三角函數(shù)與向量的基本概念及綜合應用.doc

湖南省省級示范性高中-洞口三中 方錦昌 提供一、 向量的基本概念：1、 向量、平行向量（共線向量）、零向量、單位向量、相等向量：2、 向量的表示：、區(qū)別于|、|3、 向量的加法、減法：平行四邊形法則和三角形法則 例題1、一艘船從A點出發(fā)以2km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的速為2km/h；求船實際航行的速度大小和方向。（答案：4km/h，方向與水流方向成60角）【題2】設O為平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足=+l(+),l0,+),則點P的軌跡一定通過ABC的( D )A 外心 B 垂心 C 內(nèi)心 D 重心 將上題中的條件改為=+l(+)則應選( C ) 例題3：（1）、化簡下列各式：+；+-；+；（-）+（-）其中結(jié)果為0的有（ 2）、在平行四邊形ABCD中，=,DB=,則有:=-,=+-4、 實數(shù)與向量的積、平面向量基本定理、平面向量的坐標表示： 注意點的坐標和向量的坐標的差別：向量的平等行和垂直坐標公式： 5、向量的數(shù)量積的概念，以及向量平行、垂直、長度、夾角：例1、已知平行四邊形OADB中，=,=,AB與OD相交于點C，且|BM|=|BC|，|CN|=|CD|，用、表示、和。 例2、求證；G為ABC的重心的充要條件是：+=0 例3、已知AD、BE分別是ABC的邊BC、AC上的中線，=,=，則=_ 例4、已知等差數(shù)列an的前n項之和為Sn,若M,N,P三點共線，O為坐標原點，且=a31+a2(直線MP不過點O），則S32等于多少？ （xx年江西高考）已知等差數(shù)列an的前n項之和為Sn,若=a1+a200,且=A,B,C三點共線（該直線不過點O），則S200等于（ ） A 100 B 101 C 200 D 201 例5、若的起點和終點坐標分別為（1，3），（4，7），則|=_ 已知=(1,2),=(x,1),且+2與2-平行，則x之值為_ 已知=(3,4),且的起點坐標為(1,2)，終點坐標為 (x,3x)，則等于_ 已知點M（3，-2），N（-5，-1），且=，則點P的坐標是_（答案：（-1，） 鞏固練習：（一）平面向量的坐標運算規(guī)律：設=(x1,y1),=(x2,y2),則+=_；-=_,l=_；|=；又=|cos=x1x2+y1y2則cos=; 若x1y2-x2y1=0; 若x1x2+y1y2=0， 例1、 已知=(3,5) =(2,3),=(1,-2),求（) （答案：（21，-42） 已知=(3,-1),=(-1,2),則-3-2的坐標為_(答案:(-7,-1)已知|=4,|=3,(2-3)(2+)=61,求與的夾角.(為120)已知|=2,|=9, =-54,求與的夾角.(為135) 例2、已知=(1,2),=(x,1)且+2與2-平行，則x=_(答案:) 已知|=2,|=1, 與的夾角為,求向量2+3與3-的夾角的余弦值.(答案:)；已知向量=(cosa,sina),=(cosb,sinb),且,則+與-的夾角大小是_(90)已知向量與的夾角為120,且|=3,|+|=,則|=_例3已知=(1,2),=(-3,2),當k為何值時,k+與-3垂直?k+與-3平行,平行時它們是同向還是反向?（解:k=19; k=-1/3,反向.）例4:若向量+3垂直于向量7-5,且向量-4垂直于向量7-2,求向量與的夾角大小.(答案:60)已知向量=(2,7),=(x,-3),當與的夾角為鈍角時，求出x的取值范圍；若與的夾角為銳角時，問x的取值范圍又為多少？（答案：為鈍角時x)例5、已知=(cos,sin),=(sin,cos),x0,，求；求|+|，設函數(shù)（x)=+|+|，求出(x）的最大值和最小值。解：=sin2x; |+|=(sinx+cosx), (x）的最大值為1+2，最小值2 例6、已知向量a=(sinq,1),b=(1,cosq),-q,若ab,求出q之值，求出|a+b|的最大值。（答案：q=-，|a+b|的最大值+1）例7、已知向量=(cosq,sinq),向量=(,-1)，求|2-|的最大值。（答案為4）已知向量=(3,1),向量=(x,-3),且，求出x之值。（答案為1）已知|=3,|=2,且與的夾角為60，當m為何值時，兩向量3+5與m-3互相垂直？（答案：m=）已知|=3,|=8,向量與的夾角為120，則|+|之值為多少？（答案：7）已知|=|=1,及|3-2|=3，求出|3+|之值。（答案：2）已知,是非0向量，且滿足-2,和-2，則與的夾角為多少？（答案：為60）；已知向量=(4,-3),|=1,且=5,則=_（答案：（，）若向量與的夾角為60，且|=4，又有(+2)(-3)=-72，則向量的模為多少？（答案：為6）；已知點A（-2，0），點B（3，0），動點P（x,y)滿足=x2,則動點P的軌跡方程為_（答案：y2=x+6)在ABC中，a,b,c分別為角A，B，C的對邊，且a+c=2b,A-C=，求sinB（答案：）例8、已知向量,且|=4,|=3,又(2-3)(2+)=61,則=_（120）例9、已知兩點M（-1，0），N（1，0），且點P使，成公差小于0的等差數(shù)列，求點P的軌跡方程；若點P的縱坐標為，求tan之值。（答案：x2+y2=3(x0);) 例10、已知=(1,-2),=(1,l),若和的夾角為銳角，求l的取值范圍；若和垂直，求l之值；若和的夾角為鈍角，求l的取值范圍；若和同向，求l的值；若和反向，求l的值；若和共線，求l的值。 例11、已知=(-3,2),=(2,1),=(3,-1),tR,若-t與共線，求實數(shù)t之值。求出|+t|的最小值及相應的t之值。四、三角與與向量的綜合歸納1、三角變形公式主要是：誘導公式；sin(ab),cos(ab),tan(ab);sin2a,cos2a,tan2a;sin2a,cos2a;asinq+bcosq;注意常數(shù)代換（如1= sin2a+cos2a;=sin30=cos60等；角的配湊（如a=（a+b）-b，2a=（a+b）+（a-b），a=+等）2、變形時，要注意角與角之間的相互關(guān)系，最常用的有：切割化弦、高次降冪、異角化同角等；（化同名、化同次、化同角）3、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要注意定義域、值域、奇偶性、圖象對稱性、周期性、單調(diào)性、最值；正、余弦函數(shù)作圖的“五點法”，以及圖象的變換。4、解三角形時，要充分利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，三角變形公式去處理問題；5、向量要注意選擇幾何、字符、坐標運算形式，力求簡化運算過程；要將坐標運算與基底運算靈活加以應用；向量的數(shù)量積是解決有關(guān)平行、垂直、夾角、模、投影等問題的重要工具；利用|2=2可以實現(xiàn)數(shù)量積與模的相互轉(zhuǎn)化。v 【題1】已知=(1,1)與+2的方向相同,則的取值范圍是_(答案:(-1,+)已知非零向量與滿足(+)=0,且=,則ABC為(D )A鈍角 B Rt C 等腰非等邊 D 等邊已知=(3,1),=(-1,2),若,且,則=_(答案:(14,7)已知向量=(1,-2),=(1,l),若與的夾角為銳角,則實數(shù)l的取值范圍是_(答案:(-,-2)(-2,)v 【題2】設函數(shù)(x)= ,其中向量=(2cosx,1),=(cosx,sin2x),當(x)=1-,且x-,求x； 若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量=(m,n)(|m|0)的圖象上的一個最大值點和一個最小值點都在圓x2+y2=r2上,則(x)的最小正周期是_(答案:4)已知函數(shù)y=sin(x+j)(0,0j)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于點M(,0)對稱,且在0,上是單調(diào)函數(shù),求和j的值.(答案:j=;=2或)【題6】已知函數(shù)(x)= sinxcosx-cos2x+(0)的最小正周期是,且圖象關(guān)于直線x= 對稱,求出之值; 若當x0,時,|a+(x)|4恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.解、(x)= -sin（2x+）+1；|a+(x)|4恒成立-4-(x)maxa0)個單位,得到曲線C,若曲線C關(guān)于點(,0)對稱,則a的最小值是_(答案:)【題8】受日月引力,海水會發(fā)生漲落,這種現(xiàn)象叫做潮汐.在通常情況下,船在漲潮時駛進航道,靠近船塢;卸貨后落潮時返回海洋.某港口水的深度y(米)是時間t(0t24,單位:時)的函數(shù),記作y=(t),下面是該港口在某季節(jié)每天水深的數(shù)據(jù):t(時)03 691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0經(jīng)過長期觀察, y=(t)曲線可以近似地看作函數(shù)y=Asint+k的圖象根據(jù)以上數(shù)據(jù),求出函數(shù)y=(t)的近似表達式; 一般情況下,船舶航行時,船底離海底的距離為5m或5m以上時,認為是安全的(船舶?？繒r,船底只要不碰海底即可).某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5m,如果該船想在同一天內(nèi)安全進出港口,問它至多能在港內(nèi)停留多長的時間(忽略進出港口所需時間)解:y=3sint+10; y=3sint+105+6.5,則1t5或13t17,則最多可停留16個小時.v 【題9】設ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,()給出下列兩個條件:a,b,c成等差數(shù)列; a,b,c成等比數(shù)列;()給出下列三個結(jié)論:0B;acos2()+ccos2()=;1請你選擇給定的兩個條件中的一個做為條件,給定的三個結(jié)論中的兩個做為結(jié)論,組建一個你認為正確的命題,并給出證明.解:（1）可組建四個正確的命題:;；（2）y= = sin(B+）且0B，則1y一、綜合鞏固練習（1） 例1：化簡： (答案：sinq)化簡：sin(a-)+cos(a+) (答案：0）已知a0)的圖象的相鄰兩支截直線y=所得的線段長為,則（）之值是( A ) A 0 B 1 C -1 D 【題2】已知=(cosa,sina),=(cosb,sinb),且與之間滿足關(guān)系:|k+|=|-k|,其中k0,則的最小值是_,此時與的夾角大小為_解、平方得=則最小值為,此時與的夾角大小為60【題3】函數(shù)1(x)=Asin(x+j)(A0,0,|j|)的一段圖象過點(0,1),如圖所示,求函數(shù)1(x)的解析式；將函數(shù)y=1(x)的圖象按向量=(,0)平移,得到函數(shù)y=2(x)的圖象,求函數(shù)y=1(x)+ 2(x)的最大值,及此時自變量x的取值集合. 解、1(x)=2sin(2x+)； y=2(x)= -2cos(2x+) y=1(x)+ 2(x)= 2sin(2x-) 當x=k+(kZ)時,ymax=2【題4】若函數(shù)(x)=sin3x-cos3x在區(qū)間M上的最大值與最小值的差等于4，則區(qū)間M 一定不可能是（ C ）A -， B -，- C ， D ，設函數(shù)(q)=acos2q+bsin2q+2acosq,其中ab0,q0,則關(guān)于q的方程(q)=0的解有( )個 A 0 B 1 C 2 D 無數(shù)個解、(q)=(a-b)cos2q+2acosq+b=(a-b)t2+2at+b (-1t1)則(-1)(1)=-3a20從而選(B)；【題5】在三角形ABC中,若+=-6若C為直角,求c邊的長；若三角形的周長等于6,試判斷三角形ABC的形狀解、利用余弦定理，則有c=;可判斷出ABC為正三角形【題6】函數(shù)(x)=Asin(x-)(A0,0)的圖象經(jīng)過點(,2)，且其單調(diào)遞增區(qū)間的最大長度是2，求出其單調(diào)遞減區(qū)間。（解、A=4，周期為4，則有=，從而(x)=4sin(x-)，則單調(diào)遞減區(qū)間為+4k, +4k (kz)【題7】已知向量=(sinx,cosx),=(cosx,cosx),=(2,1),若,求sin2x的值;設函數(shù)(x)=,ABC的三邊a,b,c滿足b2=ac,且(B)=1,試判斷ABC的形狀解、則tanx=2，則sin2x= (x)= +sin(2x+),由(B)=1則B=。又由余弦定理有a=c,從而為正三角形【題8】已知=(,),=-,=+,若AOB是以O為直角頂點的等腰直角三角形,則向量=_,AOB面積為_解、且|=|,則旋轉(zhuǎn)90畫圖知=(,)或（，），AOB面積是1【題9】若把函數(shù)的圖象沿向量a=（-，-2）平移后，得函數(shù)y=cosx的圖象，則原函數(shù)的解析式為（ A ）A y=cos(x-)+2 B y=cos(x+)+2 C y=cos(x-)-2 D y=cos(x+)-2【題10】設向量=(cosx,sinx),=(sinx,-sinx),求函數(shù)（x)=loga(+) (a0且a 1)的單調(diào)遞增區(qū)間； 若=，且x(0,),求滿足sin(x-q)-sin(x+q)+sin2x=的最小正角q。（解、（x)= loga(sin2x+)則當a1時，為（k-,k+);0a1時，為（k+,k+) 最小正角q=四、鞏固練習(4)【題1】已知A(3,0),B(0,3),C(cosa,sina), 若 =-1,求sin2a之值 若|+|=,且a(0,),求與的夾角解、sin2a=-5/9 與的夾角為30【題2】已知（x)=asin(x+a)+bsin(x-b),其中a、b、a、b均為非零實數(shù)，若（xx）= -1，則（xx）之值為（ B ）：A 0 B 1 C -1 D xx 【題3】已知向量=(4cosB,cos2B-2cosB),=(sin2(+),1),且（B)= 若(B)=2,且0B2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.（解、(B)= =2sin(2B+),B=;m2sin(2B+)-2恒成立,則m（-，-2【題4】已知（x)=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a(aR,a為常數(shù),xR); 求函數(shù)（x)的最小正周期; 若函數(shù)（x)的最大值為3,求實數(shù)a之值;求函數(shù)（x)的遞減區(qū)間.解、（x)=2sin(x+)+a，則最小正周期T=2； a=1; 函數(shù)（x)的遞減區(qū)間為2k+,2k+ (kz)【題5】已知函數(shù)（x)= ,若函數(shù)（x)的定義域為（0，），求函數(shù)（x)的單調(diào)遞減區(qū)間；若（x)=-2，求x之值。解、（x)=2sin(x+)，（x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，）；x=k-,(注意：x=k-時，cos2x=0,應舍去）五、鞏固練習（5）：1、y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象和性質(zhì)； 以及五點做圖法的應用。2、 y=Asin(x+j),y=Acos(x+j)的周期、奇偶性、對稱軸、單調(diào)性、最值。3、 鞏固練習：如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=-對稱，則a=( D )A B - C 1 D -1求下列函數(shù)的周期：y=sinx+cosx; y=sin(2x+)cos2x; y=cos24x; y=tanx-cotx;求函數(shù)y=cos2x-3cosx+2的最小值（答案為0）例1已知函數(shù)y=2sin(x+j)(|j|0，0，0j0)的圖象按向量=(,0)平移，平移后 的圖象如圖所示，則該圖象所對應的函數(shù)的解析式是（ ）A y=sin(x+) B y=sin(x-)C y=sin(2x+) D y=sin(2x-)5、在直角坐標系中，橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點叫做格點，若函數(shù)y=(x)的圖象恰好經(jīng)過k個格點，則稱函數(shù)y=(x)為k階格點函數(shù) 。給出下列四個函數(shù): y=sinx; y=log2x; y=ex-1; y=x2;其中為一階格點函數(shù)的函數(shù)個數(shù)共有