現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理方法三ppt課件

第三章曲線坐標(biāo) 3 1 局部標(biāo)架3 2 曲線坐標(biāo)中的張量3 3 平行移動(dòng)與聯(lián)絡(luò)3 4 協(xié)變導(dǎo)數(shù) 平直空間仿射空間真歐氏空間偽歐氏空間平直空間的坐標(biāo)系仿射坐標(biāo)系曲線坐標(biāo)系彎曲空間彎曲空間的坐標(biāo)系曲線坐標(biāo)系 3 1 局部標(biāo)架 曲線坐標(biāo)局部標(biāo)架拉梅系數(shù)體積元梯度散度旋度 3 1 1 曲線坐標(biāo) 1 點(diǎn)的坐標(biāo)三維歐氏空間 直角坐標(biāo)系 點(diǎn)M 坐標(biāo)分量 X1 X2 X3 曲線坐標(biāo) X1 X2 X3 xi xi X1 X2 X3 i 1 2 3 x1 x2 x3 Xi Xi x1 x2 x3 3 1 1 曲線坐標(biāo) 2 例 球坐標(biāo) X1 X2 X3 xi xi X1 X2 X3 3 1 1 曲線坐標(biāo) 3 例 球坐標(biāo) x1 x2 x3 Xi Xi x1 x2 x3 3 1 1 曲線坐標(biāo) 4 例 柱坐標(biāo) X1 X2 X3 xi xi X1 X2 X3 3 1 1 曲線坐標(biāo) 5 例 柱坐標(biāo) x1 x2 x3 Xi Xi x1 x2 x3 3 1 1 曲線坐標(biāo) 6 幾個(gè)公式 1 證明Xi Xi x1 x2 x3 對(duì)Xj求導(dǎo) xi xi X1 X2 X3 3 1 1 曲線坐標(biāo) 7 幾個(gè)公式 2 證明x x X1 X2 X3 對(duì)x 求導(dǎo) Xi Xi x1 x2 x3 3 1 2 局部標(biāo)架 1 直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)線相互垂直的直線 x軸 直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)面相互垂直的平面 yz平面 3 1 2 局部標(biāo)架 2 直角坐標(biāo)系的基矢沿坐標(biāo)線Xi 在Xi增加方向上的單位矢量垂直于等Xi面的單位矢量大小 方向都不變的常矢量滿足正交單位條件 3 1 2 局部標(biāo)架 3 曲線坐標(biāo) x1 x2 x3 點(diǎn)的徑矢坐標(biāo)線x 點(diǎn)M 令一個(gè)x 改變 其余兩個(gè)x 保持不變 得到的點(diǎn)集合 過線 坐標(biāo)面 等x 面 點(diǎn)M 固定x 而讓兩個(gè)x 變 得到的點(diǎn)集合 過面 3 1 2 局部標(biāo)架 4 曲線坐標(biāo) 坐標(biāo)線 坐標(biāo)面一般都是曲線和曲面 局部標(biāo)架點(diǎn)M 過點(diǎn)M的三條坐標(biāo)線過點(diǎn)M和坐標(biāo)線x 相切并指向x 增加方向的單位矢量 用表示 三個(gè)形成一組坐標(biāo)基矢 它們?cè)诳臻g不同點(diǎn)有不同的方向 稱由它們組成的坐標(biāo)系為局部標(biāo)架 3 1 2 局部標(biāo)架 5 正交曲線坐標(biāo)任何點(diǎn)M 局部標(biāo)架基矢都互相正交例 柱坐標(biāo) 球坐標(biāo) 3 1 3 拉梅系數(shù) 1 令一個(gè)x 增加 其余兩個(gè)x 保持不變 得到坐標(biāo)線x 矢量或沿坐標(biāo)線x 的切線 指向x 增加的方向 據(jù)的定義 拉梅系數(shù) 3 1 3 拉梅系數(shù) 2 x x X1 X2 X3 x 為標(biāo)量場(chǎng)x 的梯度是指向等x 面的正法線方向的矢量正交曲線坐標(biāo) 等x 面的法線方向就是坐標(biāo)線x 的切線方向 3 1 3 拉梅系數(shù) 3 例 求球坐標(biāo)的拉梅系數(shù) 3 1 4 體積元 1 體積元 1 正交曲線坐標(biāo) 1 2 3 相互垂直 因而dX 1 2 3 形成一個(gè)長(zhǎng)方體的三個(gè)邊 這個(gè)長(zhǎng)方體的體積 是曲線坐標(biāo)中的體積元 3 1 4 體積元 2 體積元 2 例 球坐標(biāo) 3 1 5 梯度散度旋度 1 標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的散度 3 1 5 梯度散度旋度 2 矢量場(chǎng)的旋度拉普拉斯算子 3 2 曲線坐標(biāo)中的張量 n維曲線坐標(biāo)坐標(biāo)變換張量的定義和運(yùn)算度規(guī)張量弧長(zhǎng)與體積 3 2 1 n維曲線坐標(biāo) 1 點(diǎn)的坐標(biāo)n維歐氏空間 n維直角坐標(biāo)系 點(diǎn)M 坐標(biāo)分量 X1 X2 Xn n維曲線坐標(biāo) X1 X2 Xn x x X1 X2 Xn 1 2 n x1 x2 x Xi Xi x1 x2 x i 1 2 n 點(diǎn)的徑矢 n維坐標(biāo)線n維坐標(biāo)面 局部標(biāo)架 拉梅系數(shù) 體積元 3 2 1 n維曲線坐標(biāo) 2 沿坐標(biāo)線x 的切線 指向x 增加的方向 局部標(biāo)架中 x 坐標(biāo)基矢一般n維空間無(wú)點(diǎn)積 x 坐標(biāo)基矢無(wú)正交性和單位長(zhǎng)度性 協(xié)變和逆變不等同 3 2 2 坐標(biāo)變換 1 是另一個(gè)曲線坐標(biāo) 即 新曲線坐標(biāo)系 3 2 2 坐標(biāo)變換 2 局部標(biāo)架基矢的變換 比較 仿射系 線性 3 2 3 張量的定義和運(yùn)算 1 點(diǎn)M的 階協(xié)變 階逆變張量中 點(diǎn)M 比較 仿射系 3 2 3 張量的定義和運(yùn)算 2 張量運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算加法 乘法 縮并仿照仿射系定義微分運(yùn)算協(xié)變導(dǎo)數(shù) 梯度 散度 旋度下兩節(jié)討論 3 2 4 度規(guī)張量 1 矢量和 局部標(biāo)架基矢矢量的基矢展開矢量點(diǎn)積度規(guī)張量點(diǎn)積公式 是二階協(xié)變張量 非歐氏 歐氏 3 2 4 度規(guī)張量 2 二階逆變度規(guī)張量證明 是二階逆變張量 3 2 4 度規(guī)張量 3 是的函數(shù) 即二階張量場(chǎng) 曲線坐標(biāo)中 一般不對(duì)角正交曲線坐標(biāo)中 對(duì)角證明 3 2 4 度規(guī)張量 4 平直的仿射坐標(biāo)系是常矢量 常張量歐氏空間 斜交坐標(biāo)系 不是對(duì)角的 坐標(biāo)變換 坐標(biāo)基矢為單位矢量的直角坐標(biāo)系 使對(duì)角 且其對(duì)角元為 3 2 5 弧長(zhǎng)與體積 1 弧長(zhǎng)的微分 一級(jí)近似 區(qū)域D的體積 1 直角坐標(biāo)系 直角坐標(biāo)系變換到曲線坐標(biāo)系 3 2 5 弧長(zhǎng)與體積 2 區(qū)域D的體積 2 曲線坐標(biāo)系 證明 J的表達(dá)式 1 3 2 5 弧長(zhǎng)與體積 3 區(qū)域D的體積 3 J的表達(dá)式 2 3 3 平行移動(dòng)與聯(lián)絡(luò) 矢量平行移動(dòng)與分量矢量平行移動(dòng)聯(lián)絡(luò)的變換規(guī)律克利斯托菲符號(hào) 3 3 1 矢量平行移動(dòng)與分量 1 點(diǎn)M 給定矢量 平行移動(dòng)仿射坐標(biāo)系基矢是常矢量 與空間點(diǎn)無(wú)關(guān) 矢量分量不變曲線坐標(biāo)系基矢是變矢量 與空間點(diǎn)有關(guān) 矢量分量變 3 3 2 矢量平行移動(dòng) 1 矢量分量平行移動(dòng)公式 1 點(diǎn)M處矢量 點(diǎn)M處局部標(biāo)架平行移動(dòng)平行移動(dòng) 1 聯(lián)絡(luò) 3 3 2 矢量平行移動(dòng) 2 矢量分量平行移動(dòng)公式 2 平行移動(dòng) 2 聯(lián)絡(luò) 矢量分量平行移動(dòng)公式 對(duì)稱性 仿射坐標(biāo)系 常矢量 3 3 3 聯(lián)絡(luò)的變換規(guī)律 1 聯(lián)絡(luò)變換公式 1 坐標(biāo)系變換聯(lián)絡(luò)變換 1 3 3 3 聯(lián)絡(luò)的變換規(guī)律 2 聯(lián)絡(luò)變換公式 2 聯(lián)絡(luò)變換 2 3 3 3 聯(lián)絡(luò)的變換規(guī)律 3 聯(lián)絡(luò)變換公式 3 聯(lián)絡(luò)變換 3 聯(lián)絡(luò)不是張量由于聯(lián)絡(luò)變換公式的第一項(xiàng) 3 3 4 克利斯托菲符號(hào) 1 引入度規(guī)張量度規(guī)張量與聯(lián)絡(luò)的關(guān)系 1 歐氏空間 3 3 4 克利斯托菲符號(hào) 2 度規(guī)張量與聯(lián)絡(luò)的關(guān)系 2 第一類克利斯托菲符號(hào) 3 3 4 克利斯托菲符號(hào) 3 度規(guī)張量與聯(lián)絡(luò)的關(guān)系 3 第二類克利斯托菲符號(hào) 正交曲線坐標(biāo) 3 4 協(xié)變導(dǎo)數(shù) 一階協(xié)變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)一階逆變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)高階張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)里契引理協(xié)變微分矢量場(chǎng)的散度和旋度 3 4 1 一階協(xié)變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 1 張量場(chǎng)點(diǎn)的變化由局部標(biāo)架基矢變化引起的變化由張量本身變化引起張量 代數(shù)運(yùn)算 加 乘 縮并 張量場(chǎng) 微分運(yùn)算 協(xié)變導(dǎo)數(shù) 梯度 散度 旋度 3 4 1 一階協(xié)變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 2 直角坐標(biāo)系 一階張量場(chǎng)的導(dǎo)數(shù) 二階張量場(chǎng)曲線坐標(biāo)系一階張量場(chǎng)的導(dǎo)數(shù) 二階張量場(chǎng)引入?yún)f(xié)變導(dǎo)數(shù) 一階張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 二階張量場(chǎng) 3 4 1 一階協(xié)變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 3 坐標(biāo)系變換 局部標(biāo)架基矢變換 一階協(xié)變張量場(chǎng)變換 一階協(xié)變張量場(chǎng)的導(dǎo)數(shù)變換 二階張量 3 4 1 一階協(xié)變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 4 聯(lián)絡(luò)變換 3 4 1 一階協(xié)變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 5 一階協(xié)變張量場(chǎng)的導(dǎo)數(shù)變換 3 4 1 一階協(xié)變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 6 一階協(xié)變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 協(xié)變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 服從二階協(xié)變張量的變換規(guī)律 求導(dǎo)運(yùn)算 一階協(xié)變張量場(chǎng) 協(xié)變運(yùn)算 3 4 2 一階逆變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 1 標(biāo)量場(chǎng)的導(dǎo)數(shù)是一階協(xié)變張量場(chǎng)證明 一階逆變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 1 逆變張量場(chǎng) 協(xié)變張量場(chǎng)縮并 標(biāo)量場(chǎng) 求導(dǎo) 3 4 2 一階逆變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 2 一階逆變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 2 張量場(chǎng) 一階協(xié)變一階逆變張量 一階逆變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 3 4 2 一階逆變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 3 一階逆變張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 3 求導(dǎo)運(yùn)算 一階逆變張量場(chǎng) 協(xié)變運(yùn)算 3 4 3 高階張量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 1 協(xié)變導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 任意高階張量場(chǎng)類推例 一階協(xié)變一階逆變張量場(chǎng) 協(xié)變 逆變 3 4 4 里契引理 1 引入度規(guī)張量里契引理證明 1 歐氏空間 二階協(xié)變張量 第二類克利斯托菲符號(hào) 3 4 4 里契引理 1 里契引理證明 2 3 4 5 協(xié)變微分 1 導(dǎo)數(shù) 全 微分協(xié)變導(dǎo)數(shù) 協(xié)變微分協(xié)變張量場(chǎng)的協(xié)變微分逆變張量場(chǎng)的逆變微分 3 4 5 協(xié)變微分 2 協(xié)變微分與全微分的關(guān)系矢量平行移動(dòng)的條件協(xié)變微分的意義曲線坐標(biāo) 移動(dòng)矢量 分量變化由局部標(biāo)架基矢的變化引起由張量本身變化引起從矢量分量的變化中扣除局部標(biāo)架基矢變化引起的變化才是矢量真實(shí)的變化 即矢量的協(xié)變微分 協(xié)變微分等于零 表示移動(dòng)過程中矢量沒有變化 即平行移動(dòng) 3 4 6 矢量場(chǎng)的散度和旋度 1 矢量場(chǎng)散度的定義矢量場(chǎng)的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 一階協(xié)變一階逆變 縮并 標(biāo)量 矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)散度公式的推導(dǎo) 1 歸一化的基矢 3 4 6 矢量