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遼寧省丹東市2019屆高三數(shù)學(xué)10月底測試試題 理（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合Ax|x2x20，則RAA. x|x1x|x2 B. x|x1x|x2C. x|x1x|x2 D. x|x1x|x2【答案】D【解析】【分析】由一元二次不等式的解法化簡集合，根據(jù)集合補(bǔ)集的定義可得結(jié)果.【詳解】由一元二次不等式的解法可得集合，由補(bǔ)集的定義可得或，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次不等式，求集合的補(bǔ)集，屬于容易題，在解題過程中要注意在求補(bǔ)集與交集時要考慮端點(diǎn)是否可以取到，這是一個易錯點(diǎn)，同時將不等式與集合融合，體現(xiàn)了知識點(diǎn)之間的交匯.2.若復(fù)數(shù)z滿足(1i) z17i，則| z |A. B. 4 C. 5 D. 25【答案】C【解析】【分析】把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)求模公式計算得結(jié)論.【詳解】由，得，則，故選C.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算要注意對實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.3.已知x0，2，px；x00，2，qx0那么p，q的取值范圍分別為A. p(0，)，q(0，) B. p(0，)，q(2，)C. p(2，)，q(0，) D. p(2，)，q(2，)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的定義可得，由特稱命題的定義可得，從而可得結(jié)果.【詳解】由,可得；由，可得，所以，的取值范圍分別為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查特稱命題的定義與全稱命題的定義的理解與應(yīng)用，意在考查對基本定義的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.4.在ABC中，A45，AC，BC，則tanBA. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用正弦定理求解即可.【詳解】因為，由正弦定理可得，或，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.5.設(shè)平面向量不共線，若5，28，3()，則A. 三點(diǎn)共線 B. A、B、C三點(diǎn)共線C. B、C、D三點(diǎn)共線 D. A、C、D三點(diǎn)共線【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求得,由共線定理證明三點(diǎn)共線.【詳解】因為 ， ， ，與共線，即三點(diǎn)共線，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算以及共線的性質(zhì)，屬于中檔題. 向量的運(yùn)算法則是：（）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.6.設(shè)函數(shù)f (x)2sin(2x)的最小正周期為T，將f (x)的圖象向右平移個單位后，所得圖象A. 關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱 B. 關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱C. 關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱 D. 關(guān)于點(diǎn) (，0)對稱【答案】A【解析】【分析】由周期公式求出周期，利用三角函數(shù)的平移變換求得，由可得，從而可得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為，向右平移個單位，可得，由可得，所以關(guān)于對稱，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.由 函數(shù)可求得函數(shù)的周期為；由可得對稱軸方程；由可得對稱中心橫坐標(biāo).7.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有A. 12種 B. 16種C. 20種 D. 24種【答案】B【解析】【分析】分兩種情況：選1女2男，選2女1男，分別利用組合知識以及分步計數(shù)乘法原理求解，然后利用分類計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】選3人分兩種情況：若選1女2男，有種選法，若選2女1男，有種選法，根據(jù)分類計數(shù)原理可得，共有，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.8.如圖，陰影部分由底為1，高為1的等腰三角形及高為2和3的兩矩形所構(gòu)成設(shè)函數(shù)SS(a)(a0)是圖中陰影部分介于平行線y0，及ya之間的那一部分的面積，則函數(shù)S(a)的圖象大致為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先觀察原圖形面積増長的速度，然后根據(jù)増長的速度在圖形上反映出切線的斜率進(jìn)行判定即可.【詳解】根據(jù)圖象可知在上面積增長的速度變慢，在圖形上反映出切線的斜率在變小，可排除；在上面積增長速度恒定，在上面積增長速度恒定，而在上面積增長速度大于在上面積增長速度，可排除,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考査了函數(shù)的圖象意義與實(shí)際應(yīng)用，同時考査了識圖能力以及分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.9.設(shè)函數(shù)f (x)x(2x)，則f (x)A. 為奇函數(shù)，在R上是減函數(shù) B. 為奇函數(shù)，在R上是增函數(shù)C. 為偶函數(shù)，在(，0)上是減函數(shù) D. 為偶函數(shù)，在(，0)上是增函數(shù)【答案】C【解析】【分析】先判斷是偶函數(shù)，排除，再由可排除，從而可得結(jié)果.【詳解】，是偶函數(shù)，排除，由可排除，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.判斷函數(shù)的奇偶性首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果不對稱，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，如果對稱常見方法有：（1）直接法， (正為偶函數(shù)，負(fù)為減函數(shù))；（2）和差法， （和為零奇函數(shù)，差為零偶函數(shù)）；（3）作商法， （ 為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)） .10.已知在函數(shù)f (x)Asin(x)( A0，0)的圖象上，距離y軸最近的極大值點(diǎn)為x，距離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的一個零點(diǎn)為x，則f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A. (2k，2k)，kZ B. (2k，2k)，kZC. (2k，2k)，kZ D. (2k，2k)，kZ【答案】D【解析】【分析】利用距離軸最近的極大值點(diǎn)為，距離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的一個零點(diǎn)為可得函數(shù)的周期，可得，利用可得，由可得結(jié)果.【詳解】距離軸最近的極大值點(diǎn)為，距離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的一個零點(diǎn)為，由，可得，求得，由，的單調(diào)增區(qū)間為等價于，故選D.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法：(1) 代換法：若,把看作是一個整體，由 求得函數(shù)的減區(qū)間，求得增區(qū)間；若,則利用誘導(dǎo)公式先將的符號化為正，再利用的方法，或根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律進(jìn)行求解；(2) 圖象法：畫出三角函數(shù)圖象，利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.11.已知定義域為R的函數(shù)f (x)在2，)上單調(diào)遞增，若f (x2)是奇函數(shù)，則滿足f (x3)f (2x1)0的x范圍為A. (，) B. (，) C. (，) D. (，)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶性與函數(shù)圖象的“平移變換”可得的圖象關(guān)于對稱，由在上遞增，可得在上遞增，化為，利用單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，的圖象向右平移一個單位，可得到的圖象，的圖象關(guān)于對稱，在上遞增，在上遞增，在上遞增，是奇函數(shù)，化為，的范圍是，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，屬于難題.將奇偶性與單調(diào)性綜合考查一直是命題的熱點(diǎn)，解這種題型往往是根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性判斷出函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性(偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對稱區(qū)間單調(diào)性相同)，然后再根據(jù)單調(diào)性列不等式求解.12.已知，若f (a)f (b)c，f (b)0，則A. cba B. bac C. cab D. abc【答案】B【解析】【分析】求出由可得畫出函數(shù)的圖象，由圖可知，從而可得結(jié)果.【詳解】，因為，畫出函數(shù)的圖象，因為由圖可知，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題. 數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.【2018年全國卷文】某公司有大量客戶，且不同齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異為了解客戶的評價，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是_【答案】分層抽樣.【解析】分析：由題可知滿足分層抽樣特點(diǎn)詳解：由于從不同齡段客戶中抽取，故采用分層抽樣故答案為：分層抽樣。點(diǎn)睛：本題主要考查簡單隨機(jī)抽樣，屬于基礎(chǔ)題。14.設(shè)平面向量=(1，0)，=(1，1)，若與垂直，則實(shí)數(shù)=_【答案】【解析】【分析】由向量，利用向量垂直的充要條件列出方程，求出的值.【詳解】向量，由向量與垂直可得，解得，故答案為-1.【點(diǎn)睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.15.已知是第四象限角，且tan()3，則sincos_【答案】【解析】【分析】由求出，由為第四象限角，求出，即可得出結(jié)論.【詳解】，為第二象限角，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角差的正切公式，同角三角函數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題. 同角三角函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系，平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換，商的關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.16.函數(shù)y2x3ax21只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，由只有一個零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，從而可得結(jié)果.【詳解】，由得或，在上遞增，在上遞減，或在上遞增，在上遞減，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，因為只有一個零點(diǎn)，所以，解得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值以及函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題.對于與“三次函數(shù)”的零點(diǎn)個數(shù)問題，往往考慮函數(shù)的極值符號來解決,設(shè)函數(shù)的極大值為 ，極小值為 ：一個零點(diǎn) ；兩個零點(diǎn) ；三個零點(diǎn).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊過點(diǎn)P(2，1)（1）求cos(2)的值；（2）若角滿足tan2，求tan(2)的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)定義求得的值，利用誘導(dǎo)公式與二倍角的余弦公式可得結(jié)果；（2）由（1），結(jié)合二倍角的余弦公式求得的值，由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，再根據(jù)兩角和的正切公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由三角函數(shù)定義sin，cos所以cos(2)sin22sincos（2）由（1）知cos2cos2sin2，故tan2因為tan2，tan (2)，于是tan (2)2【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角18.銷售某種活蝦，根據(jù)以往的銷售情況，按日需量x（公斤）屬于0，100)，100，200)，200，300)，300，400)，400，500 進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖這種活蝦經(jīng)銷商進(jìn)價成本為每公斤15元，當(dāng)天進(jìn)貨當(dāng)天以每公斤20元進(jìn)行銷售，當(dāng)天未售出的須全部以每公斤10元賣給冷凍庫某水產(chǎn)品經(jīng)銷商某天購進(jìn)了300公斤這種活蝦，設(shè)當(dāng)天利潤為Y元（1）求Y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）結(jié)合直方圖估計利潤Y不小于300元的概率；（3）在直方圖的日需量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值，日需量落入該區(qū)間的頻率作為日需量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率，求Y的平均估計值【答案】（1）；（2）0.74；（3）800【解析】【分析】（1）當(dāng)日需求量不低于300公斤時，利潤元；當(dāng)日需求量不足300公斤時，利潤（元）；（2）直接根據(jù)直方圖的性質(zhì)可得結(jié)果；（3）的可能取值為，根據(jù)直方圖求出各隨機(jī)變量對應(yīng)的概率，從而可得分布列，進(jìn)而利用期望公式可得的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）當(dāng)日需求量不低于300公斤時，利潤Y(2015)3001500元；當(dāng)日需求量不足300公斤時，利潤Y(2015)x(300x)510x1500（元）；故Y（2）由Y300得，180x500，所以P(Y300)P(180x200)P(200x500)(0.00200.00300.00250.0015) 1000.74（3）依題意可得Y的分布列為Y1000010001500P0.10.20.30.4EY(1000)0.100.210000.315000.4800因此Y的平均估計值為800元【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題. 直方圖的主要性質(zhì)有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為；（2）組距與直方圖縱坐標(biāo)的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率；（3）每個矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)相乘后求和可得平均值；（4）直觀圖左右兩邊面積相等處橫坐標(biāo)表示中位數(shù).19.（1）已知a，b，N都是正數(shù)，a1，b1，證明對數(shù)換底公式：logaN；（2）寫出對數(shù)換底公式的一個性質(zhì)（不用證明），并舉例應(yīng)用這個性質(zhì)【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）設(shè)且，化為指數(shù)式，兩邊取對數(shù)可得，化簡代入即可得出結(jié)果；（2）或.【詳解】（1）設(shè)logaNx，則Nax兩邊同時取b為底對數(shù)，得logbNlogbax由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，得logbNxlogba因為a1，所以logba0，所以x，于是logaN或者：因為alogaNN，兩邊同時取b為底對數(shù)，得logbalogaNlogbN由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，得logaNlogbalogbN因為a1，所以logba0，所以logaN（2）對數(shù)換底公式性質(zhì)（i）：logaNlogbalogbN例如log23log38log283對數(shù)換底公式性質(zhì)（ii）：logablogba1例如log102log105log10101對數(shù)換底公式性質(zhì)（iii）：logNnlogaN例如log2781log34log33【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)的基本運(yùn)算與基本性質(zhì)，以及換底公式的應(yīng)用，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握的熟練程度，屬于中檔題.20.如圖，在ABC中，ACB，AC3， BC2，P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)（1）若BPC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，求PA長；（2）若BPC，求PBC面積的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由三角形為等腰直角三角形，利用勾股定理求出的長，在三角形中，利用余弦定理求出的長即可；(2)在三角形中,由的度數(shù)表示出的度數(shù)，利用正弦定理表示出與 ,進(jìn)而表示出三角形面積,利用正弦函數(shù)的值域確定出面積的最大值即可.【詳解】（1）由題設(shè)，PCA，PC，在PAC中，由余弦定理得PA2AC2PC22ACPCcos5，于是PA（2）BPC，設(shè)PCB，則(0，)在PBC中，PBC由正弦定理得，得PBsin，PCsin()所以PBC面積SPBPCsinsin ()sinsin(2)當(dāng)(0，)時，PBC面積的最大值為【點(diǎn)睛】以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.21.設(shè)函數(shù)f (x)lnxx1（1）求f (x)的極值；（2）若0a1，證明：函數(shù)g (x)(xa)exax2a(a1) x(xlna)有極小值點(diǎn)x0，且g (x0)0【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，解方程 列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)，那么在處取極大值，如果左負(fù)右正，那么在處取極小值；（2）令得，由（1）知，可得有極小值點(diǎn)，只需證明 即可.【詳解】（1）f(x)的定義域為(0，)，f(x)，令f(x)0得x1當(dāng)x變化時，f (x)，f (x)的變化情況如下表：x(0，1)1(0，)f (x)0f (x)極大所以當(dāng)x1時，f (x)取極大值f (1)0，沒有極小值（2）g(x)(exa) x(a1)，令g(x)0得x1lna，x2a1因為0a1，由（1）知lnaa1當(dāng)x(lna，a1)時，g(x)0；當(dāng)x(a1，)時，g(x)0；所以g (x)有極小值點(diǎn)x0a1由lnaa1，得ea1ag (x0)g (a1)a(a1)2ea-1a(a1)2aa(a22a1)因為0a1，所以a22a10，因此g (x0)0【點(diǎn)睛】本題是以導(dǎo)