等比數(shù)列的定義.ppt

2.4等比數(shù)列,如果能將一張厚度為0.05mm的報紙對折，再對折，再對折依次對折50次，你相信這時報紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋？,情境一:折紙,問題情境:,對折一次,對折二次,對折三次,對折四次,.,對折次,對折紙的次數(shù),紙的層數(shù),.,.,情境二:莊子天下篇中寫到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。,設(shè)木棰長度為1,木棰長度,第一天取半,第二天取半,第三天取半,第四天取半,.,.,.,第天取半,觀察上述情境中得到的這幾個數(shù)列，看有何共同特點?,2,4,8,16,;,共同特點：從第二項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù),-2,2,-2,2,.,講授新課,1.等比數(shù)列的定義:,一般地，若一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，用字母q表示.,(q0),2.等比數(shù)列定義的符號語言:,(q為常數(shù)，且q0；nN*),(1)1，3，9，27，,(3)5，5，5，5，,(4)1，-1，1，-1，,(2),(5)1，0，1，0，,練習(xí),判斷下列各組數(shù)列中哪些是等比數(shù)列，哪些不是？如果是，寫出首項a1和公比q,如果不是，說明理由。,是,是,是,是,a1=1,q=3,a1=5,q=1,a1=1,q=-1,不是,(6)0，0，0，0，,(7)1,a,a2,a3,(8)x0,x,x2,x3,(9)1，2，6，18，,不是,不是,小結(jié)：判斷一個數(shù)列是不是等比數(shù)列，主要是由定義進(jìn)行判斷：,a1=x0,q=x,是,不是,看是不是同一個常數(shù)？,注意：,(2)公比q一定是由后項比前項所得，而不能用前項比后項來求，且q0；,(1)等比數(shù)列an中,an0；,(3)若q1，則該數(shù)列為常數(shù)列,(4)常數(shù)列a,a,a,a,時,既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列;,時,只是等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列.,思考：,如果在a與b的中間插入一個數(shù)G，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G應(yīng)該滿足什么條件？,反之，若,即a,G,b成等比數(shù)列.,a,G,b成等比數(shù)列,則,分析：,由a,G,b成等比數(shù)列得：,(ab0),如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)G為a與b的等比中項.,3.等比中項：,即：,注意：若a，b異號則無等比中項,若a，b同號則有兩個等比中項.,練習(xí)：,一、等比數(shù)列的通項公式:遞推法,等比數(shù)列的通項公式：疊乘法,等比數(shù)列注：（1）等比數(shù)列的首項不為0；,（2）等比數(shù)列的每一項都不為0，即,（3）q=1時，an為常數(shù)列；,以a1為首項，q為公比的等比數(shù)列an的通項公式為：,4.等比數(shù)列的通項公式：,5.等比數(shù)列通項公式的推廣：,7.等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用：知三求一,6.等比數(shù)列的公比公式：,例、一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18,求它的第1項與第2項.,解：設(shè)這個等比數(shù)列的第1項是,公比是q，那么,解得，,因此,答：這個數(shù)列的第1項與第2項分別是與8.,課堂互動,（2）一個等比數(shù)列的第2項是10,第3項是20,求它的第1項與第4項.,(1)一個等比數(shù)列的第5項是,公比是，求它的第1項；,解得，,答：它的第一項是36.,解：設(shè)它的第一項是，則由題意得,解：設(shè)它的第一項是，公比是q，則由題意得,答：它的第一項是5，第4項是40.,，,因此,課堂小結(jié),從第2項起,每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù),公差(d),d可正、可負(fù)、可零,從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù),公比(q),q可正、可負(fù)、不可零,精講精練、創(chuàng)新,課后作業(yè),已知等差數(shù)列an的公差為2,若a1,a3,a4成等比數(shù)列,求a2=？,練習(xí)在等比數(shù)列an中，,且q=2，求a1和n.,A,練習(xí):,若數(shù)列an的首項是a1=1,公比q=2,則用通項公式表示是：,an=2n1,上式還可以寫成,可見，表示這個等比數(shù)列的各點都在函數(shù)的圖象上，如右圖所示。,01234n,an87654321,通項公式法:an=bcn,判斷等比數(shù)列的方法:,1、(定義法)利用an/an-1是否是一個與n無關(guān)的常數(shù),2、(通項公式法)判斷an=bcn(bc0為常數(shù)),例、有三個數(shù)成等比數(shù)列，若它們的積等于64，和等于14，求此三個數(shù)？,注意：等比數(shù)列中若三個數(shù)成等比數(shù)列，可以設(shè)為,練習(xí)：已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的立方和為81，求這三個數(shù)。,例、有四個數(shù)，若其中前三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積等于216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于12，求此四個數(shù)？,注意：等比數(shù)列中若四個數(shù)成等比數(shù)列，不能設(shè)為,因為這種設(shè)法表示公比大于零！,練習(xí)：有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)。,可以設(shè)這四個數(shù)為a,b,c,d,15,9,3,1或0,4,8,16,某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的這種物質(zhì)是原來的84%.這種物質(zhì)的半衰期為多長(精確到1年)？,放射性物質(zhì)衰變到原來的一半所需時間稱為這種物質(zhì)的半衰期,1.等差數(shù)列：銀行利息按單利計算（利息沒有利息）本利和=本金（1+利率存期）,例如：存入10000元，利率為0.72%,特點：每一項與前一項的差是同一個常數(shù),2.等比數(shù)列：銀行利息按復(fù)利計算（利滾利）本金和=本金（1+利率）存期,例如：存入10000元，利率為1.98%,特點：后一頂與前一項的比是同一個常數(shù),結(jié)論：如果是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么也是等比數(shù)列,證明：設(shè)數(shù)列的公比為p，的公比為q，那么數(shù)列的第n項與第n+1項分別為與，即與因為它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以是一個以pq為公比的等比數(shù)列,特別地，如果是等比數(shù)列，c是不等于的常數(shù)，那么數(shù)列也是等比數(shù)列,探究,對于例中的等比數(shù)列與，數(shù)列也一定是等比數(shù)列嗎？,是,a若anbn是項數(shù)相同的等比數(shù)列，,都是等比數(shù)列,則anbn和,b若an是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)，那么can也是等比數(shù)列,等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì):在等比數(shù)列中，為公比，若且,那么：,等比數(shù)列的性質(zhì),特殊地:,小組展示任務(wù)分配表,典型例題：,除,小組展示任務(wù)分配表,典型例題：,變式、在160與5中間插入4個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列,小組展示任務(wù)分配