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.,傳染病模型,隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展,諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到有效的控制。但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄向人類襲來(lái)。20世紀(jì)80年代十分險(xiǎn)惡的愛(ài)滋病毒開(kāi)始肆虐全球,至今帶來(lái)極大的危害。長(zhǎng)期以來(lái),建立制止傳染病蔓延的手段等,一直是各國(guó)有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題。,.,不同類型傳染病的傳播過(guò)程有其各自不同的特點(diǎn),弄清這些特點(diǎn)需要相當(dāng)多的病理知識(shí),這里不可能從醫(yī)學(xué)的角度一一分析各種傳染病的傳播,而只是按照一般的傳播模型機(jī)理建立幾種模型。,模型1在這個(gè)最簡(jiǎn)單的模型中,設(shè)時(shí)刻t的病人人數(shù)x(t)是連續(xù)、可微函數(shù),,.,方程(1)的解為,結(jié)果表明,隨著t的增加,病人人數(shù)x(t)無(wú)限增長(zhǎng),這顯然是不符合實(shí)際的。,建模失敗的原因在于:在病人有效接觸的人群中,有健康人也有病人,而其中只有健康人才可以被傳染為病人,所以在改進(jìn)的模型中必須區(qū)別這兩種人。,.,模型2(SI模型)假設(shè)條件為,1.在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變,即不考慮生死,也不考慮遷移。人群分為易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)兩類(取兩個(gè)詞的第一個(gè)字母,稱之為SI模型),以下簡(jiǎn)稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記作s(t)和i(t)。,2.每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù),稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者接觸時(shí),使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?.,又因?yàn)?.,方程(5)是Logistic模型。它的解為,.,.,這時(shí)病人增加的最快,可以認(rèn)為是醫(yī)院的門診量最大的一天,預(yù)示著傳染病高潮的到來(lái),是醫(yī)療衛(wèi)生部門關(guān)注的時(shí)刻。,其原因是模型中沒(méi)有考慮到病人可以治愈,人群中的健康者只能變成病人,病人不會(huì)再變成健康者。,.,模型3(SIS模型)有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等愈后免疫力很低,可以假定無(wú)免疫性,于是病人被治愈后變成健康者,健康者還可以被感染再變成病人,所以這個(gè)模型稱SIS模型。,SIS模型的假設(shè)條件1,2與SI模型相同,增加的條件為,3每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù),稱為日治愈率,病人治愈后成為仍可被感染的健康者。顯然1/是這種傳染病的平均傳染期。,.,不難看出,考慮到假設(shè)3,SI模型的(3)式應(yīng)修正為,(4)式不變,于是(5)式應(yīng)改為,我們不去求解方程(9)(雖然它的解可以解析地表出),而是通過(guò)圖形分析i(t)的變化規(guī)律。定義,.,注意到和1/的含義,可知是整個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù),稱為接觸數(shù)。,利用,方程(9)可以改寫(xiě)作,.,.,不難看出,接觸數(shù)=1是一個(gè)閾值。,SI模型可視為本模型的特例,請(qǐng)讀者考慮它相當(dāng)于本模型中或取何值的情況。,.,模型4(SIR模型)大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力,所以病愈的人即非健康者(易感染者),也非病人(已感染者),他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)。這種情況比較復(fù)雜,下面將詳細(xì)分析建模過(guò)程。,模型假設(shè),1.總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三類,稱SIR模型。三類人在總數(shù)N中占的比例分別記作s(t),i(t)和r(t)。,.,病人的日接觸率為,日治愈率為(與SI模型相同),傳染期接觸為=/。,模型構(gòu)成,由假設(shè)1顯然有,s(t)+i(t)+r(t)
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