高一數(shù)學(xué)必修2-第一章空間幾何體知識(shí)點(diǎn)

第一章 空間幾何體1.1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)1. 多面體與旋轉(zhuǎn)體：（1）由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面.相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).（2）由一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體，叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.2. 棱柱：（1）有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面（簡(jiǎn)稱(chēng)底），其余各面叫做棱柱的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).（2）側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，否則斜棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱。（3）棱柱的分類(lèi)：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.按側(cè)棱與底面的關(guān)系分為直棱柱和斜棱柱。（4）底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體；底面為矩形的直平行六面體叫長(zhǎng)方體；底面為正方形的長(zhǎng)方體叫正四棱柱；棱長(zhǎng)都相等的正四棱柱叫正方體。（5）棱柱的性質(zhì)：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。3. 棱錐：（1）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一公共點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.棱錐中，這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底，有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面，各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.（2）底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是正多邊形的中心的棱錐叫正棱柱。正棱柱頂點(diǎn)與底面中心的連線段叫正棱錐的高；正棱錐側(cè)面等腰三角形底邊上的高叫正棱錐的斜高。（3）棱錐的分類(lèi)：按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱錐、四棱錐、五棱錐等.（4）棱錐的性質(zhì)：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方.（5）正棱錐的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱都相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。正棱錐的高，斜高和斜高在底面上的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高，側(cè)棱，側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形。正棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等。正棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等。4. 圓柱與圓錐：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱；以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.在圓柱中，旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面，無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線.5. 棱臺(tái)與圓臺(tái)：（1）用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái)；用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分叫做圓臺(tái).（2）棱臺(tái)的性質(zhì)：兩底面所在平面互相平行；兩底面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的相似多邊形；側(cè)面是梯形；側(cè)棱的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn).（3）圓臺(tái)的性質(zhì)：兩底面是兩個(gè)半徑不同的圓；軸截面是等腰梯形；任意兩條母線的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)；母線長(zhǎng)都相等.（4）棱臺(tái)與圓臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體.6.球：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，叫球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球.在球中，半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑.7. 簡(jiǎn)單組合體：由簡(jiǎn)單幾何體（如柱、錐、臺(tái)、球等）組合而成的幾何體叫簡(jiǎn)單組合體.【常見(jiàn)題型】1如下四個(gè)命題：棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個(gè)共同的公共點(diǎn)；多面體至少有四個(gè)面；棱臺(tái)的側(cè)棱所在直線均相交于同一點(diǎn).其中正確的命題有（ D ）個(gè) A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè) 2圓錐底面半徑為cm，高為cm，其中有一個(gè)內(nèi)接正方體，求這個(gè)內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)SDEOC1CFD1【解】分析：畫(huà)出軸截面圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，利用相似列關(guān)系求解.過(guò)圓錐的頂點(diǎn)S和正方體底面的一條對(duì)角線CD作圓錐的截面，得圓錐的軸截面SEF，正方體對(duì)角面CDD1C1，如圖所示. 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則CC1=x，C1D1.作SOEF于O，則SO，OE=1， ，即. ， 即內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)為cm1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖1. 中心投影與平行投影：（1）光由一點(diǎn)向外散射形成的投影稱(chēng)為中心投影. （2）在一束平行光線照射下形成的投影，稱(chēng)為平行投影. （3）平行投影按照投射方向是否正對(duì)著投影面，可以分為斜投影和正投影兩種.2. 柱、錐、臺(tái)、球的三視圖：（1）三視圖的定義：正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；側(cè)視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖；俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱(chēng)為幾何體的三視圖（2）三視圖的幾何作用：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度.3. 直觀圖：“直觀圖”最常用的畫(huà)法是斜二測(cè)畫(huà)法，由其規(guī)則能畫(huà)出水平放置的直觀圖，其實(shí)質(zhì)就是在坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的位置的畫(huà)法. 基本步驟如下：（1） 建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，得到直角坐標(biāo)系，直觀圖中畫(huà)成斜坐標(biāo)系，兩軸夾角為.（2）平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x或y軸的線段.（3）長(zhǎng)度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.注意：1. “視圖”是將物體按正投影法向投影面投射時(shí)所得到的投影圖. 光線自物體的前面向后投影所得的投影圖成為“正視圖”，自左向右投影所得的投影圖稱(chēng)為“側(cè)視圖”，自上向下投影所得的圖形稱(chēng)為“俯視圖”. 用這三種視圖即可刻劃空間物體的幾何結(jié)構(gòu)，稱(chēng)為“三視圖”. 2. 畫(huà)三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個(gè)正前方，從幾何體的正前方、左側(cè)（和右側(cè)）、正上方三個(gè)不同的方向看幾何體，畫(huà)出所得到的三個(gè)平面圖形，并發(fā)揮空間想象能力. 在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出，被遮擋的部分用虛線表示出來(lái)3. 三視圖中反應(yīng)的長(zhǎng)、寬、高的特點(diǎn)：“長(zhǎng)對(duì)正”，“高平齊”，“寬相等”4. 空間幾何體的三視圖與直觀圖有密切聯(lián)系. 三視圖從細(xì)節(jié)上刻畫(huà)了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，根據(jù)三視圖可以得到一個(gè)精確的空間幾何體，得到廣泛應(yīng)用（零件圖紙、建筑圖紙）. 直觀圖是對(duì)空間幾何體的整體刻畫(huà)，根據(jù)直觀圖的結(jié)構(gòu)想象實(shí)物的形象【常見(jiàn)題型】1如圖，圖（1）是常見(jiàn)的六角螺帽，試畫(huà)出它的三視圖.【解】分析：畫(huà)三視圖之前，先把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，確定一個(gè)正前方，從三個(gè)不同的角度進(jìn)行觀察. 在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見(jiàn)輪廓線 都用實(shí)線畫(huà)出，被遮擋的部分用虛線表示出來(lái). 圖（1）為圓柱和正六棱柱的組合體. 從三個(gè)方向觀察，得到三個(gè)平面圖形，繪制的三視圖如下圖所示.2畫(huà)棱長(zhǎng)為4cm的正方體的直觀圖.【解】分析：按照斜二測(cè)畫(huà)法的步驟畫(huà)正方體的直觀圖，先畫(huà)下底面，再畫(huà)棱，再畫(huà)上底面.（1）畫(huà)法：如圖，按如下步驟完成.第一步，在已知的直角三角形ABC中取直角邊CB所在的直線為x軸，與BC垂直的直線為y軸，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的軸和軸，使.第二步，在軸上取，過(guò)作軸的平行線，取.第三步，連接，即得到該直角三角形的直觀圖.（2）畫(huà)法：如圖，按如下步驟完成.第一步，作水平放置的正方形的直觀圖ABCD，使.第二步，過(guò)A作軸，使. 分別過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，在軸及這組平行線上分別截取.第三步，連接，所得圖形就是正方體的直觀圖.1.3 空間幾何體的表面積與體積 1.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積1. 圓柱：側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，長(zhǎng)是圓柱底面圓周長(zhǎng)，寬是圓柱的高（母線）， S=2，S=2，其中為圓柱底面半徑，為母線長(zhǎng)；.2. 圓錐：側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)扇形，半徑是圓錐的母線，弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，側(cè)面展開(kāi)圖扇形中心角為，S=， S=，其中為圓錐底面半徑，為母線長(zhǎng). S為底面面積，h為高）3. 圓臺(tái)：側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)上底周長(zhǎng)，外弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)下底周長(zhǎng)，側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)中心角為，S=，S=. （S，分別上、下底面積，h為高） （r、R分別為圓臺(tái)上底、下底半徑）4柱、錐、臺(tái)的表面積與體積的計(jì)算公式的關(guān)系表面積相關(guān)公式表面積相關(guān)公式棱柱圓柱 （r：底面半徑，h：高）棱錐圓錐 （r：底面半徑，l：母線長(zhǎng)）棱臺(tái)圓臺(tái)（r：下底半徑，r：上底半徑，l：母線長(zhǎng)）體積公式體積公式棱柱圓柱棱臺(tái)棱錐圓錐圓臺(tái)5柱、椎、臺(tái)之間，可以看成一個(gè)臺(tái)體進(jìn)行變化，當(dāng)臺(tái)體的上底面逐漸收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，它就成了錐體；當(dāng)臺(tái)體的上底面逐漸擴(kuò)展到與下底面全等時(shí)，它就成了柱體. 因而體積會(huì)有以下的關(guān)系： .【常見(jiàn)題型】1已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別是2，5，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng).【解】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，則，圓臺(tái)的上底面面積為，圓臺(tái)的上底面面積為，所以圓臺(tái)的底面面積為.又圓臺(tái)的側(cè)面積，于是，即為所求.2一個(gè)長(zhǎng)方體的相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是2，3，6，則長(zhǎng)方體的體積是 .【解】解析：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，求出的值，再求體積.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則，三式相乘得.所以，長(zhǎng)方體的體積為61.3.2 球的體積和表面積1. 球的體積是對(duì)球體所占空間大小的度量，它是球半徑的函數(shù)，設(shè)球的半徑為，則球的體積2. 球的表面積是對(duì)球的表面大小的度量，它也是球半徑的函數(shù)，設(shè)球的半徑為，則球的表面積為，它是球的大圓面積的4倍3. 用一個(gè)平面去截球，所得到的截面是一個(gè)圓. 【常見(jiàn)題型】1如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積是 A. B. C. D. 【解】如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，PO與平面ABCD垂直，是棱錐的高，PO=R，所以，解得R=2，則球的表面積是，選D.2半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長(zhǎng)為，求球的表面積和體積【解】分析：作出軸截面，利用勾股定理求解.作軸截面如圖所示，設(shè)球半徑為，則，練習(xí)題一、選擇題1 有一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，這個(gè)幾何體應(yīng)是一個(gè)( )A 棱臺(tái) B 棱錐 C 棱柱 D 都不對(duì)2 棱長(zhǎng)都是的三棱錐的表面積為（ ）A B C D 3 長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別是，它的個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的表面積是（ ） A B C D 都不對(duì)4 正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（ ）A B C D 5 一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)為，則球的表面積是（ ） 6 圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的倍，母線長(zhǎng)為，圓臺(tái)的側(cè)面積為，則圓臺(tái)較小底面的半徑為（ ） A 7 下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（ ） （1） （2） （3） （4）A （1） B（2） C （3） D（4）8 在棱長(zhǎng)為的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方形，則截去個(gè)三棱錐后 ，剩下的幾何體的體積是（ ）A B C D 9 已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為和，則 （ ）A B C D 10 如果兩個(gè)球的體積之比為,那么兩個(gè)球的表面積之比為( )A B C D 11 有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如下（單位），則該幾何體表面積及體積為：（ ） 65 A ， B ， C ， D 以上都不正確 12 正方體的全面積為18cm2，則它的體積是（ ）A 4cm3； B 8cm3； C cm3； D 3cm3。2、 填空題13 若三個(gè)球的表面積之比是，則它們的體積之比是_ 14 已知一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是、，這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角長(zhǎng)是_；若長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為，則它的體積為_(kāi)15 中，將三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積為_(kāi)16 等體積的球和正方體,它們的表面積的大小關(guān)系是_17 圖（1）為長(zhǎng)方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由_塊木塊堆成;圖（2）中的三視圖表示的實(shí)物為_(kāi) 圖（2）圖（1）18 若圓錐的表面積為平方米，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面的直徑為_(kāi) 19 球的半徑擴(kuò)大為原來(lái)的倍,它的體積擴(kuò)大為原來(lái)的 _ 倍 20 一個(gè)直徑為厘米的圓柱形水桶中放入一個(gè)鐵球，球全部沒(méi)入水中后，水面升高厘米則此球的半徑為_(kāi)厘米 21 已知棱臺(tái)的上下底面面積分別為4、16，高為3,則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)三、解答題22 將圓心角為，面積為的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積 23 有一個(gè)正四棱臺(tái)形狀的油槽，可以裝油，假如它的兩底面邊長(zhǎng)分別等于和，求它的深度為多少？24 已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別是,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和,求該圓臺(tái)的母線長(zhǎng) 25 如圖，在四邊形中，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積 參考答案一、選擇題1 A 從俯視圖來(lái)看，上、下底面都是正方形，但是大小不一樣，可以判斷是棱臺(tái)2 A 因?yàn)樗膫€(gè)面是全等的正三角形，則3 B 長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑，4 D 正