重慶市南岸區(qū)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)試題

重慶市南岸區(qū)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)試題（分?jǐn)?shù)：150分 時(shí)間：120分鐘）注意：本試卷包含、兩卷。第卷為選擇題，所有答案必須用2b鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置。第卷為非選擇題，所有答案必須填在答題卷的相應(yīng)位置。答案寫在試卷上均無效，不予記分。一、選擇題1. 函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的傾斜角為()a. 0b. 2c. 3d. 42. 下列各組中的函數(shù)f(x)與g(x)相等的是 a. f(x)=|x|，g(x)=(x)2b. f(x)=x2，g(x)=xc. f(x)=x21x+1，g(x)=x1d. f(x)=x0，g(x)=xx3. (12x)(1x)5的展開式中x3的系數(shù)為()a. 10b. -10c. -20d. -304. 若點(diǎn)o與點(diǎn)f分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)p為橢圓上的任意一點(diǎn)，則opfp的最大值為 a. 2b. 3c. 6d. 85. 函數(shù)y=loga(x1)(0a0)上任意一點(diǎn)，m是線段pf上的點(diǎn)，且|pm|=2|mf|，則直線om的斜率的最大值為 a. 33b. 23c. 22d. 18. 已知雙曲線x24y2b2=1(b0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于a，b，c，d四點(diǎn)，四邊形abcd的面積為2b，則雙曲線的方程為()a. x243y24=1b. x244y23=1c. x24y24=1d. x24y212=19. 已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若，且它的前n項(xiàng)和sn有最大值，則使得sn0的n的最大值為 a. 11b. 12c. 21d. 2210. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正方形，則該幾何體最大的側(cè)面的面積為()a. 1b. 2c. 3d. 211. 下列命題中，假命題的個(gè)數(shù)是() (1)若直線a在平面上，直線b不在平面上，則a、b是異面直線(2)若a、b是異面直線，則與a、b都垂直的直線有且只有一條(3)若a、b是異面直線，則與c、d與直線a、b都相交，則c、d也是異面直線(4)設(shè)a、b是兩條直線，若a/平面，a/b，則b/平面a. 1個(gè)b. 2個(gè)c. 3個(gè)d. 4個(gè)12. 若直線l:kx+y+1=2k與曲線x-12+y2+x+12+y2=2有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是 a. -1,-13b. 13,1c. (-,131,+)d. (-,13)(1,+)二、填空題13. 已知一個(gè)樣本x，1，y，5的平均數(shù)為2，方差為5，則xy= _ 14. 設(shè)點(diǎn)a(3,5)和b(2,15)，在直線l：3x4y+4=0上找一點(diǎn)p，使|pa|+|pb|為最小，則這個(gè)最小值為_15. 能說明“若ab，則1a0,b0)的右焦點(diǎn)為f，拋物線e：x2=4y的焦點(diǎn)b是雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，若線段bf與雙曲線c的右支交于點(diǎn)a，且ba=3af，則雙曲線c的離心率為_三、解答題17. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a1=12，2an+1=sn+1(1)求a2，a3的值；(2)設(shè)bn=2an2n1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn18. 設(shè)f(x)=ax2(a+1)x+1(1)解關(guān)于x的不等式f(x)0；(2)若對(duì)任意的a1,1，不等式f(x)0恒成立，求x的取值范圍19. 如圖，四棱錐pabcd的底面abcd是平行四邊形，ba=bd=2，ad=2，pa=pd=5，e，f分別是棱ad，pc的中點(diǎn)證明ef/平面pab；若二面角padb為60，(i)證明平面pbc平面abcd；(ii)求直線ef與平面pbc所成角的正弦值20. 已知橢圓c：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦點(diǎn)分別為f1，f2，離心率為12.設(shè)過點(diǎn)f2的直線l與橢圓c相交于不同兩點(diǎn)a，b，abf1周長為8求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；已知點(diǎn)t(4,0)，證明：當(dāng)直線l變化時(shí)，總有ta與tb的斜率之和為定值21. 已知橢圓c：x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為，以橢圓長、短軸四個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為43求橢圓c的方程；如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為a、b，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)m在定直線x=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線am、bm分別交橢圓于p、q兩點(diǎn)，求四邊形apbq面積的最大值22. 如圖，在四棱錐pabcd中，底面四邊形abcd是矩形，pa底面abcd，e、f分別是ab、pd的中點(diǎn)，pa=ad 求證：af/平面pec；求二面角pcdb的大??；若ad=2，cd=22，求直線pe與平面pcd所成角的正弦值答案和解析1.【答案】d【解析】【分析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直線的傾斜角與斜率，屬于基礎(chǔ)題先求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即為切線在此處的斜率，從而求得切線在此處的傾斜角【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(x2+1)，則，則函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的斜率為，設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的傾斜角為，則tan=1，又因?yàn)?4故選d2.【答案】d【解析】【分析】本題考查了同一函數(shù)的判定，是基礎(chǔ)題確定函數(shù)的三要素是：定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)定義域、對(duì)應(yīng)法則相同即兩函數(shù)為相等函數(shù)，據(jù)此可判斷出答案【解答】解：對(duì)于a，f(x)=|x|(xr)，與gx=x2(x0)的定義域不同，故不是同一函數(shù)；對(duì)于b，fx=x2=x(xr)，與g(x)=x(xr)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一函數(shù)；對(duì)于c，fx=x21x+1(x1)，與g(x)=x1(xr)的定義域不同，故不是同一函數(shù)；對(duì)于d，f(x)=x0=1(x0)，與gx=xx=1(x0)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以是同一函數(shù)故選d3.【答案】d【解析】【分析】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，由(12x)(1x)5=(12x)(15x+c52x2c53x3+)，即可得出，屬于基礎(chǔ)題【解答】解：(12x)(1x)5=(12x)(15x+c52x2c53x3+)，展開式中x3的系數(shù)為c532c52=30故選d4.【答案】c【解析】【分析】本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力，屬于中檔題先求出左焦點(diǎn)坐標(biāo)f，設(shè)p(x0,y0)，根據(jù)p(x0,y0)在橢圓上可得到x0、y0的關(guān)系式，表示出向量fp、op，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算將x0、y0的關(guān)系式代入組成二次函數(shù)進(jìn)而可確定答案【解答】解：由題意，f(1,0)，設(shè)點(diǎn)p(x0,y0)，則有x024+y023=1，解得y02=3(1x024)，因?yàn)閒p=(x0+1,y0)，op=(x0,y0)，所以opfp=x0(x0+1)+y02=x024+x0+3=14x0+22+2，此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為x0=2，因?yàn)?x02，所以當(dāng)x0=2時(shí)，opfp取得最大值224+2+3=6，故選：c5.【答案】a【解析】【分析】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)圖象的平移變換，屬于基礎(chǔ)題把對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象向右一個(gè)單位即可得到結(jié)果【解答】解：0a1，所以e2=3+52，可得e=3+52=1+52故選c7.【答案】c【解析】【分析】本題考查拋物線的方程及運(yùn)用，考查直線的斜率的最大值，注意運(yùn)用基本不等式和向量的加減運(yùn)算，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題由題意可得f(p2,0)，設(shè)p(y022p,y0)，要求kom的最大值，設(shè)y00，運(yùn)用向量的加減運(yùn)算可得om=13op+23of=(y026p+p3,y03)，再由直線的斜率公式，結(jié)合基本不等式，可得最大值【解答】解：由題意可得f(p2,0)，設(shè)p(y022p,y0)，顯然當(dāng)y00，kom0，kom0要求kom的最大值，設(shè)y00，則om=of+fm=of+13fp=of+13(opof)=13op+23of=(y026p+p3,y03)，可得kom=y03y026p+p3=2y0p+2py022y0p2py0=22，當(dāng)且僅當(dāng)y02=2p2，取得等號(hào)故選c8.【答案】d【解析】【分析】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓的方程為x2+y2=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=b2x，利用四邊形abcd的面積為2b，求出a的坐標(biāo)，代入圓的方程，即可得出結(jié)論【解答】解：以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓的方程為x2+y2=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=b2x，設(shè)a(x,b2x)，四邊形abcd的面積為2b，2xbx=2b，x=1將a(1,b2)代入x2+y2=4，可得1+b24=4，b2=12，雙曲線的方程為x24y212=1，故選：d9.【答案】c【解析】【分析】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)在求解和的最值中應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，為中檔題由a12a110，a11+a120，a120，a1+a22=a11+a120，從而可求滿足條件的n的值【解答】解：由a12a111，它們的前n項(xiàng)和sn有最大值，可得數(shù)列的d0，a11+a120，a120等價(jià)于(a1+an)0，a1+a21=2a110，a1+a22=a11+a120的n的最大值n=21，故選c10.【答案】c【解析】解：由三視圖可知幾何體是一條側(cè)棱與底面垂直，底面是正方形，四棱錐的高為2，底面正方形的對(duì)角線的長為2，四棱錐的4個(gè)側(cè)面面積分別為：1222=2；1222=2；1224+2=3；1224+2=3最大側(cè)面面積為：3故選：c判斷幾何體的圖形，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解最大側(cè)面面積即可本題考查三視圖求解幾何體的側(cè)面面積，考查數(shù)形結(jié)合以及空間想象能力計(jì)算能力11.【答案】d【解析】【分析】本題考查命題真假的判斷，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題在(1)中，a、b相交、平行或異面；在(2)中，與a、b都垂直的直線有有無數(shù)條；在(3)中，c、d相交、平行或異面；在(4)中，b/平面或b【解答】解：在(1)中，若直線a在平面上，直線b不在平面上，則a、b相交、平行或異面，故(1)是假命題；在(2)中，若a、b是異面直線，則與a、b都垂直的直線有有無數(shù)條，故(2)是假命題；在(3)中，若a、b是異面直線，c、d與直線a、b都相交，則c、d相交、平行或異面，故(3)是假命題；在(4)中，設(shè)a、b是兩條直線，若a/平面，a/b，則b/平面或b，故(4)是假命題故選：d12.【答案】b【解析】【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，同時(shí)考查恒過定點(diǎn)的直線與線段相交問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題曲線c表示線段ab：y=0，(1x1)，求得直線l恒過定點(diǎn)(2,1)，由直線的斜率公式計(jì)算即可得到所求范圍【解答】解：方程x12+y2+x+12+y2=2表示的是動(dòng)點(diǎn)p(x,y)到點(diǎn)a(1,0)，b(1,0)的距離之和為2，即有p的軌跡為線段ab:y=0(1x1)，直線l:y=kx1+2k為恒過定點(diǎn)c(2,1)的直線，kac=1021=13，kbc=1021=1，直線l:y=kx1+2k與曲線有公共點(diǎn)，等價(jià)為kbckkac，即為13k1故選b13.【答案】3【解析】【分析】本題考查代數(shù)式求值，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方差、平均數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用利用平均數(shù)和方差公式列出方程組，由此能求出xy的值【解答】解：一個(gè)樣本x，1，y，5的平均數(shù)為2，方差為5，14(x+y+1+5)=2(x2)2+(12)2+(y2)2+(52)24=5,解得xy=3故答案為314.【答案】513【解析】【分析】本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的求法、互相垂直的直線斜率之間的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題設(shè)點(diǎn)a(3,5)關(guān)于直線l：3x4y+4=0的對(duì)稱點(diǎn)為a(a,b)，求出a.可得|pa|+|pb|的最小值=|ab|【解答】解：設(shè)點(diǎn)a(3,5)關(guān)于直線l：3x4y+4=0的對(duì)稱點(diǎn)為a(a,b)，則b5a+334=13a324b+52+4=0，解得a(3,3)則|pa|+|pb|的最小值=|ab|=513，故答案為51315.【答案】a=1，b=1【解析】【分析】本題主要考查命題的真假的應(yīng)用，根據(jù)不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ)根據(jù)不等式的性質(zhì)，利用特殊值法進(jìn)行求解即可【解答】解：當(dāng)a0，bb，但1a0，即為ax2(a+1)x+10，即有(ax1)(x1)0，當(dāng)a=0時(shí)，即有1x0，解得x1；當(dāng)a0時(shí)，即有(x1)(x1a)1a可得1ax0，即有xr，且x1；當(dāng)a1時(shí)，11a，可得x1或x1a；當(dāng)0a1時(shí)，11a，可得x1a綜上可得，a=0時(shí)，解集為x|x1；a0時(shí)，解集為x|1ax1時(shí)，解集為x|x1或x1a；0a1時(shí)，解集為x|x1a;(2)對(duì)任意的a1,1，不等式f(x)0恒成立，即為ax2(a+1)x+10，即a(x2x)x+10，對(duì)任意的a1,1恒成立設(shè)g(a)=a(x2x)x+1，a1,1則g(1)0，且g(1)0，即(x2x)x+10，且(x2x)x+10，即(x+1)(x1)0，解得1x0，化簡不等式，變形為(ax1)(x1)0，對(duì)a討論，分a=0，a1，0a0，對(duì)任意的a1,1恒成立，設(shè)g(a)=a(x2x)x+1，a1,1.可得g(1)0，且g(1)0，由一元二次不等式的解法，即可得到所求x的范圍19.【答案】解：證明：連結(jié)ac，acbd=h，底面abcd是平行四邊形，h為bd中點(diǎn)，e是棱ad的中點(diǎn)在abd中，eh/ab，又ab平面pab，eh平面pad，eh/平面pab同理可證，fh/平面pab又ehfh=h，平面efh/平面pab，ef平面efh，ef/平面pab；)(i)如圖，連結(jié)pe，beba=bd=2，ad=2，pa=pd=5，be=1，pe=2又e為ad的中點(diǎn)，bead，pead，peb即為二面角padb的平面角，即peb=60，pb=3pbd中，bd2+pb2=pd2，pbbd，同理pbba，pb平面abd，pb平面pbc，平面pbc平面abcd；(ii)由(i)知，pbbd，pbba，ba=bd=2，ad=2，bdba，bd，ba，bp兩兩垂直，以b為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以bd，ba，bp為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系bdap，則有a(0,2,0)，b(0,0，0)，c(2,2,0)，d(2,0，0)，p(0,0，3)，bc=(2,2,0)，bp=(0,0，3)，設(shè)平面pbc的法向量為n=(x,y,z)，nbc=0nbp=0，2x2y=03z=0，令x=1，則y=1，z=0，故n=(1,1，0)，e，f分別是棱ad，pc的中點(diǎn)，e(22,22,0)，f(22,22,32)，ef=(0,2,32)，sin=cos=nef|n|ef|=22112=21111，即直線ef與平面pbc所成角的正弦值為21111【解析】本題主要考查空間直線與平面平行的判定定理以及線面角大小的求法，要求熟練掌握相關(guān)的判定定理，屬于中檔題要證明ef/平面pab，可以先證明平面efh/平面pab，而要證明面面平行則可用面面平行的判定定理來證；)(i)要證明平面pbc平面abcd，可用面面垂直的判定定理，即只需證pb平面abcd即可；(ii)由(i)知，bd，ba，bp兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系bdap，得到直線ef的方向向量與平面pbc法向量，其夾角的余弦值的絕對(duì)值即為所成角的正弦值20.【答案】解：由題意知，4a=8，所以a=2因?yàn)閑=12，所以c=1，則b=3所以橢圓c的方程為x24+y23=1證明：當(dāng)直線l垂直與x軸時(shí)，顯然直線ta與tb的斜率之和為0，當(dāng)直線l不垂直與x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x1)，a(x1,y1)，b(x2,y2)，y=k(x1)x24+y23=1，整理得：(3+4k2)x28k2x+4k212=0，=64k44(3+4k2)(4k212)=144(k2+1)0恒成立，x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2123+4k2，a，b兩點(diǎn)在直線y=k(x1)上，故y1=k(x11)，y2=k(x21)，ta，tb的斜率存在，由kta+ktb=y1x14+y2x24=k(x11)(x24)+k(x21)(x14)(x14)(x24)=k2x1x25(x1+x2)+8(x14)(x24)，因?yàn)?x1x25(x1+x2)+8=8k22440k2+8(3+4k2)3+4k2=0，kta+ktb=0，直線ta與tb的斜率之和為0，綜上所述，直線ta與tb的斜率之和為定值，定值為0【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題由mnf1的周長為8，得4a=8，由e=12，求出c，可求得b；即可求解橢圓方程分類討論，當(dāng)直線l不垂直與x軸時(shí)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可求得kta+ktb=0，即可證明直線ta與tb的斜率之和為定值21.【答案】解：根據(jù)題意，橢圓c：x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為，則有a=2c，以橢圓長、短軸四個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為43，則有2ab=43，又a2=b2+c2，解得a=2，b=3，c=1，故橢圓c的方程為x24+y23=1；由對(duì)稱性，可令點(diǎn)m(4,t)，其中t0將直線am的方程y=t6(x+2)代入橢圓方程x24+y23=1，得(27+t2)x2+4t2x+4t2108=0，由xaxp=4t210827+t2，xa=2得xp=2t25427+t2，則yp=18t27+t2再將直線bm的方程y=t2(x2)代入橢圓方程x24+y23=1得(3+t2)x24t2x+4t212=0，由xbxq=4t2123+t2，xb=2得xq=2t263+t2，則yq=6t3+t2故四邊形apbq的面積為s=12|ab|ypyq|=2|ypyq|=2(18t27+t2+6t3+t2)=48t(9+t2)(27+t2)(3+t2)=48t(9+t2)(9+t2)2+12t2=489+t2t+12t9+t2由于=9+t2t6，且+12在6,+)上單調(diào)遞增，故+128，從而，有s=48+126當(dāng)且僅當(dāng)=6，即t=3，也就是點(diǎn)m的坐標(biāo)為(4,3)時(shí)，四邊形apbq的面積取最大值6【解析】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系以及基本不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于難題根據(jù)題意，分析可得a=2c且2ab=43，解可得a、b的值，將其代入橢圓的方程，即可得答案；令點(diǎn)m(4,t)，其中t0，將直線am的方程y=t6(x+2)代入橢圓方程x24+y23=1，得(27+t2)x2+4t2x+4t2108=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可以用t表示xp、yp.再將直線bm的方程y=t2(x2)代入橢圓方程x24+y23=1得(3+t2)x24t2x+4t212=0，同理可以用t表示xq、yq.進(jìn)而可以用t表示四邊形apbq的面積，結(jié)合