大學(xué)物理第一章 矢量分析

1,第一章矢量分析,2,本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4矢量場(chǎng)的通量與散度1.5矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度1.6無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8亥姆霍茲定理,3,1.標(biāo)量和矢量,矢量的單位矢量：,標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。,1.1矢量代數(shù),矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。,矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示,注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊?常矢量：大小和方向均不變的矢量。,4,矢量用坐標(biāo)分量表示,5,（1）矢量的加減法,兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。,矢量的加減符合交換律和結(jié)合律,2.矢量的代數(shù)運(yùn)算,在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：,6,（2）標(biāo)量乘矢量,（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）,兩矢量的標(biāo)量積也稱為點(diǎn)積(本書稱為標(biāo)積)。定義一個(gè)矢量在另一矢量上的投影與另一矢量模的乘積，結(jié)果為標(biāo)量。,7,（4）矢量的矢積（叉積）,寫成行列式形式為,亦稱叉積，結(jié)果仍為一個(gè)矢量，用矢量C表示，C的大小為A和B組成的平行四邊形的面積，方向垂直與矢量A和B構(gòu)成的平面且A、B和C三者符合右手螺旋法則。,8,（5）矢量的混合運(yùn)算,9,三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。,1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系,在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。,三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。,10,11,直角坐標(biāo)系,x,y,z,dx,dy,dx,ez,dz,ey,dx,dy,dz,dy,dz,ex,dL,o,12,13,圓柱坐標(biāo)系,x,y,z,pd,dr,ez,dz,er,dy,dz,dz,dz,dz,e,dr,pd,p,d,pd,o,dL,14,15,球坐標(biāo)系,x,y,z,rd,er,e,dr,e,d,dr,rsind,rsind,rsind,rd,r,rd,dr,rsind,o,dL,16,4.坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系,17,1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度,如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。如果場(chǎng)與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。,確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。,從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：,標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng),18,標(biāo)量場(chǎng)的等值面,等值面:標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。,常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。,等值面的特點(diǎn)：,意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。,19,方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。,20,21,2.方向?qū)?shù),意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。,問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？,22,梯度的表達(dá)式：,意義：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向,23,標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。,梯度的性質(zhì)：,梯度運(yùn)算的基本公式：,標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）,24,解(1)由梯度計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為,例1.3.1設(shè)一標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)=x2y2z描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：(1)該函數(shù)在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。(2)求該函數(shù)沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。,25,表征其方向的單位矢量,(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為,對(duì)于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為,26,而該點(diǎn)的梯度值為,27,1.4矢量場(chǎng)的通量與散度,1.矢量線,意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。,矢量線方程：,概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向。,28,2.矢量場(chǎng)的通量,問題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大??？引入通量的概念。,通量的概念,如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是,29,通過閉合曲面有凈的矢量線穿出,有凈的矢量線進(jìn)入,進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等,矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果,閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。,通量的物理意義,30,為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：,稱為矢量場(chǎng)的散度。,散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。,31,32,直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo),由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為,不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則,33,根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為,同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為,34,圓柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)系,散度的表達(dá)式：,散度的有關(guān)公式：,35,4.散度定理,從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即,散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。,36,1.5矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度,矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源,不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。,37,環(huán)流的概念,矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C的線積分，即,例如：流速場(chǎng)。,38,如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即,上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。,特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向有關(guān)。,39,（2）環(huán)流面密度,稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)流面密度。,過點(diǎn)M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時(shí)，極限,40,矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)面密度的最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向即：,41,任一取向面元的環(huán)流面密度，是該點(diǎn)最大環(huán)流面密度的投影：,計(jì)算矢量場(chǎng)的旋度,42,而,推導(dǎo)的示意圖如圖所示。,直角坐標(biāo)系中、的表達(dá)式,43,于是,同理可得,故得,物理意義：旋渦源密度矢量。,性質(zhì)：,44,旋度的計(jì)算公式:,45,如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。,如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。,46,旋度的有關(guān)公式：,47,3.斯托克斯定理,斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。,從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即,48,4.散度和旋度的區(qū)別,49,1.矢量場(chǎng)的源,散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；,旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。,1.6無旋場(chǎng)與無散場(chǎng),50,2.矢量場(chǎng)按源的分類,（1）無旋場(chǎng),僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)，,梯度的性質(zhì):梯度的旋度恒為零,證明：,51,性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)。,無旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為,例如：靜電場(chǎng),52,（2）無散場(chǎng),僅有旋度源而無散度源的矢量場(chǎng)，即,旋度的性質(zhì):任意矢量的旋度的散度恒為零,由此可知：對(duì)于任何一個(gè)散度為零的矢量場(chǎng)B，必然可以表示為某個(gè)矢量場(chǎng)的旋度。即：,磁場(chǎng)的散度為零，則磁場(chǎng)強(qiáng)度可表為某一矢量的旋度.,性質(zhì)：,53,（3）無旋、無散場(chǎng),（源在所討論的區(qū)域之外）,（4）有散、有旋場(chǎng),這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無旋場(chǎng)部分和無散場(chǎng)部分,54,1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理,1.拉普拉斯運(yùn)算,直角坐標(biāo)系,計(jì)算公式：,圓柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,55,概念：,即,注意：對(duì)于非直角分量，,直角坐標(biāo)系中：,如：,56,2.格林定理,設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)及，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)及滿足下列等式：,根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成,以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。,57,基于上式還可獲得下列兩式：,上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。,格林定理說明了區(qū)域V中的場(chǎng)與邊界S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問題。,此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布。,格林定理廣泛地用于電磁理論