第3章靜定梁和靜定剛架的受力分析

AllRightsReserved,.,第3章靜定梁和靜定剛架的受力分析,本章教學的基本要求：靈活運用隔離體平衡法（截面法）計算指定截面的內(nèi)力；熟練掌握靜定梁和靜定平面剛架內(nèi)力圖的作法；了解空間剛架內(nèi)力圖繪制的方法。,本章教學內(nèi)容的重點：繪制靜定梁和靜定平面剛架的內(nèi)力圖，這是本課程最重要的基本功之一。,本章教學內(nèi)容的難點：用隔離體平衡法計算任一指定截面的內(nèi)力；用區(qū)段疊加法繪彎矩圖；根據(jù)彎矩圖和所受荷載繪出剪力圖和軸力圖。,AllRightsReserved,.,本章內(nèi)容簡介:,3.1單跨靜定梁,3.2多跨靜定梁,3.3靜定平面剛架,3.4*靜定空間剛架,第3章靜定梁和靜定剛架的受力分析,AllRightsReserved,.,3.1單跨靜定梁,單跨靜定梁的內(nèi)力分析和內(nèi)力圖的繪制，是多跨梁和剛架受力分析的基礎，是本課程最重要的基本功之一。,常見的單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,3.1.1用隔離體平衡法計算指定截面內(nèi)力,計算指定截面內(nèi)力的基本方法是隔離體平衡法,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,“切、取、力、平”,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,第一，切設想將桿件沿指定截面切開。,第二，取取截面任一側部分為隔離體。,第三，力這是該方法最關鍵的一步。一是勿忘在隔離體上保留原有的全部外力（包括支反力）；二是必須在切割面上添加要求的未知內(nèi)力。所求的軸力和剪力，按正方向添加（軸力以拉力為正，剪力以繞隔離體順時針方向轉動者為正）；而所求的彎矩，其方向可任意假設，只需注意在計算后判斷其實際方向，并在繪彎矩圖時，繪在桿件受拉一側。,第四，平利用隔離體平衡條件，直接計算截面的內(nèi)力。,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,1)任意截面的軸力等于該截面一側所有外力沿桿軸切線方向的投影代數(shù)和。,2)任意截面的剪力等于該截面一側所有外力沿桿軸法線方向的投影代數(shù)和。,3)任意截面的彎矩等于該截面一側所有外力對某點（例如該截面形心）的力矩代數(shù)和。,【注意】如果截面內(nèi)力計算結果為正（或負），則表示該指定截面內(nèi)力的實際方向與所假設的方向相同（或相反）。,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,3.1.2內(nèi)力圖的特征,1.荷載與內(nèi)力之間的微分關系,以上微分關系的幾何意義是：,剪力圖在某點的切線斜率等于該點的荷載集度，但兩者的正負號相反。彎矩在某點的切線斜率等于該點的剪力。彎矩在某點的曲率與該點的荷載集度成正比。,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,2.內(nèi)力圖的特征,(1)在均布荷載區(qū)段：q=常數(shù),FQ是x的一次式，F(xiàn)Q圖是斜直線。,M是x的二次式，M圖是二次拋物線，且其突出方向與荷載指向相同。,(2)無荷載區(qū)段：q0,1)一般情況下(CD段)：M圖為斜線，F(xiàn)Q圖為水平線。,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,2)特殊情況之一桿端無橫向荷載(可有軸向荷載)作用(AB段)：M=0，F(xiàn)Q=0。,3)特殊情況之二純彎曲(BC段)：M圖為水平線，F(xiàn)Q=0。,2.內(nèi)力圖的特征,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,(3)在集中荷載作用處：剪力有突變，其突變值等于該集中荷載值。彎矩圖有尖角，尖角突出方向與荷載指向相同。,2.內(nèi)力圖的特征,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,(4)在集中力偶作用處：剪力圖無變化。彎矩圖有突變(該處左右兩邊的彎矩圖形的切線相互平行，即切線的斜率相同)，突變值等于該集中力偶值。,2.內(nèi)力圖的特征,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,(5)M圖的最大值發(fā)生在FQ圖中FQ=0點處。利用內(nèi)力圖的上述特征，可不列出梁的內(nèi)力方程，而只須算出一些表示內(nèi)力圖特征的截面(稱為控制截面)的內(nèi)力值，就能迅速地繪出梁的內(nèi)力圖。,2.內(nèi)力圖的特征,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,3.1.3用區(qū)段疊加法繪直桿的彎矩圖,1.記住簡單直梁在一些單一荷載作用下的彎矩圖,要求根據(jù)材料力學課程所介紹的方法，計算、繪制并熟記常見幾個最基本的彎矩圖形。,彎矩圖繪在桿件受拉一側，不標注正負號。,可借用柔繩比擬的方法，定性地理解前面7個簡支梁彎矩圖的輪廓圖，即這些彎矩圖就像一根兩端繃緊的橡皮筋受圖示力作用后的形狀。,當桿端有外力偶作用時，可將表示力偶的圓弧箭頭順其原指向繪于桿端外側，則箭尾一側受拉。,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,簡單直梁在單一荷載作用下的彎矩圖,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,簡單直梁在單一荷載作用下的彎矩圖(續(xù)1),3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,3.1單跨靜定梁,簡單直梁在單一荷載作用下的彎矩圖(續(xù)2),AllRightsReserved,.,2.區(qū)段疊加法繪彎矩圖,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,上述作簡支梁彎矩圖的疊加法，可以推廣應用于結構中任一直桿段的彎矩圖。,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,第一種情況對于常見的直線圖形疊加直線圖形或直接圖形疊加曲線圖形的情況，可按以下三個步驟進行：,1)一求控制彎矩：首先，是求兩桿端的彎矩，常可直接判斷（對于簡支梁兩端鉸支處、懸臂梁的懸臂端，若無集中力偶作用，其彎矩為零；若有集中力偶作用，其彎矩即等于該集中力偶）；其次，是求外力不連續(xù)點處的彎矩（如集中力作用點、均布荷載的起點和終點、集中力偶作用點兩側的彎矩），用隔離體平衡法即可方便求得。,區(qū)段疊加法繪彎矩圖小結：,2)二引直線相連：將相鄰二控制彎矩用直線相連,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,當二控制截面間無橫向荷載作用時，用實線連接，即為該區(qū)段彎矩圖形。,當二控制截面間尚有橫向荷載作用時，則用虛線連接，作為新的“基線”，然后再按下面第3)步進行疊加。,3)三疊簡支彎矩：在新的基線上，疊加該區(qū)段按簡支梁僅承受跨間橫向荷載作用時所求得的彎矩圖(注意，豎標垂直于原桿軸)。,區(qū)段疊加法繪彎矩圖小結（續(xù)）：,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,區(qū)段疊加法分步示意圖,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,區(qū)段疊加法分步示意圖(續(xù)),3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,第二種情況對于曲線彎矩圖疊加曲線彎矩圖的情況：找出一些控制截面彎矩值(至少三點)，中間連以適當曲線，主要是定好彎曲方向，一般為連續(xù)光滑曲線。,區(qū)段疊加法繪彎矩圖小結（續(xù)）：,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,3.1.4根據(jù)彎矩圖繪剪力圖,利用微分關系，可方便地根據(jù)彎矩圖繪剪力圖。,1.當彎矩圖為直線變化時,第一，關于FQ的正負：AC段，M圖“下坡”（即M為增函數(shù)），則其相應的FQ為正（M的一階導數(shù)FQ0）；CB段，M圖“上坡”(M為減函數(shù))，則其相應的FQ為負(M的一階導數(shù)FQ0)。,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,第二，關于FQ的大?。嚎捎蒑圖形的坡度（斜率）確定，即FQ=DM/l，其中，l為該區(qū)段長度，M為M圖中該區(qū)段兩端點二彎矩值的高差。而且區(qū)段內(nèi)M圖形“坡度”愈陡，剪力值越大；“坡度”愈緩，剪力值愈?。弧捌露取睘榱悖碝圖為水平線），則剪力值為零（無剪力）。若相鄰兩區(qū)段M圖形“坡度”相同（即當有集中力偶作用時），則該兩區(qū)段剪力值亦相同。,3.1.4根據(jù)彎矩圖繪剪力圖,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,現(xiàn)將以上關于FQ的正負和大小的規(guī)律，小結如下：當彎矩圖為直線變化時，其剪力,式中，l為區(qū)段長度；M為該區(qū)段兩端彎矩值“高差”。,3.1.4根據(jù)彎矩圖繪剪力圖,FQ,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,以上規(guī)律同樣適用于豎桿或斜桿，只是須注意，先假想將該桿“放平”(即繞該桿下端順時針或反時針方向轉動到水平位置)，再遵循“沿桿軸由左向右看”這一前提條件。,3.1.4根據(jù)彎矩圖繪剪力圖,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,2.當M圖為二次拋物線變化時,根據(jù)M與FQ的微分關系可判定，該FQ圖為斜直線（一次式）。因此，只需按照“一求兩端剪力（隔離體平衡法），二引直線相連”的步驟，即可繪出該區(qū)段的FQ圖。,3.1.4根據(jù)彎矩圖繪剪力圖,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,【例3-1】試根據(jù)圖示彎矩圖，繪出相應的剪力輪廓圖。,3.1單跨靜定梁,解：,：,AllRightsReserved,.,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,3.1.5斜梁,房屋中的樓梯梁和坡屋面梁，是常見的桿軸傾斜的斜梁。,1.計算特點,斜梁內(nèi)力不僅有彎矩M、剪力FQ，還有軸力FN。,2.荷載簡化,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,3.支反力及內(nèi)力計算,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,支反力及內(nèi)力計算公式小結：,(1)支反力,(2)內(nèi)力,3.1單跨靜定梁,即,AllRightsReserved,.,【例3-2】試求作圖示斜梁的內(nèi)力圖。,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,【例3-3】試求作圖示斜梁的內(nèi)力圖。,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,【例3-4】試求作圖示三折斜梁的內(nèi)力圖。,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,3.1單跨靜定梁,AllRightsReserved,.,3.2多跨靜定梁,3.2.1組成特點（構造分析）,1.三種組成形式,a)基本形式之一及其層次圖,AllRightsReserved,.,3.2多跨靜定梁,b)基本形式之二及其層次圖,c)混合組成及其層次圖,AllRightsReserved,.,2.基本部分和附屬部分基本部分（主要部分）能獨立承載的部分。附屬部分（次要部分）需依賴于基本部分的支承方能承載的部分。,3.2多跨靜定梁,AllRightsReserved,.,3.2.2力的傳遞,由附屬部分向基本部分傳遞，且當基本部分受荷載時，附屬部分無內(nèi)力產(chǎn)生；當附屬部分受荷載時，基本部分有內(nèi)力產(chǎn)生。,3.2多跨靜定梁,AllRightsReserved,.,3.2.3計算步驟,采用分層計算法，其關鍵是分清主次，先“附”后“基”（計算支反力和內(nèi)力）。其步驟為：,1)作層次圖；2)計算支反力；3)繪內(nèi)力圖；4)疊加(注意鉸處彎矩為零)；5)校核(利用微分關系)。,3.2多跨靜定梁,AllRightsReserved,.,【例3-5】試求作圖示多跨靜定梁的內(nèi)力圖,3.2多跨靜定梁,AllRightsReserved,.,【例3-6】試求圖示多跨靜定梁的內(nèi)力圖。,3.2多跨靜定梁,AllRightsReserved,.,3.2多跨靜定梁,AllRightsReserved,.,【例3-7】試求圖示多跨靜定梁鉸E和鉸F的位置，使中間跨的支座負彎矩MB和MC與跨中正彎矩M2的絕對值相等。,3.2多跨靜定梁,解：在M圖中,|MB|+M2=ql2/8,按題意，要求|MB|=|MC|=M2,(a),AllRightsReserved,.,亦即2|MB|=ql2/8，于是可得,將式(b)代入式(a)，解出,x=0.125l,(b),與三跨跨度為l的簡支梁比較可知，其跨中正彎矩將減小一些。,3.2多跨靜定梁,AllRightsReserved,.,3.3靜定平面剛架,3.3.1剛架的特點,1.構造特點：一般由若干梁、柱等直桿組成且具有剛結點的結構，稱為剛架。桿軸及荷載均在同一平面內(nèi)且無多余約束的幾何不變剛架，稱為靜定平面剛架；桿軸及荷載不在同一平面內(nèi)無多余約束的幾何不變剛架，稱為靜定空間剛架。,2.力學特性：剛結點處夾角不可改變，且能承受和傳遞全部內(nèi)力（M、FQ、FN）。,3.剛架優(yōu)點：內(nèi)部空間較大，桿件彎矩較小，且制造比較方便。因此，剛架在土木工程中得到廣泛應用。,AllRightsReserved,.,3.3.2靜定平面剛架的組成形式,3.3靜定平面剛架,AllRightsReserved,.,3.3.3靜定平面剛架內(nèi)力圖的繪制及校核,靜定平面剛架的內(nèi)力圖有彎矩圖、剪力圖和軸力圖。,靜定平面剛架內(nèi)力圖的基本作法是桿梁法，即把剛架拆成桿件，其內(nèi)力計算方法原則上與靜定梁相同。通常是先由剛架的整體或局部平衡條件，求出支反力或某些鉸結點處的約束力，然后用截面法逐桿計算各桿的桿端內(nèi)力，再利用桿端內(nèi)力按照靜定梁的方法分別作出各桿的內(nèi)力圖，最后將各桿內(nèi)力圖合在一起，就得到剛架的內(nèi)力圖。,【說明1】一般可按M圖FQ圖FN圖的順序繪制內(nèi)力圖。,3.3靜定平面剛架,AllRightsReserved,.,1)關于M圖的繪制：對于每個桿件而言，實際上是分別應用一次區(qū)段疊加法（“一求控制彎矩，二引直線相連，三疊簡支彎矩”）。,2)關于FQ圖的繪制：當M圖為直線變化時，可根據(jù)微分關系，由M圖“下坡”或“上坡”的走向（沿桿軸由左向右看）及其“坡度”的大小，直接確定FQ的正負和大?。ㄈ缜八觯?；當M圖為二次拋物線變化時，可取該桿段為隔離體，化為等效的簡支梁，根據(jù)桿端的已知M及跨間荷載，利用力矩方程，求桿端剪力值。,3)關于FN圖的繪制：對于比較復雜的情況，可取結點為隔離體，根據(jù)已知FQ，利用投影方程，求桿件軸力值。,3.3靜定平面剛架,AllRightsReserved,.,【說明2】剛架的M圖約定繪在桿件受拉一側，不標注正負號；FQ圖和FN圖可繪在桿件的任一側，但必須標注正負號，其符號規(guī)定與梁相同。,【說明3】關于簡單剛結點的概念：兩桿剛結點，稱為簡單剛結點。當無外力偶作用時，匯交于該處兩桿的桿端彎矩坐標應繪在結點的同一側(內(nèi)側或外側)，且數(shù)值相等。作M圖時，可充分利用這一特性。,3.3靜定平面剛架,【說明4】關于剛架內(nèi)力圖的校核：剛架內(nèi)力圖作出后，還應利用微分關系和截面法校核內(nèi)力圖的正確性。,AllRightsReserved,.,1)根據(jù)荷載與內(nèi)力之間的微分關系，校核內(nèi)力圖的形狀特征。?？芍苯佑^察內(nèi)力圖的形狀與荷載種類、結點性質(zhì)、支承情況等是否相符（即進行定性判斷）。2)利用截面法，截取剛架的任一部分為隔離體，校核其靜力平衡條件是否滿足（即進行定量判斷）。須注意，在校核時，應利用在內(nèi)力計算過程中未使用過的平衡條件。對于彎矩圖，通常是檢查剛結點處是否滿足力矩平衡方程（一般以此作為校核的依據(jù)）；而對于剪力圖和軸力圖，則可從剛架中任取結點、桿件、剛架的任一部分為隔離體，檢查是否滿足力投影平衡方程和。,3.3靜定平面剛架,AllRightsReserved,.,【例3-8】試求作圖示剛架的內(nèi)力圖。,解：(1)求支反力,(2)求作M圖,3.3靜定平面剛架,AllRightsReserved,.,3.3靜定平面剛架,(3)求作FQ圖,(4)求作FN圖,AllRightsReserved,.,3.3靜定平面剛架,(5)內(nèi)力圖校核,首先，校核內(nèi)力圖的形狀特征。,然后，校核平衡條件。,AllRightsReserved,.,【例3-9】試求作圖示簡支剛架的內(nèi)力圖。,桿AE：MAE=MEA=0,解：(1)求支反力,(2)求作M圖,1)一求控制彎矩：,桿EC：MEC=0，MCE=42=8kNm(左側受拉),桿BD：MBD=0，MDB=44=16kNm(右側受拉),桿DF：MFD=0，MDF=(22)+(1/21022)=24kNm(上側受拉),3.3靜定平面剛架,AllRightsReserved,.,3.3靜定平面剛架,a),b),c),AllRightsReserved,.,2)二引直線相連,3)三疊簡支彎矩,3.3靜定平面剛架,AllRightsReserved,.,(3)求作FQ圖,(4)求作FN圖,3.3靜定平面剛架,AllRightsReserved,.,3.3靜定平面剛架,(5)內(nèi)力圖校核,首先，校核內(nèi)力圖的形狀特征。,然后，校核平衡條件。,AllRightsReserved,.,【例3-10】試求作圖3-25所示懸臂剛架的內(nèi)力圖。,解：(1)求支反力,(2)求作M圖,1)CD段,MDC=MCE=2qa2(左側受拉)；二引直線相連。,2)DB段,MBD=6qa2a-2qa2=10qa2(上側受拉),MDB=2qa2(下側受拉),3.3靜定平面剛架,A