混沌映射.docx

Logistic混沌映射1 引言如果一個系統(tǒng)的演變過程對初始的狀態(tài)十分敏感，就把這個系統(tǒng)稱為是混沌系統(tǒng)。在1972年12月29日，美國麻省理工教授、混沌學開創(chuàng)人之一E.N.洛侖茲在美國科學發(fā)展學會第139次會議上發(fā)表了題為蝴蝶效應的論文，提出一個貌似荒謬的論斷：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美國得克薩斯州產生一個龍卷風，并由此提出了天氣的不可準確預報性。至此以后，人們對于混沌學研究的興趣十分濃厚，今天，伴隨著計算機等技術的飛速進步，混沌學已發(fā)展成為一門影響深遠、發(fā)展迅速的前沿科學。混沌來自于非線性動力系統(tǒng)，而動力系統(tǒng)又描述的是任意隨時間變化的過程，這個過程是確定性的、類似隨機的、非周期的、具有收斂性的，并且對于初始值有極敏感的依賴性。而這些特性正符合序列密碼的要求。1989年Robert Matthews在Logistic映射的變形基礎上給出了用于加密的偽隨機數(shù)序列生成函數(shù)，其后混沌密碼學及混沌密碼分析等便相繼發(fā)展起來。混沌流密碼系統(tǒng)的設計主要采用以下幾種混沌映射：一維Logistic映射、二維Henon映射、三維Lorenz映射、逐段線性混沌映射、逐段非線性混沌映射等，在本文中，我們主要探討一維Logistic映射的一些特性。2 Logistic映射分析一維Logistic映射從數(shù)學形式上來看是一個非常簡單的混沌映射，早在20世紀50年代，有好幾位生態(tài)學家就利用過這個簡單的差分方程，來描述種群的變化。此系統(tǒng)具有極其復雜的動力學行為，在保密通信領域的應用十分廣泛，其數(shù)學表達公式如下：Xn+1=Xn(1-Xn) 0,4 X0,1 其中 0,4被稱為Logistic參數(shù)。研究表明，當X0,1 時，Logistic映射工作處于混沌狀態(tài)，也就是說，有初始條件X0在Logistic映射作用下產生的序列是非周期的、不收斂的，而在此范圍之外，生成的序列必將收斂于某一個特定的值。如下圖所示：可以看出，在的取值符合3.5699456=4的條件，特別是比較靠近4時，迭代生成的值是出于一種偽隨機分布的狀態(tài)，而在其他取值時，在經過一定次數(shù)的迭代之后，生成的值將收斂到一個特定的數(shù)值，這對于我們來說是不可接受的。下圖中描述了X0值一定時，對于不同的的取值，迭代可能得到的值：圖中的點即表明了所有可能的X取值范圍。從圖中我們可以看出，在越接近4的地方，X取值范圍越是接近平均分布在整個0到1的區(qū)域，因此我們需要選取的Logistic控制參數(shù)應該越接近4越好。在的值確定之后，我們再來看看初始值X0對整個系統(tǒng)的影響。剛才也說過了，混沌系統(tǒng)在初始值發(fā)生很小變化時，得到的結構就會大相徑庭，在Logistic混沌映射中也是如此。上圖顯示的是X0= 0.663489000和X0= 0.663489001，=3.99時兩個Logistic序列之差的圖像，很明顯，在最開始20多次迭代，兩者的差很小，近似等于0，但隨著迭代次數(shù)的增加，兩個序列的值顯示出一種無規(guī)律的情形，兩者相差也比較大了。因此可以看出該系統(tǒng)具有很好的雪崩效應。我們在使用Logistic混沌系統(tǒng)時，可以先讓系統(tǒng)先迭代一定次數(shù)之后，再使用生成的值，這樣可以更好地掩蓋原始的情況，使雪崩效應擴大，這樣可以具有更好的安全性。最后我們再來看看Logistic的隨機分布特性，一個好的偽隨機序列應該有比較平均的分布，也就是說，每個數(shù)出現(xiàn)的概率應該是相等的。我們對X0=0.2，=3.9999的Logistic混沌映射進行30000次迭代后對其值進行統(tǒng)計，分布情況如下表所示：從上表中我們可以看出，Logistic映射的迭代序列的分布并不是均勻的，對于其他的X0取值也有類似的結構。而且從表中我們還可以看出，其分布是一種兩頭大中間小的情形。雖然分布情況并不是很平均，但是對于一般情形來說，Logistic映射序列是可以滿足我們的需求的。而且我們可以對其想辦法加以改進，使之可以獲得更好的平均性。3 總結本文對Logistic混沌映射進行了一些粗淺的分析，分析了控制參數(shù)對其的影響、Logistic的雪崩效應、序列值的分布情況。在初值和控制參數(shù)都會改變的情況下，該系統(tǒng)還是具備很好的安全性的。目前已經有很多人提出