析式的最小值而得到回歸直線方程的 提示 其解析式為Q y1 bx1 a 2 y2 bx2 a 2 yn bxn a 2 總結(jié)以上探究 試著寫出最小二乘法 回歸直線方程的有關(guān)概念最小二乘法 求回歸直線使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的 的方法叫做最小二乘法 距離的平方和最小 回歸方程 方程是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù) x1 y1 x2 y2 xn yn 的回歸方程 是待定參數(shù) 其中是回歸方程的 是 斜率 截距 深度思考 結(jié)合教材P90例題你認為應怎樣求回歸直線方程 第一步 作出散點圖 判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān) 系 若具有 求其回歸直線方程 第二步 第三步 第四步 列表求出 的值 利用公式計算回歸系數(shù) 寫出回歸直線方程 預習小測 1 下列語句所表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系的是 A 瑞雪兆豐年B 上梁不正下梁歪C 吸煙有害健康D 喜鵲叫喜 烏鴉叫喪 解析 選D 選項A B C中描述的變量間都具有相關(guān)關(guān)系 而選項D是迷信說法 沒有科學依據(jù) 2 對于回歸分析 下列說法錯誤的是 A 變量間的關(guān)系若是非確定性關(guān)系 那么因變量不能由自變量唯一確定B 線性相關(guān)系數(shù) 可以是正的 也可以是負的C 回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法D 任何一組數(shù)據(jù)都可以得到一個回歸直線方程 解析 選D 易知A對 B中 相關(guān)系數(shù)的正負體現(xiàn)兩變量之間是正相關(guān)還是負相關(guān) 故B對 兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系時 才進行回歸分析 若不具有線性相關(guān)關(guān)系求得的方程無意義 故D錯 C對 3 一位母親記錄了兒子3 9歲的身高 由身高的數(shù)據(jù)建立的身高與年齡的回歸模型為 7 19x 73 93 若用這個模型預測這個孩子10歲時的身高 則正確的敘述是 A 身高一定是145 83cmB 身高在145 83cm以上C 身高在145 83cm左右D 身高在145 83cm以下 解析 選C 用回歸模型 7 19x 73 93 只能預測 其結(jié)果不一定是確實發(fā)生的值 故將x 10 代入 7 19x 73 93 145 83cm 即身高在145 83cm左右 4 觀察下列散點圖 正相關(guān) 負相關(guān) 不相關(guān) 與下列圖形相對應的是 A B C D 解析 選D 第一個圖由左向右隨x的增大 y也增大 是正相關(guān) 第二個圖分布比較分散 x與y不相關(guān) 第三個圖隨x的增大 y反而減小 是負相關(guān) 故與圖形對應的順序是 補償訓練 1 在下列各圖中 每個圖的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是 解析 圖 1 是函數(shù)關(guān)系 圖 2 和圖 3 是相關(guān)關(guān)系 圖 4 沒有相關(guān)關(guān)系 答案 2 3 2 某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價 將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷 得到如下數(shù)據(jù) 求回歸方程 其中 20 仿照教材P90例題的解析過程 解析 由于 8 5 80 所以 80 20 8 5 250 從而回歸方程為 20 x 250 互動探究 1 函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系嗎 提示 不是 函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系 它不是相關(guān)關(guān)系 2 函數(shù)關(guān)系可看為是一種因果關(guān)系 相關(guān)關(guān)系是什么關(guān)系 提示 相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系 也可能是伴隨關(guān)系 3 畫散點圖時 坐標系中的橫 縱坐標的長度單位必須相同嗎 提示 可以不同 應考慮兩種的數(shù)據(jù)分布特征 確定其單位長度 4 成正相關(guān)和負相關(guān)的兩個相關(guān)變量的散點圖分別有什么特點 提示 正相關(guān)的散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域 負相關(guān)的散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域 5 如何利用散點圖判斷兩個變量之間是否具備相關(guān)關(guān)系 提示 如果散點圖中變量的對應點分布在某條直線周圍 我們就可以得出這兩個變量具有相關(guān)關(guān)系 如果變量的對應點分布沒有規(guī)律 我們就說這兩個變量不具有相關(guān)關(guān)系 6 對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù) 你認為其回歸直線是一條還是幾條 提示 對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù) 如果能夠求出它的回歸直線方程 按照求回歸直線方程的過程求出 回歸直線方程只有一條 7 在回歸方程中 的幾何意義分別是什么 提示 是回歸直線方程在y軸上的截距 是回歸直線方程的斜率 拓展延伸 對線性回歸模型的認識 1 如果兩個變量之間的依賴關(guān)系近似一條直線 那么這兩個變量就是線性相關(guān)的 2 如果兩個變量之間的依賴關(guān)系近似一條曲線 那么這兩個變量就是非線性相關(guān)的 3 如果兩個變量之間不存在明顯的依賴關(guān)系 那么這兩個變量就是不相關(guān)的 探究總結(jié) 知識歸納 注意事項 1 利用散點圖判定兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系 注意不要受個別點的位置的影響 2 求回歸方程 關(guān)鍵在于正確求出系數(shù) 由于 的計算量大 計算時應仔細謹慎 分層進行 避免因計算而產(chǎn)生錯誤 注意回歸方程中一次項系數(shù)為 常數(shù)項為 這與一次函數(shù)的習慣表示不同 題型探究 類型一 變量間相關(guān)關(guān)系的判斷 典例1 1 下列變量之間的關(guān)系不是相關(guān)關(guān)系的是 A 二次函數(shù)y ax2 bx c中 a c是已知常數(shù) 取b為自變量 因變量是判別式 b2 4ac B 光照時間和果樹畝產(chǎn)量C 降雪量和交通事故發(fā)生率D 每畝田施肥量和糧食畝產(chǎn)量 2 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和房屋面積的數(shù)據(jù) 畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖 并指出銷售價格與房屋面積這兩個變量是正相關(guān)還是負相關(guān) 解題指南 1 可判定是否有關(guān) 若有關(guān)則看關(guān)系是否確定 2 先畫出散點圖 觀測判斷即可得出結(jié)論 解析 1 選A 在A中 若b確定 則a b c都是常數(shù) b2 4ac也就唯一確定了 因此 這兩者之間是確定性的函數(shù)關(guān)系 一般來說 光照時間越長 果樹畝產(chǎn)量越高 降雪量越大 交通事故發(fā)生率越高 施肥量越多 糧食畝產(chǎn)量越高 所以B C D是相關(guān)關(guān)系 2 銷售價格與房屋面積的散點圖如圖 由散點圖可以看出兩個變量的對應點集中在一條直線的周圍 具有正相關(guān)關(guān)系 因此 銷售價格與房屋面積具有正相關(guān)關(guān)系 規(guī)律總結(jié) 兩個變量x與y相關(guān)關(guān)系的判斷方法 1 散點圖法 通過散點圖 觀察它們的分布是否存在一定規(guī)律 直觀地判斷 如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近 那么這兩個變量就是線性相關(guān)的 注意不要受個別點的位置的影響 2 表格 關(guān)系式法 結(jié)合表格或關(guān)系式進行判斷 3 經(jīng)驗法 借助積累的經(jīng)驗進行分析判斷 提醒 如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近 那么變量之間就有相關(guān)關(guān)系 鞏固訓練 1 在下列兩個變量的關(guān)系中 哪些是相關(guān)關(guān)系 正方形邊長與面積之間的關(guān)系 作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系 人的身高與年齡之間的關(guān)系 解析 兩變量之間的關(guān)系有兩種 函數(shù)關(guān)系與帶有隨機性的相關(guān)關(guān)系 正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系 作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴格的函數(shù)關(guān)系 但是具有相關(guān)性 因而是相關(guān)關(guān)系 人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系 也不是相關(guān)關(guān)系 因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了 因而他們不具備相關(guān)關(guān)系 2 如圖是兩個變量統(tǒng)計數(shù)據(jù)的散點圖 判斷兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系 解析 不具有相關(guān)關(guān)系 因為散點圖散亂地分布在坐標平面內(nèi) 不呈線形 類型二 求回歸直線方程 典例2 2016 惠州高一檢測 某工廠對某產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù) 1 畫出散點圖 2 求成本y與產(chǎn)量x之間的線性回歸方程 結(jié)果保留兩位小數(shù) 解題指南 1 在平面直角坐標系中根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點即可得散點圖 2 利用公式求出即可得出回歸直線方程 解析 1 散點圖如圖所示 2 設y與產(chǎn)量x的線性回歸方程為 9 1 10 4 4 60 所以回歸方程為 1 10 x 4 60 規(guī)律總結(jié) 求回歸方程的步驟第一步 計算平均數(shù)第二步 求和 第三步 計算第四步 寫出回歸方程 鞏固訓練 一臺機器由于使用時間較長 生產(chǎn)的零件有一些缺損 按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的零件有缺損的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示 1 作出散點圖 2 如果y與x線性相關(guān) 求出回歸方程 3 若實際生產(chǎn)中 允許每小時的產(chǎn)品中有缺損的零件最多為10個 那么 機器的運轉(zhuǎn)速度應控制在什么范圍內(nèi) 解題指南 先作出散點圖 再根據(jù)散點圖判斷y與x呈線性相關(guān) 從而建立回歸方程求解 解析 1 作散點圖如圖所示 2 由散點圖可知y與x線性相關(guān) 故可設回歸方程為依題意 用計算器可算得 所以所以所求回歸方程為 0 73x 0 875 3 令y 10 得0 73x 0 875 10 解得x 14 9 即機器的運轉(zhuǎn)速度應控制在14轉(zhuǎn) 秒內(nèi) 類型三 利用回歸方程估計總體 典例3 2016 聊城高一檢測 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x 噸 與相應的生產(chǎn)能耗y 噸標準煤 的幾組對照數(shù)據(jù) 1 請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖 2 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù) 用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程y 3 已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤 試根據(jù) 2 求出的回歸方程 預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤 參考數(shù)值 3 2 5 4 3 5 4 6 4 5 66 5 解題指南 1 在直角坐標系中根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點即可得散點圖 2 利用公式求 即可得出回歸方程 3 可將x 100代入回歸方程即可得出結(jié)論 解析 1 散點圖如圖所示 所以所求回歸方程為 0 7x 0 35 3 根據(jù)回歸方程的預測 現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標準煤的數(shù)量為0 7 100 0 35 70 35 噸標準煤 故能耗減少了90 70 35 19 65 噸標準煤 延伸探究 1 改變問法 在本例中依據(jù) 2 的回歸方程及 3 的條件 試估計技術(shù)革新后消耗90噸的煤比技術(shù)革新前多生產(chǎn)多少噸甲產(chǎn)品 解析 由 2 可知 0 7x 0 35 當 90時 有90 0 7x 0 35 解得 x 128 噸 因此 技術(shù)革新后消耗90噸的煤比技術(shù)革新前多生產(chǎn)甲產(chǎn)品128 100 28 噸 2 改變問法 本例 3 中得出的值是實際能耗減少的量嗎 解析 不一定 利用回歸直線方程估計 只是一個近似值 受其他因素影響 估計值與實際值會有一定的誤差 規(guī)律總結(jié) 回歸分析的三個步驟 1 判斷兩個變量是否線性相關(guān) 可以利用經(jīng)驗 也可以畫散點圖 2 求回歸方程 注意運算的正確性 3