2013年上海高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

絕密啟用前2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（上海卷）一、填空題1計(jì)算：2設(shè)，是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則3若，則4已知ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，若，則角C的大小是_（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）5設(shè)常數(shù)，若的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則6方程的實(shí)數(shù)解為_7在極坐標(biāo)系中，曲線與的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為_8盒子中裝有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是_（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）9設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在上，且，若AB=4，則的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為_10設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差，隨機(jī)變量等可能地取值，則方差11若，則12設(shè)為實(shí)常數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)一切成立，則的取值范圍為_13在平面上，將兩個(gè)半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試?yán)米鏁溤?、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出的體積值為_14對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)，記，已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)有反函數(shù)，且，若方程有解，則二、選擇題15設(shè)常數(shù)，集合，若，則的取值范圍為（ ）(A) (B) (C) (D) 16錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）(A)充分條件 (B)必要條件 (C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件17在數(shù)列中，若一個(gè)7行12列的矩陣的第i行第j列的元素，（）則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為（ ）(A)18 (B)28 (C)48 (D)6318在邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為.若分別為的最小值、最大值，其中,則滿足（ ）. (A) (B) (C) (D) 三、解答題19.（本題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC1到平面D1AC的距離.20（6分+8分）甲廠以x千克/小時(shí)的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時(shí)可獲得利潤(rùn)是元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn).21（6分+8分）已知函數(shù)，其中常數(shù)；（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）令，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，區(qū)間（且）滿足：在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的中，求的最小值22（3分+5分+8分）如圖，已知曲線，曲線，P是平面上一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1C2型點(diǎn)”(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1C2型點(diǎn)”時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn)，求證，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1C2型點(diǎn)”；(3)求證：圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1C2型點(diǎn)”23（3分+6分+9分）給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對(duì)任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.2013年 上海 高考理科數(shù)學(xué)（參考答案）一 填空題1. 2. 2 3. 0 4. 5. 2 6. 7. 8. 9. 10. 30d 11. 12. 13. 14. 2二 選擇題題號(hào)15161718代號(hào)BBAD三 解答題19. 【解答】因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，故，故ABC1D1為平行四邊形，故，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面DA1C； 直線BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn)B到平面D1AC的距離設(shè)為考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得而中，故所以，即直線BC1到平面D1AC的距離為20【解答】(1)根據(jù)題意，又，可解得(2)設(shè)利潤(rùn)為元，則故時(shí)，元21【解答】(1)因?yàn)?，根?jù)題意有(2) ，或，即的零點(diǎn)相離間隔依次為和，故若在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為23. 【解答】：（1）C1的左焦點(diǎn)為，過F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”，且直線可以為；（2）直線與C2有交點(diǎn)，則，若方程組有解，則必須；直線與C2有交點(diǎn)，則，若方程組有解，則必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”。（3）顯然過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線C1有交點(diǎn)，則斜率必存在；根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn)，則直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn)，故化簡(jiǎn)得，。若直線與曲線C1有交點(diǎn)，則化簡(jiǎn)得，。由得，但此時(shí)，因?yàn)椋词讲怀闪?；?dāng)時(shí)，式也不成立綜上，直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn)，則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn)，即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)” 23. 【解答】：（1）因?yàn)?，故，?）要證明原命題，只需證明對(duì)任意都成立，即只需證明若，顯然有成立；