D_5冪級數(shù)的應(yīng)用ppt課件

.,第五節(jié),一、近似計(jì)算,二、微分方程的冪級數(shù)解法,函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用,第十二章,三、歐拉公式,.,一、近似計(jì)算,例1.計(jì)算,的近似值,精確到,解:,.,例2.計(jì)算,的近似值,使準(zhǔn)確到,解:已知,故,令,得,于是有,用此式求ln2計(jì)算量大,.,在上述展開式中取前四項(xiàng),.,說明:在展開式,中,令,得,具此遞推公式可求出任意正整數(shù)的對數(shù).如,(n為自然數(shù)),.,例3.利用,求,誤差.,解:先把角度化為弧度,(弧度),的近似值,并估計(jì),.,(取,例4.計(jì)算積分,的近似值,精確到,解:,.,則n應(yīng)滿足,則所求積分近似值為,欲使截?cái)嗾`差,.,例5.計(jì)算積分,的近似值,精確到,解:由于,故所給積分不是廣義積分.,若定義被積函數(shù)在x=0處的值為1,則它在積分區(qū)間,上連續(xù),且有冪級數(shù)展開式:,.,二、微分方程的冪級數(shù)解法,代入原方程,比較同次冪系數(shù)可定常數(shù),由此確定的級數(shù)即為定解問題在收斂區(qū)間內(nèi)的解.,設(shè)所求解為,冪級數(shù)解法本質(zhì)上就是待定系數(shù)法,1.一階微分方程的情形,.,例6.,解:根據(jù)初始條件,設(shè)所求特解為,代入原方程,得,比較同次冪系數(shù),得,故所求解的冪級數(shù)前幾項(xiàng)為,.,2.二階齊次線性微分方程問題,定理:,則在Rx4時,.,因此,注意到:,此題的上述特解即為,.,三、歐拉(Euler)公式,則稱收斂,且其和為,絕對收斂,收斂.,若,收斂,若,對復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù),絕對收斂,則稱絕對收斂.,由于,故知,歐拉,.,定義:復(fù)變量,的指數(shù)函數(shù)為,易證它在整個復(fù)平面上絕對收斂.,當(dāng)y=0時,它與實(shí)指數(shù)函數(shù),當(dāng)x=0時,的冪級數(shù)展式一致.,.,（歐拉公式）,（也稱歐拉公式）,利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,則,歐拉,.,據(jù)此可得,(德莫弗公式),利用冪級數(shù)的乘法,不難驗(yàn)證,特別有,第六節(jié),作業(yè)P2911(1),(3);2(2)；3(1),(3);4(2),第七節(jié),.,備用題1.,(1)驗(yàn)證函數(shù),滿足微分方程,(2)利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù),的和.(2002考研),解:(1),.,所以,(2)由(1)的結(jié)果可知所給級數(shù)的和函數(shù)滿足,其特征方程:,特征根:,齊次方程通解為,設(shè)非齊次方程特解為,代入原方程得,故非齊次方程通解為,.,代入初始條件可得,故所求級數(shù)的和,.,2.,解:,求解勒讓德(Legendre)方程,展成冪級數(shù),故方程滿足定理?xiàng)l件.,設(shè)方程的解為,代入:,因方程特點(diǎn),不用將P,Q進(jìn)行展開,定理,.,整理后得:,比較系數(shù),得,例如:,.,于是得勒讓德方程的通解:,上式中兩個級數(shù)都在(1,1)內(nèi)收斂,可以任意取,它們是方程的,兩個線性無關(guān)特解.,歐拉(17071783),瑞士數(shù)學(xué)家.,他寫了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典,著作,如無窮小分析引論,微,還,寫了大量力學(xué),幾何學(xué),變分法教材.,他在工作期間幾乎每年都完成800頁創(chuàng)造性的論文.,他的最大貢獻(xiàn)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域,要分支(如無窮級數(shù),微分方程)與微分幾何的產(chǎn)