2006易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計

論文4易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計獲獎等級：國家二等獎指導教師：黎克麟?yún)①愱爢T：王 坤1 李楊平2 陳秋霖1 (乙組) (1、物理系物教專041學生；2、機電系工設專041學生)摘要：本文驗證了一個在物理、力學、工程，材料等方面綜合的最優(yōu)化設計模型。我們先測量市場上流行的易拉罐的尺寸等數(shù)據(jù)，再通過建立極值的數(shù)學模型，運用微分法計算出的結果解釋這樣的尺寸是否合理，最后提出我們認為更好的易拉罐形狀和尺寸優(yōu)化設計。我們用物理實驗工具測得所需易拉罐的數(shù)據(jù)（見正文），緊接著我們運用同種方法分別建立了易拉罐為正圓柱體和正圓柱體加圓臺的模型，根據(jù)最優(yōu)設計涉及到諸多方面，當易拉罐為正圓柱體，我們考慮以易拉罐所用材料最省為目標函數(shù)，用微分法求解出了易拉罐的高與半徑的比值為4時，且用料最省也滿足人機工程，此時就是易拉罐的最優(yōu)設計，我們的結果在半徑與高的比值能合理說明我們所測量的易拉罐的形狀和尺寸；當易拉罐為正圓柱體加圓臺同理求解出了易拉罐的主要尺寸，我們得到在安全和美學方面是此模型的最優(yōu)設計，我們所得到的結果還是能夠合理地說明我們所測的易拉罐的形狀和尺寸；最后，我們在綜合考慮怎樣設計最優(yōu)，利用現(xiàn)在市場的需求方向為進一步滿足消費者需要和發(fā)展趨勢。設想一個有蓋模型，設計出了一個正圓柱加一個圓錐的易拉罐模型。根據(jù)我們自身的體驗寫出了以前與現(xiàn)在對建模不同認識，在認識上升華了一步（見附錄）。一、問題的提出內容：我們只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥?，這并非偶然，這應該是某種意義下的最優(yōu)設計。當然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設計可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了?，F(xiàn)在就請你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設計問題。問題：1 取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量你們認為驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，那么你們必須注明出處。2 設易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。3 設易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。4 利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計。5 用你們做本題以及以前學習和實踐數(shù)學建模的親身體驗，寫一篇短文(不超過1000字，你們的論文中必須包括這篇短文)，闡述什么是數(shù)學建模、它的關鍵步驟，以及難點。意義：鋁質易拉罐在飲料包裝容器中占有相當大的比重。易拉罐的制造融合了冶金、化工、機械、電子、食品等諸多行業(yè)的先進技術，成為鋁深加工的一個縮影。隨著飲料包裝市場競爭的不斷加劇，對眾多制罐企業(yè)而言，如何在易拉罐生產中最大限度地減少板料厚度，減輕單罐質量，提高材料利用率，降低生產成本，是企業(yè)追求的重要目標。二、基本假設1.易拉罐底部為一個平面。2.假設易拉罐上下底面?zhèn)€部分材料均勻、厚度一樣。3.實驗測得的數(shù)據(jù)在誤差允許的范圍內。4.假設1 立方厘米的水和飲料的重量都是1克。5.假設易拉罐側面各部分的材料分布均勻、厚度相等。6.市場上流通各種易拉罐（355ml）的形狀和尺寸幾乎一樣。三、建立模型（一）.問題的分析：我們只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥?，這并非偶然，這應該是某種意義下的最優(yōu)設計，我們通過調查了解到在某種意義下的最優(yōu)設計包含了，表面材料的最節(jié)約（表面積的最優(yōu)），加工工藝的減少，運輸?shù)姆奖阈?，還有就是易拉罐的直徑是否滿足人機工程學的要求，美學角度（高與直徑的比是否滿足“黃金分割率”）等。當然作為公司主要是想節(jié)約錢，但同時也希望滿足其他的條件來增加銷售量。所以公司也要考慮消費者的心理。當然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設計可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。實際上本文就是要我們考慮易拉罐的半徑與高的關系。問題一：將現(xiàn)實的產品的數(shù)據(jù)經(jīng)過多次的測量最后求其平均值，我們選用的十分度的游標卡尺，和螺旋測微器進行測量。問題二：我們可以通過計算出在什么情況下易拉罐的材料是最節(jié)約的，此時將它所得到的比例尺寸再和我們測得的數(shù)據(jù)進行比較，看它是否可以合理的說明我們可以測得的數(shù)據(jù)。再觀察它們滿足那一些最優(yōu)設計。實際上就是要我們考慮易拉罐的半徑與高的關系。問題三：問題三是在問題二的基礎上進行的最優(yōu)設計，只是在問題二上加了一個圓臺，其實這個圓臺的作用是符合一定的人機工程學的（方便飲用）且滿足耐壓性（易開啟，運輸）。我們還是可以建立易拉罐的材料是最節(jié)約的目標函數(shù)。找出其中隱含的約束條件，經(jīng)過粗略的計算，將解出的數(shù)據(jù)與我們所測得的數(shù)據(jù)進行比較，再判斷它的最優(yōu)設計。問題四：是叫我們發(fā)揮我們的想象力，做出關于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計，理想的飲料灌裝容器應以下作用考慮。1、 保護產品灌裝容器至少應在下列兩個方面起到保護產品的作用：(1) 保護內在質量。即能有效地阻隔微生物進入已被殺菌處理過的資料內，又能防止紫外線、溫度及不良氣體引起的飲料化學變化。當然這不是我們所要考慮的。(2) 免受物理損壞。使其不受物理性破壞就顯得十分重要，2、使用方便、促進銷售飲料包裝，應當為生產、搬運、保管、使用等各個環(huán)節(jié)提供各種方便，特別在消費者取用飲料時，既能方便、安全地打開包裝且便于攜帶，這一點在消費者外出游玩是顯得尤為突出。這也是我們充分發(fā)揮想象的地方。再好的飲料產品，只有為消費都所購買才能產生經(jīng)濟效益。而包裝則是激發(fā)消費者購買者購買的最好媒介，是無聲的營銷員。合理利用灌裝容器外表面的長、寬、尺寸，用得體的文字和明快的色彩，充分體現(xiàn)被灌裝飲料的商標、品名、健康特性、實物形象和容量，加上精巧的造型，將直接激發(fā)消費者的購買欲望，從而導致消費行業(yè)，起到了促進飲料銷售的作用。我們通過考慮材料的最節(jié)約，材料的可回收性，人機工程學，美學，加工工藝，運輸?shù)姆奖阈院桶踩缘葋磉M行最優(yōu)設計。同時我們從消費者的使用習慣和方便考慮到?jīng)Q定設計一個有蓋的包裝盒和無蓋的包裝盒。問題五：在這問中是以我們加入建模的學習和以前的學習，結合參加建模的體驗，總結建模給我們帶來的苦與樂、經(jīng)驗、知識以及再次理解建模的內涵。領悟到建模與實際的聯(lián)系與區(qū)別。再次鞏固了建模的步驟，建模中的重要環(huán)節(jié)和重點。這個小問似乎與本題聯(lián)系不大，但是它卻給我們指引了一個方向。在考慮的時候不能只以純數(shù)學的眼光看待問題。同時在第四問時要考慮問題的全面性，設計最優(yōu)圖形。為了容易觀察需要列舉出各個環(huán)節(jié)的關系。（二）主要符號說明：（如表一）表一符號說明符號說明易拉罐表面積（）易拉罐圓柱的高（）易拉罐底面積（）易拉罐的圓臺的高（）易拉罐側面積（）易拉罐的上下底面厚度（）易拉罐上底面半徑（）易拉罐罐重（）易拉罐下底面半徑（）易拉罐和飲料的重量（）待定參數(shù)易拉罐裝滿水的重量（）易拉罐的側面厚度（）易拉罐的容量（）易拉罐的總高材料的體積（）對市場上流行的易拉罐的測量：我們通過對355毫升的易拉罐進行了多次測量，最后取其平均值，得到以下數(shù)據(jù)（如表二和表三）表二 單位（克）次數(shù)參數(shù)12345678平均370.5370.1369.7370.3370.0369.8370.4370.1370.115.114.815.215.014.715.314.915.115.0380.2380.3379.9380.0380.1379.9379.8380.3380.0表三 單位（毫米）次數(shù)參數(shù)12345678平均122.44122.46122.46122.42122.41122.43122.45122.41122.4510.0310.0210.049.999.9910.0110.0310.0210.01102.02102.02102.01101.99102.01101.10102.02102.02102.010.150.160.150.170.160.140.150.160.150.300.290.310.320.300.290.290.310.3033.0233.0133.0332.9932.9933.0133.0232.9933.0030.0330.0229.9930.0129.9930.0230.0130.0230.00其中，它們的值指的是易拉罐內部的尺寸大小。問題二16：評價一個產品設計的合理性或最優(yōu)可以從多方面評價，比如，在設計易拉罐時，須從廠方、材料、顧客、市場等方面全方位觀察思考。設易拉罐是一個正圓柱體時見（圖1）圖1用手摸一下上下底面就能感覺到它的硬度要比其他的材料要硬(厚, 因為要使勁拉), 想象一下, 硬度體現(xiàn)在同樣材料的厚度上，假設除易拉罐的上下底面厚度外, 罐的側面厚度相同, 記作, 上下底面厚度也均勻，記作. 且。因此, 我們可以進行數(shù)學建模. 這時必須考慮所用材料的體積. 易拉罐側面所用材料的體積為：易拉罐的上下底面的體積為：所以, 和 V 分別為：因為, 所以帶的項可以忽略(極其重要的合理假設或簡化). 因此我們就可以建立數(shù)學模型為：從實用著想，我們要從以下幾點考慮： 人機工程學以握住易拉罐時手感舒服、方便為好，這就需要從成人、孩子的手指彎曲程度作生物學考慮。我們查閱資料可以找到滿足它們的關系。以考慮得到的是否滿足人機工程學的要求： 人們的審美根據(jù)形式美的法則，我們可以考慮高與直徑的比是否滿足“黃金分割率”，當它們滿足以下的標準： 那么我們認為它在視覺上最美的。問題三62：當設易拉罐的中心斷面如下圖形時，即上面部分是一個圓臺，下面部分是一個正圓柱體。同理我們可以按照問題二的思想分析此問。立體圖形中心縱面圖形首先，我們從經(jīng)濟學的角度考慮模型的造價。由于易拉罐采用的是同一種材料制的，要評判造價最優(yōu)，在允許的范圍內只需考慮所需要的材料最少。建立目標函數(shù)：得：其中為圓臺的母線長。約束條件為：易拉罐的容積為應滿足：圓臺的斜高與圓臺的高還滿足：圓臺的上半徑小于它的下半徑： 人機工程學以握住易拉罐時手感舒服、方便為好，這就需要從成人、孩子的手指彎曲程度作生物學考慮。我們查閱資料可以找到滿足它們的關系。以考慮得到的是否滿足人機工程學的要求： 人們的審美根據(jù)形式美的法則，我們可以考慮高與直徑的比是否滿足“黃金分割率”，當它們滿足以下的標準： 那么我們認為它在視覺上最美的。 安全性通過調查了解到圓臺的高和圓柱的高存在一個關系：使得當它受到一定壓力的時候有一個緩沖的作用。問題四572：通過對問題二和問題三的驗證，我們發(fā)現(xiàn)問題二是在考慮材料的表面積最優(yōu)的設計，但是沒有考慮其他的一些因數(shù)如：安全、運輸、儲存、美觀。在問題三中，考慮了易拉罐的美觀，表面材料和上底面的一些安全、運輸、人機問題的最優(yōu)，但是沒有考慮下底面的這些問題。同樣，在運輸、儲存的同時也要滿足它的方便性，安全性和穩(wěn)定性。所以我們可以把易拉罐的下底面形狀設計一個內凹的球形（如圖3）。不僅疊放在一起便于安全運輸和擺放更平穩(wěn)；也是為了制造蛋殼那樣的構造，使得用最小的面積，獲得最大的抗壓性，因為球形能承受的壓力大于平面承受的壓力（這在材料力學和工程力學中都有證明），使底部更堅硬，且拉罐不易變形。圖3上拱的底面和上底面的圓臺， 實際上是由材料沖壓而成的, 這些要求保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐壓. 所有這些都是物理、力學、工程或材料方面的要求。主要數(shù)據(jù)為：上底半徑為 ，高為的圓臺和半徑為 , 高為的圓柱體。再在上下底面加上一個高為的圓環(huán)。且下底面加上的圓環(huán)的外半徑小于上底面的內半徑，使得下底剛好與上底重合，此時設計出的第一種模型的中截面圖形見(圖3)。再好的飲料產品，只有為消費都所購買才能產生經(jīng)濟效益。而包裝則是激發(fā)消費者購買者購買的最好媒介，是無聲的營銷員。合理利用灌裝容器外表面的長、寬、尺寸，用得體的文字和明快的色彩，充分體現(xiàn)被灌裝飲料的商標、品名、健康特性、實物形象和容量，加上精巧的造型，將直接激發(fā)消費者的購買欲望，從而導致消費行業(yè)，起到了促進飲料銷售的作用。特別在消費者取用飲料時，既能方便、安全地打開包裝且便于攜帶，這一點在消費者外出游玩是顯得尤為突出。雖然這樣的設計已經(jīng)很好了，但是由于那樣的易拉罐的蓋子被拉開后無法重新密封。我們知道現(xiàn)在市場上銷售的拉罐，不但不能防止飲料與太陽光和氧氣接觸而且外出旅游攜帶不方便。因此，我們準備設計有蓋的易拉罐易拉罐旋轉蓋.比原來的易拉罐蓋子易密封，打開易拉罐后，可以放心地喝上一口，仍可擰上蓋子放入包中，密封性好，可有效防止飲料與太陽光和氧氣接觸、重量更輕，十分有利于回收后再循環(huán)的優(yōu)點。這是原來易拉罐無法做到的。與以往非旋轉瓶蓋的易拉罐相比，355ml易拉罐下部無太大變化，上部變成圓錐體加一個旋轉式瓶蓋得出設計的第二種圖形如（圖5）。圖形4它相當于是兩個圖形組裝，對應的長度見（圖五）已經(jīng)表注。圖5母線顯然，我們設計的圖形既滿足給定的體積，也彌補了老式易拉罐不能在密封的不足，結合人機工程下底直徑與總高之比滿足黃金分割。為了使得設計的模型穩(wěn)定不易變形，那么蓋、圓柱底、圓柱與圓錐的過度處的厚度相同且為其余部位的2倍入圖已經(jīng)表示。由于瓶蓋得半徑很小，所以我們可以用圓錐代替上面部分。為簡化模型我們將上面圓錐與下面圓柱的過度處視為厚度一樣（但實際厚度不一樣），以考慮到材料最省。建立目標函數(shù)：其中為圓錐的母線長。約束條件為：由于考慮到安全因素，容器并沒有裝滿，常常留有的空余的空間。在這里我們也以作為空余空間，易拉罐的容積為應滿足： 人機工程學以握住易拉罐時手感舒服、方便為好，這就需要從成人、孩子的手指彎曲程度作生物學考慮。我們查閱資料可以找到滿足它們的關系。以考慮得到的是否滿足人機工程學的要求： 人們的審美根據(jù)形式美的法則，我們可以考慮高與直徑的比是否滿足“黃金分割率”，當它們滿足以下的標準： 那么我們認為它在視覺上最美的。 安全性通過調查了解到圓臺的高和圓柱的高存在一個關系：使得當它受到一定壓力的時候有一個緩沖的作用。同時我們也考慮了體積一定時，材料所用的體積最小，也就是說表面積最小，這時我們可將易拉罐設計成一個球體，那么它的表面積最小。也只滿足了用料最省。但是球體的加工工藝比圓柱體困難，特別是在密封性上，還有就是球體所占的空間體積大，不易儲存，運輸成本高。且球體的穩(wěn)定性低，消費者使用時不方便。所以不能制作成球體形狀的易拉罐。四、模型求解問題二的求解3：由約束條件可以求解得到，將它代入目標函數(shù)中得到：求臨界點，令導數(shù)為零得：解得臨界點為： ，因此由測得的數(shù)據(jù)可知，所以，即易拉罐的高是半徑的4倍。由測得的數(shù)據(jù)可以知道實際上易拉罐的容量應為。我們通過計算得到的數(shù)據(jù)與測得的數(shù)據(jù)相比較（如表四）表四參數(shù)計算數(shù)據(jù)測量數(shù)據(jù)由此我們可以得到此時的易拉罐的最優(yōu)設計是表面積的材料最節(jié)約。當然它也滿足人機工程，但是沒有滿足“黃金分割率”。所以視覺上不是很美觀。其結果在半徑和高之間的比值可以合理的說明我們所測得的易拉罐的形狀和尺寸。問題三的求解：把飲料罐的體積看由成兩部分構成,經(jīng)粗略的計算：一是上底半徑為 ，下底半徑為 。高為的圓臺； 二是半徑為 , 高為的圓柱體. 它們的體積分別為 31.2立方厘米和 349立方厘米總共為 380.2 立方厘米。 在題目中我們可以認為 1 立方厘米的水和飲料的重量都是 1克。這在問題假設中已經(jīng)做了說明。我們再來通過測量重量或容積來驗證.我們測量的數(shù)據(jù)是否合理。測量結果為: 未打開罐時飲料罐的重量為 ， 所裝可口可樂確實重 ， 空的飲料罐重量為。 裝滿水的飲料罐重量為，這和我們的近似計算 380.2 立方厘米十分接近！因此，飲料罐不能裝滿飲料, 而是留有 10 立方厘米的空間余量.那么 ，為什么要留有空余空間呢？這一點我們思考了很久，碳酸飲料中充有我們從安全方面做了考慮。即使在運輸、強烈日照、低溫、猛烈的碰撞等情況下，都會使得罐內的壓強高于一般情況下的壓強。這時空余的空間克服了這點。所以，從安全方面是最優(yōu)設計但材料則不是最優(yōu)的。它綜合考慮模型的最優(yōu)的。問題四的求解：由于問題三是在問題二的基礎上進行的再優(yōu)化設計，而我們的問題四也是在問題三的基礎上再優(yōu)化的。所以我們求得的解滿足人機工程學和人們的審美觀點（黃金分割率）以及滿足所用材料的體積相對較少。五、結果分析與檢驗在問題二中，我們求解得到的與之間的比值與我們測量的易拉罐的總高和上底面的半徑的比值相吻合。這說明我們假設易拉罐是一個正圓柱體是合理的。表面所需材料的最少就是正圓柱體的最優(yōu)設計。但是它還沒有考慮人機工程學，美學，加工工藝，運輸?shù)姆奖阈院桶踩?。而在問題三中則多用了一個圓臺，通過計算我們知道了它的高和半徑，同時也計算出了圓柱體的高和半徑，問題三是在問題二的基礎上再優(yōu)化的，所以問題三是表面所需材料的相對較少和安全方面的最優(yōu)化設計。且在這個基礎上還考慮人機工程學，美學，加工工藝，運輸?shù)姆奖阈院桶踩?。計算飲料罐的胖的部分的直徑和高的比?非常接近黃金分割比 0.618. 這在美學上是可以認為是最優(yōu)的。這樣的比例看起來最舒服, 無論消費者是攜帶還是使用都比較合適。在問題四中我們增加了材料，（在易拉罐的上下底部做了一些調整），雖然我們這時的材料成本高了，但這是易拉罐的運輸，儲存方便了，穩(wěn)定性好了，安全性增加了。底部的球形形狀和頂蓋實際上由材料沖壓而成的, 這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐壓. 所有這些都是物理、力學、工程或材料方面的要求, 必須要有有關方面的實際工作者或專家來確定. 因此, 我們可以體會到真正用數(shù)學建模的方法來進行設計是很復雜的過程, 只依靠數(shù)學知識是不夠的, 必須和實際工作者的經(jīng)驗緊密結合.六、模型評價模型的優(yōu)點：1. 我們通過合理的假設，建立了一個驗證模型。2做問題一的測量時我們借助了物理實驗工具螺旋測微器和游標卡尺，并取多次測量的平均值提高了數(shù)據(jù)的精確度。3在整個過程中我們都和實際聯(lián)系得很緊密。4從多方面考慮了某種意義下的最優(yōu)設計。模型的缺點：1. 我們在測量數(shù)據(jù)時只測了一個易拉罐，降低了數(shù)據(jù)的可靠度。2不管是可口可樂易拉罐還是青島啤酒易拉罐他們的設計已經(jīng)是很完美了,第四問要有創(chuàng)新和突破給我們造成了很大的困難，所以在這方面我們的模型還是跳不出原模型的設計。3由于我們缺乏相關的專業(yè)知識，對模型不能進行深入的分析。七、我們眼中的數(shù)學建模4剛進入數(shù)學建模協(xié)會的時，有很多人問我什么是數(shù)學建模，它到底要干些什么？對于這些問題我漸漸在平時的學習和暑期培訓中找到了答案。現(xiàn)在我們也算是對數(shù)學建模深有體會了，下面我們談談我們對數(shù)學建模的認識。數(shù)學建模是通過對實際問題的抽象、簡化，確定變量和參數(shù)，并應用某些規(guī)律建立其變量、參數(shù)間的確定的數(shù)學問題（也稱為一個數(shù)學模型），求解該數(shù)學問題，解釋驗證所的到的解，從而確定能否用于解決問題的多次循環(huán)、不斷深化的過程。簡言之，就是將各種知識綜合應用建立數(shù)學模型來解決各種實際問題的過程。雖然建立數(shù)學模型的方法和步驟并沒有一定的模式，但一個理想的模型應能反映系統(tǒng)的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性。根據(jù)我們以前學習和實踐數(shù)學建模的親身體驗我們認為建模的關鍵步驟可分為： 第一步，要充分搜集現(xiàn)實原型的資料，數(shù)據(jù)，分析它的狀態(tài)，性質，變化規(guī)律，特征，結構，建立經(jīng)驗定律，提出理論假說，確定變量、參數(shù)。第二步，建立數(shù)學模型。這一過程包括什么是所需要解決的問題的主要方面，什么是次要方面，什么是本質，什么是無關緊要的，以及探尋用什么數(shù)學語言，符號，結構來表示所研究的問題或經(jīng)驗定律的結構，即要使數(shù)學模型結構（主要是概念，關系，公理等）盡可能與原型的概念，結構相吻合。 第三步，解決數(shù)學模型所提出的數(shù)學問題。第四步，以原型的數(shù)據(jù)檢驗數(shù)學模型并對數(shù)學解決做出解釋和評價。一般認為，評價一個數(shù)學模型的科