2016年湖南省長沙市高考數(shù)學一模試卷（文科）含答案解析

第 1 頁（共 17 頁） 2016 年湖南省長沙市高考數(shù)學一模試卷（文科） 一、選擇題 1設 i 為虛數(shù)單位，則復數(shù) 3 i 的虛部是（ ） A 3 B i C 1 D 1 2記集合 A=x|x+2 0， B=y|y=x R，則 A B=（ ） A（ 2， +） B 1， 1 C 1， 1 2， +） D（ 2， 1 3某空間幾何體的三視圖中，有一個是正方形，則該空間幾何體不可能是（ ） A圓柱 B圓錐 C棱錐 D棱柱 4已知向量 =（ =（ 若 ，則 ， 的值可以是（ ） A = ， = B = ， = C = ， = D = ， = 5已知數(shù)列的前 4 項為 2， 0， 2， 0，則依次歸納該數(shù)列的通項不可能是（ ） A 1） n 1+1 B C D an=n 1） +1 6已知定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足 f（ x+1） = f（ x），且 f（ x） = ，則下列函數(shù)值為 1 的是（ ） A f（ B f（ f（ C f（ f（ D f（ 2） 7某研究性學習小組調查研究學生使用智能手機對學習的影響，部分統(tǒng)計數(shù)據如表 使用智能手機 不使用智能手機 合計 學習成績優(yōu)秀 4 8 12 學習成績不優(yōu)秀 16 2 18 合計 20 10 30 附表： p（ 計算 0，則下列選項正確的是：（ ） A有 把握認為使用智能手機對學習有影響 B有 把握認為使用智能手機對學習無影響 C有 把握認為使用智能手機對學習有影響 D有 把握認為使用智能手機對學習無影響 8函數(shù) 的單調遞增區(qū)間是（ ） A B C D 9平面直徑坐標系 ，動點 P 到圓（ x 2） 2+ 上的點的最小距離與其到直線 x= 1 的距離相等，則 P 點的軌跡方程是（ ） A x B y C x D y 第 2 頁（共 17 頁） 10非負實數(shù) x、 y 滿足 x+y 1） 0，則關于 x y 的最 大值和最小值分別為（ ） A 2 和 1 B 2 和 1 C 1 和 1 D 2 和 2 11如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的數(shù) S 不可能是（ ） A 2已知函數(shù) f（ x） =g（ x） =x+1，則關于 f（ x）， g（ x）的語句為假命題的是（ ） A x R， f（ x） g（ x） B R， f（ g（ C R， f（ =g（ D R，使得 x R， f（ g（ f（ x） g（ x） 二、填空題 13在空間直角坐標系中，已知點 A（ 1， 0， 1）， B（ 1， 1， 2），則線段 長度為 _ 14記等差數(shù)列 前 n 項和為 5，則 _ 15 周長等于 2（ 則其外接圓半徑等于 _ 16 M， N 分別為雙曲線 =1 左、右支上的點 ，設 是平行于 x 軸的單位向量，則 | |的最小值為 _ 三、解答題 17如圖， 半徑為 2，圓心角為 的扇形， C 是扇形弧上的一動點，記 ，四邊形 面積為 S （ 1）找出 S 與 的函數(shù)關系； （ 2）試探求當 取何值時， S 最大，并求出這個最大值 第 3 頁（共 17 頁） 18空氣質量指數(shù)（ 稱 定量描述空氣質量狀況的指數(shù)，空氣質量按照 小分為六級： 0 50 為優(yōu)； 51 100 為良； 101 150 為輕度污染； 151 200為中度污染； 201 300 為重度污染； 300 為嚴重污染 一環(huán)保人士記錄了去年某地某月 10 天的 莖葉圖如圖所示 （ 1）利用該樣本估計該地本月空氣質量優(yōu)良（ 100）的天數(shù)；（按這個月總共 30 天計算） （ 2）若從樣本的空氣質量不佳（ 100）的 這些天中，隨機地抽取兩天深入分析各種污染指標，求該兩天的空氣質量等級恰好不同的概率 19如圖，矩形 直于正方形 直于平面 E=2 （ 1）求三棱錐 A 體積 （ 2）求證：面 面 20已知橢圓 + =1（ a b 0）的頂點到直線 y=x 的距離分別為 ， （ 1）求 標準方程； （ 2）設平行于 直線 l 交 A、 B 兩點，若以 直徑的圓恰好過坐標原點，求直線 l 的方程 21已知函數(shù) f（ x） =（ a 為實常數(shù)） （ 1）若 f（ x）在（ 0， +）上單調遞增，求實數(shù) a 的取值范圍； （ 2）判斷是否存在直線 l 與 f（ x）的圖象有兩個不同的切點 ，并證明你的結論 選修 4何證明選講 22如圖， C， D 是以 直徑的半圓上兩點，且 = （ 1）若 明：直線 分 （ 2）作 E，證明： E 選修 4標系與參數(shù)方程選講 第 4 頁（共 17 頁） 23在平面直角坐標系 ，以坐標原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線極坐標方程為 2 4=0， 0， 2 （ 1）求 直角坐標方程； （ 2）曲線 參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），求 公共點的極坐標 選修 4等式選講 24設 、 、 均為實數(shù) （ 1）證明： |+） | | |+） | | （ 2）若 +=0證明： | 1 第 5 頁（共 17 頁） 2016 年湖南省長沙市高考 數(shù)學一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題 1設 i 為虛數(shù)單位，則復數(shù) 3 i 的虛部是（ ） A 3 B i C 1 D 1 【考點】 復數(shù)的基本概念 【分析】 直接由復數(shù)的基本概念得答案 【解答】 解： 復數(shù) 3 i， 復數(shù) 3 i 的虛部是： 1 故選： D 2記集合 A=x|x+2 0， B=y|y=x R，則 A B=（ ） A（ 2， +） B 1， 1 C 1， 1 2， +） D（ 2， 1 【考點】 并集及其運算 【分析】 先化簡集合 A， B，再根 據并集的定義即可求出 【解答】 解：集合 A=x|x+2 0=（ 2， +）， B=y|y=x R= 1， 1， 則 A B=（ 2， +）， 故選： A 3某空間幾何體的三視圖中，有一個是正方形，則該空間幾何體不可能是（ ） A圓柱 B圓錐 C棱錐 D棱柱 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由于圓錐的三視圖中一定不會出現(xiàn)正方形，即可得出結論 【解答】 解：圓錐的三視圖中一定不會出現(xiàn)正方形， 該空間幾何體不可能是圓錐 故選： B 4已知向量 =（ =（ 若 ，則 ， 的值可以是（ ） A = ， = B = ， = C = ， = D = ， = 【考點】 平面向量共線（平行）的坐標表示 【分析】 根據向量的平行的條件以及兩角和的余弦公式即可判斷 【解答】 解：向量 =（ =（ 若 ， ， 即 +） =0， +=， k Z， 對于 A： +=0，不符合， 對于 B， +=，不符合， 對于 C： += ，符合， 第 6 頁（共 17 頁） 對于 D， += ，不符合， 故選： C 5已知數(shù)列的前 4 項為 2， 0， 2， 0，則依次歸納該數(shù)列的通項不可能是（ ） A 1） n 1+1 B C D an=n 1） +1 【考點】 數(shù)列的概念及簡單表示法 【分析】 令 n=1， 2， 3， 4 分別代入驗證：即可得出答案 【解答】 解：令 n=1， 2， 3， 4 分別代入驗證：可知 C： 2，因此不成立 故選： C 6已知定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足 f（ x+1） = f（ x），且 f（ x） = ，則下列函數(shù)值為 1 的是（ ） A f（ B f（ f（ C f（ f（ D f（ 2） 【考點】 函數(shù)的值 【分析】 由 f（ x+1） = f（ x），得到函數(shù)的周期是 2，根據分段函數(shù)的表達式結合函數(shù)的周期性進行求解即可 【解答】 解：由 f（ x+1） = f（ x），得 f（ x+2） = f（ x+1） =f（ x）， 則函數(shù)的周期是 2， 則 f（ =f（ 2+=f（ = 1， f（ f（ =f（ 1） =f（ 1+2） =f（ 1） = 1 f（ f（ =f（ f（ 2 =f（ f（ =f（ 1） = 1， f（ 2） =f（ 0） =1， 即列函數(shù)值為 1 的 f（ 2）， 故選： D 7某研究性學習小組調查研究學生使用智能手機對學習的影響，部分統(tǒng)計數(shù)據如表 使用智能手機 不使用智能手機 合計 學習成績優(yōu)秀 4 8 12 學習成績不優(yōu)秀 16 2 18 合計 20 10 30 附表： p（ 計算 0，則下列選項正確的是：（ ） A有 把握認為使用智能手機對學習有影響 B有 把握認為使用智能手機對學習無影響 C有 把握認為使用智能手機對學習有影響 第 7 頁（共 17 頁） D有 把握認為使用智能手機對學習無影響 【考點】 獨立性檢驗的應用 【分析】 根據觀測值 照數(shù)表，即可得出正確的結論 【解答】 解 ：因為 0 對照數(shù)表知，有 把握認為使用智能手機對學習有影響 故選： A 8函數(shù) 的單調遞增區(qū)間是（ ） A B C D 【考點】 復合三角函數(shù)的單調性 【分析】 由 2 + 2（ k Z）與 x 2， 2即可求得答案 【解答】 解： y=+ ）的單調遞增區(qū)間由 2 + 2（ k Z）得： 4 x 4（ k Z）， x 2， 2， x 即 y=+ ）的單調遞增區(qū)間為 ， 故選 A 9平面直徑坐標系 ，動點 P 到圓（ x 2） 2+ 上的點的最小距離與其到直線 x= 1 的距離相等，則 P 點的軌跡方程是（ ） A x B y C x D y 【考點】 直線與圓的位置關系 【分析】 設動點 P（ x， y），由已知得 |x+1|= 1，由此能求出點 P 的軌跡方程 【解答】 解：設動點 P（ x， y）， 動點 P 到直線 x= 1 的距離等于它到圓：（ x 2） 2+ 的點的最小距離， |x+1|= 1， 化簡得： 6x 2+2|x+1|= 當 x 1 時， x， 當 x 1 時， x 4 8，不合題意 點 P 的軌跡方程為： x 故選： A 10非負實數(shù) x、 y 滿足 x+y 1） 0，則關于 x y 的最大值和最小值分別為（ ） A 2 和 1 B 2 和 1 C 1 和 1 D 2 和 2 【考點】 簡單線性規(guī)劃；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質 【分析】 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用 z 的幾何意義進行求解即可 第 8 頁（共 17 頁） 【解答】 解：由題意得 ， 作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖： 設 z=x y，由 z=x y，得 y=x z 表示，斜率為 1 縱截距為 z 的一組平行直線， 平移直線 y=x z，當直線 y=x z 經過點 C（ 2， 0）時，直線 y=x z 的截距最小，此時 ， 最大為 0=2 當直線經過點 A（ 0， 2）時，此時直線 y=x z 截距最大， z 最小 此時 2= 2 故選： D 11如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的數(shù) S 不可能是（ ） A 考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序，可得此程序框圖的功能是計算并輸出 S=+ 的值，結合選項，只有當 S 的值為 ， n 不是正整數(shù)，由此得解 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得此程序框圖執(zhí)行的是輸入一個正整數(shù) n， 第 9 頁（共 17 頁） 求 + 的值 S，并輸出 S， 由于 S= + =1 + =1 = ， 令 S=得 n= ，不是正整數(shù)，而 n 分別輸入 2， 3， 8 時，可分別輸出 故選： A 12已知函數(shù) f（ x） =g（ x） =x+1，則關于 f（ x）， g（ x）的語句為假命題的是（ ） A x R， f（ x） g（ x） B R， f（ g（ C R， f（ =g（ D R，使得 x R， f（ g（ f（ x） g（ x） 【考點】 命題的真假判斷與應用 【分析】 根據全稱命題和特稱命題的定義進行判斷即可 【解答】 解：設 h（ x） =f（ x） g（ x），則 h（ x） =x 1， 則 h（ x） =1， 當 x 0 時， h（ x） 0， h（ x）單調遞減， 當 x 0 時， h（ x） 0，則 h（ x）單調遞增， 即當 x=0 時，函數(shù) h（ x）取得極小值同時也是最小值 h（ 0） =0， 即 h（ x） 0，即 x R， f（ x） g（ x）不一定成立，故 A 是假命題， 故選： A 二、填空題 13在空間直角坐標系中，已知點 A（ 1， 0， 1）， B（ 1， 1， 2），則線段 長度為 【考點】 空間兩點間的距離公式 【分析】 根據兩點間的距離公式，進行計算即可 【解答】 解：空間直角坐標系中，點 A（ 1， 0， 1）， B（ 1， 1， 2）， 所以線段 長度為 | = 故答案為： 14記等差數(shù)列 前 n 項和為 5，則 2016 【考點】 等差數(shù)列的前 n 項和 【分析】 利用等差數(shù)列的通項公式及其前 n 項和公式即可得出 【解答】 解：設等差數(shù)列 公差為 d 5， d=2（ d）， d=15， 解得 a1=d=1 則 + 1=2016 故答案為： 2016 15 周長等于 2（ 則其外接圓半徑等于 1 第 10 頁（共 17 頁） 【考點】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理得出 a， b， c 和外接圓半徑 R 的關系，根據周長列出方程解出 R 【解答】 解：設 三邊分別為 a， b， c，外接圓半徑為 R， 由正弦定理得 ， a=2b=2c=2 a+b+c=2（ 2（ R=1 故答案為： 1 16 M， N 分別為雙曲線 =1 左、右支上的點，設 是平行于 x 軸的單位向量，則 | |的最小值為 4 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 根據向量數(shù)量積的定義結合雙曲線的性質進行求解即可 【解答】 解：由向量數(shù)量積的定義知 即向量 在向量 上的投影 | |模 長的乘積，故求 | |的最小值， 即求 在 x 軸上的投影的絕對值的最小值， 由雙曲線的圖象可知 | |的最小值為 4， 故答案為： 4 三、解答題 17如圖， 半徑為 2，圓心 角為 的扇形， C 是扇形弧上的一動點，記 ，四邊形 面積為 S （ 1）找出 S 與 的函數(shù)關系； （ 2）試探求當 取何值時， S 最大，并求出這個最大值 第 11 頁（共 17 頁） 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應用；弧度制的應用；三角函數(shù)的最值 【分析】 （ 1）由面積公式即可得到 S 與 的函數(shù)關系 （ 2）對三角函數(shù)化簡，由 的范圍，得到 S 的最大值 【解答】 解：（ 1） S=S 2 ）（ （ 0， ） （ 2）由（ 1）知， S=2 ） =+ ） （ 0， ）， + （ ， ） 當 + = ，即 = 時， S 最大，為 2 18空氣質量指數(shù)（ 稱 定量描述空氣質量狀況的指數(shù)，空氣質量按照 小分為六級： 0 50 為優(yōu)； 51 100 為良； 101 150 為輕度污染； 151 200為中度污染； 201 300 為重度污染； 300 為嚴重污染 一環(huán)保人士記錄了去年某地某月 10 天的 莖葉圖如圖所示 （ 1）利用該樣本估計該地本月空氣質量優(yōu)良（ 100）的天數(shù)；（按這個月總共 30 天計算） （ 2）若從樣本的空氣質量不佳（ 100）的這些天中，隨機地抽取兩天深入分析各種污染指標，求該兩天的空氣質量等級恰好不同的概率 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 （ 1）由莖葉圖可得樣本中空氣質量優(yōu)良的天數(shù)，可得概率，用總天數(shù)乘以概率可得； （ 2）該樣本中輕度污染共 4 天，分別記為 a， b， c， d，中度污染為 1 天，記為 A，重度污染為 1 天，記為 ，列舉可得總的基本事件共 15 個，其中空氣質量等級恰好不同有 9 個，由概率公式可得的 【解答】 解：（ 1）由莖葉圖可發(fā)現(xiàn)樣本中空氣質量優(yōu)的天數(shù)為 1， 空氣質量為良的天數(shù)為 3，故 空氣質量優(yōu)良的概率為 = ， 故利用該樣本估計該地本月空氣質量優(yōu)良的天數(shù)為 30 =12； （ 2）該樣本中輕度污染共 4 天，分別記為 a， b， c， d， 中度污染為 1 天，記為 A，重度污染為 1 天，記為 ， 則從中隨機抽取 2 天的所有可能結果為：（ a， b）（ a， c） （ a， d）（ a， A）（ A， ）（ b， c）（ b， d）（ b， A） （ b， ）（ c， d）（ c， A）（ c， ）（ d， A）（ d， ） 第 12 頁（共 17 頁） （ A， ）共 15 個，其中空氣質量等級恰好不同有（ a， A）（ A， ）（ b， A） （ b， ）（ c， A）（ c， ）（ d， A）（ d， ）（ A， ）共 9 個， 該兩天的空氣質量等級恰好不同的概率 P= = 19如圖，矩形 直于正方形 直于平面 E=2 （ 1）求三棱錐 A 體積 （ 2）求證：面 面 【考點】 平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積 【分析】 （ 1）由平面 平面 平面 是 平面 棱錐 A 高； （ 2）建立空間坐標系，分別求出平面 平面 法向量，證明他們的法向量垂直即可 【解答】 解：（ 1） 平面 平面 面 面 D， 平面 平面 平面 平面 = = （ 2）以 B 為原點， 坐標軸建立空間直角坐標系，如圖： 則 A（ 2， 0， 0）， E（ 2， 2， 2）， F（ 0， 0， 2）， G（ 0， 2， 1）， =（ 0， 2， 2）， =（ 2， 2， 0）， =（ 0， 2， 1） 設平面 法向量為 =（ x， y， z），平面 法向量為 =（ a， b， c）， 則 ， ，即 ， ， 令 z=1 得 =（ 1， 1， 1），令 c=1 得 =（ ， ， 1） = =0 ， 平面 平面 第 13 頁（共 17 頁） 20已知橢圓 + =1（ a b 0）的頂點到直線 y=x 的距離分別為 ， （ 1）求 標準方程； （ 2）設平行于 直線 l 交 A、 B 兩點，若以 直徑的圓恰好過坐標原點，求直線 l 的方程 【考點】 橢 圓的簡單性質 【分析】 （ 1）由 a b，可設頂點（ a， 0）到直線 y=x 的距離為 ，又頂點（ 0， b）到直線y=x 的距離為 ，運用點到直線的距離公式，計算可得 a=2， b=1，進而得到橢圓方程； （ 2）設直線 l 的方程為 y=x+t（ t 0），代入橢圓方程 ，設 A（ B（ 運用韋達定理和判別式大于 0，以及直徑所對的圓周角為直角，由向量垂直的條件：數(shù)量積為 0，化簡整理，可得 t，進而得到所求直線 l 的方程 【解答】 解：（ 1）由 a b，可設頂點（ a， 0）到直線 y=x 的距離為 ， 可得 = ，即 a=2， 又頂點（ 0， b）到直線 y=x 的距離為 ，可得 = ，即 b=1， 則橢圓方程為 +； （ 2）設直線 l 的方程為 y=x+t（ t 0）， 代入橢圓方程 ，可得 54=0， 設 A（ B（ 即有 =6420（ 44） 0，解得 t ，且 t 0， x1+ ， ， x1+t）（ x2+t） =t2+t（ x1+= += ， 以 直徑的圓恰好過坐標原點，可得 即有 =0，即 ， 即為 + =0， 解得 t= ，滿足 t ，且 t 0， 第 14 頁（共 17 頁） 則直線 l 的方程為 y=x 21已知函數(shù) f（ x） =（ a 為實常數(shù)） （ 1）若 f（ x）在（ 0， +）上單調遞增，求實數(shù) a 的取值范圍； （ 2）判斷是否存在直線 l 與 f（ x）的圖象有兩個不同的切點，并證明你的結論 【考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 【分析】 （ 1）求出導數(shù)，由題意可得 2a 0 在（ 0， +）上恒成立，即 a 2出右邊函數(shù)的值域，即可得到 a 的范圍； （ 2）不存在直線 l 與 f（ x）的圖象有兩個不同的切點假設存在這樣的直線 l，設兩切點為（ f（ ，（ f（ ，由假設可得 f（ =f（ = ，運用導數(shù)和函數(shù)的解析式，化簡整理，即可得到矛盾 【解答】 解：（ 1）函數(shù) f（ x） =的導數(shù)為 f（ x） =2x = ， 由 f（ x）在（ 0， +）上單調遞增， 可得 2a 0 在（ 0， +）上恒成立， 即 a 2 2（ 0， +）上遞增，可得 2值域為（ 0， +）， 則 a 0，即有 a 的取值范圍為（ ， 0； （ 2）不存在直線 l 與 f（ x）的圖象有兩個不同的切點 證明：假設存在這樣的直線 l， 設兩切點為（ f（ ，（ f（ ， 由假設可得 f（ =f（ = ， 由 f（ =f（ 可得 2=2， 即有 2（ =a ，顯然 x1+0， 0， 即有 a= ，而 f（ = 2 =x1+ 2= = 0， 即 f（ =f（ ，