數(shù)形結(jié)合例題選集

數(shù)形結(jié)合一、在一些命題證明中的應(yīng)用舉例：1、 證明勾股定理：解析：上圖中，四個小三角形（陰影部分）的面積加上中間小正方形的面積等于大正方形的面積，化簡后得到勾股定理。2、 證明乘法公式（平方差與完全平方）： 解析：在上圖中，利用正方形和小正方形面積的轉(zhuǎn)化，能更進一步理解平方差公式與完全平方公式的運算過程以及公式的本質(zhì)問題。3、 證明基本不等式：解析：如上圖所示，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，長度為，根據(jù)直角三角形的相似關(guān)系，可以得到直角三角形斜邊上的高的長度為，顯然在直角三角形中，斜邊上的中線的長度會大于等于高，利用這樣簡潔明了的幾何圖解，對基本不等式的理解也就更加簡單了。4、 證明正（余）弦定理：解析：（1）如上圖所示，；即；根據(jù)圓的性質(zhì)（等弧對等角）；綜上，得正弦定理：。（2）根據(jù)勾股定理；整理可得余弦定理：；同理得出cosA、cosC的余弦定理。5、 證明結(jié)論解析：如上圖所示，根據(jù)y=tanx、y=x、y=sinx在上的圖像可看出tanxxsinx，。當(dāng)然，實際考試作圖不可能如此精確，那么轉(zhuǎn)化到右圖的單位圓中，當(dāng)時，角的終邊始終在第一象限內(nèi)，根據(jù)三角函數(shù)線可知，藍線表示正弦線，紅線表示正切線，再根據(jù)弧長公式，即圖中黑色弧線的長度表示x，顯而易見。紅線長度弧線長度藍線長度，即tanxxsinx，。6、證明兩角差的余弦公式：解析：如上圖所示，根據(jù)三角比的定義及單位圓的定義可知單位圓上的點的坐標(biāo)表示。左圖中，將B點旋轉(zhuǎn)至（1，0）處（右圖所示）。此時，因為線段AB的長度沒有發(fā)生變化，即，化簡：。當(dāng)然也可以用向量的方法證明，利用向量數(shù)量積定義，證明更加簡潔。如左圖，。二、在考試中的具體應(yīng)用：1、與函數(shù)的綜合運用，主要體現(xiàn)在求零點、交點、解的個數(shù)及參數(shù)范圍等方面：例1 （14奉賢）已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）對任意x都滿足f（x+2）=-f（x），當(dāng)只有四個零點，則a的取值范圍是 答案：解析：根據(jù)已知條件，f（x）的周期為4，先畫f（x）一個周期圖像，當(dāng)1x3時，由此畫出-1，3）的圖像，此為一個周期，圖像如下，只有四個零點即f（x）與y=只有四個交點，需分類討論：（1）當(dāng)0a1時，也有兩個界值，如下圖所示：此時3個交點，代入（-3，1），解得a=3。評注：數(shù)形結(jié)合體型，一定要結(jié)合圖像分析，并且一些用于定位的特殊點要善于把握；另一方面，必須熟悉初等函數(shù)的所有性質(zhì)及函數(shù)圖像的變換。例2 （14閔行），若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），則abcd的取值范圍是答案：（32，35）解析：根據(jù)題意，如下圖所示，ab=1，abcd=cd=，4c0時，y=f（x）單調(diào)遞減且無最值；方程f（x）=kx+b（k0）一定有解；如果方程f（x）=k有解，則解的個數(shù)一定是偶數(shù)；y=f（x）是偶函數(shù)且有最小值。則其中真命題是答案：、解析：含絕對值、分類討論。先畫x1和0x0且a1，已知函數(shù)f（x）=至少有5個零點，則a的取值范圍為答案：（0，1）（1，2）解析：就是求函數(shù)上的交點個數(shù)，分兩種情況：（1）當(dāng)0a1時，在兩個函數(shù)圖像有無數(shù)個交點，如下圖所示：所以0a1時，如下圖所示，在要至少5個交點，在x=1處要大于0即2-a0，a0，不等式f（x）恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是則其中所有命題的序號是答案：、解析：根據(jù)下圖所示可知：選項是，選項反比例函數(shù)圖像至少要滿足點（）上，此時，評注：數(shù)形結(jié)合的思想，國家題意畫圖幫助理解，然后利用一些特殊點定位，圖像盡量做到精確，才能避免差錯3、與解析幾何的綜合運用：例1 （14閘北）設(shè)曲線C：，則曲線C所圍封閉圖形的面積為答案：解析：因為圖像關(guān)于x軸、y軸對稱，所以可以先畫第一象限的圖像，第一象限x0，y0，絕對值直接去掉，可得一段圓弧，然后關(guān)于x軸、y軸對稱翻折，如下圖所示，根據(jù)題目數(shù)據(jù)，可得，AB=2，可以先算第一象限的面積，由一個扇形與一個四邊形構(gòu)成，然后再乘以4，全面積為。評注：方程圖像問題，含絕對值，所以根據(jù)象限分類討論，根據(jù)相關(guān)性質(zhì)畫出方程圖像，割補法求面積。變式 由曲線所圍成的封閉圖形的面積為答案：2+例2 （14金山）已知直線：4x-3y+6=0，拋物線C：圖像上的一個動點P到直線與y軸的距離之和的最小值是答案：1解析：結(jié)合題意，畫出直線與拋物線的草圖，找到點P到直線與y軸的距離之和，如下圖所示，即PH+PA=PH+PB-1=PH+PF-1用點到直線距離公式求出來等于2，所以答案為1。評注：注意圓錐曲線的相關(guān)定義，進行巧妙的轉(zhuǎn)化，如本題中用到了“拋物線上的點到焦點的距離等于這個點到準(zhǔn)線的距離”這個性質(zhì)，然后結(jié)合圖像進行轉(zhuǎn)化。例3 （14金山）已知有相同焦點的橢圓=0（）A.；B.；C.2；D.1答案：解析：法一：如下圖所示，由題意得：法二：對于橢圓而言，焦點三角形的面積為，對于雙曲線而言焦點三角形面積，而這是同一個三角形，所以，所以。評注：熟悉圓錐曲線的定義非常重要，根據(jù)條件找到變量之間恒定的關(guān)系，做數(shù)學(xué)題時，很多時候要辯證思考，透過變化的表象，發(fā)現(xiàn)不變的內(nèi)在聯(lián)系，動靜結(jié)合，有機分析，以靜制動，以不變應(yīng)萬變。例（14金山）設(shè)雙曲線上動點到定點的距離三最小值是（）A.；B.；C.；D.1答案：解析：雙曲線方程兩邊同時除以，得到，即方程，即求點的距離，選評注：這是一類要考慮極限位置的極限體型，在高考中出現(xiàn)過類似的題目，一般找到了極限的位置，題目就很容易解的，很多同學(xué)不會因為沒有想到極限的位置，而像想把。例（14閔行）若曲線上存在兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的自公切線，下列方程的曲線有自公切線的是（）A.；B.；C.；D.答案：解析：A、B、C、D選項圖像依次如下圖所示，根據(jù)題意，選評注：利用數(shù)形結(jié)合的方法，考查了含絕對值曲線方程的畫法，一般根據(jù)圖像的對稱性，或者分區(qū)間、分象限進行分類討論函數(shù)方程在各個象限的圖像，再結(jié)合題意解題。、與向量的運用：例（14徐匯）如下圖所示，已知點兩邊分別交于答案：解析：法一：，因為法二：取特殊值，。評注：作為填空題，本題的第一做法是法二，同時也要知道具體過程，注意向量一些常用知識點及一些轉(zhuǎn)化技巧。例（14閔行）設(shè)答案：解析：根據(jù)題意，的幾何意義為一個點到的距離加上這個點到的距離等于，如下圖所示，即到點的距離加上到點的距離等于，而，所以這個點的軌跡為線段，而我們要求的取值范圍的幾何意義即轉(zhuǎn)化成線段上的點到點（）的距離的取值范圍，最短距離是下圖中的長度，用點到直線的距離公式或等面積法可求得。評注：用代數(shù)的方法計算，因為有根號，過程很復(fù)雜，結(jié)合向量的模的幾何意義，轉(zhuǎn)化成圖形問題就簡明了，易于理解，教學(xué)過程中注意引導(dǎo)數(shù)形結(jié)合的使用。例3 （14徐匯）如下圖所示，在邊長為的正六邊形中，動圓的半徑為，圓心在線段答案：解析：如上圖所示，。評注：本題結(jié)合動態(tài)圖像考查了向量的分解，要求能夠理解題意，本題也可建系分析5、與其他知識點的綜合運用：例1 （14浦東）用有序三元組。如果集合的所有有序三元組中，最小相交的有序三元組的個數(shù)為答案：解析：設(shè)，如下圖所示，因為一個元素，將的元素排入，有種方法，由題意得，還剩下的一個元素，可排在種方法，由分步原理得。評注：本題要注意分步原理與分類原理的綜合運用，抽象出解題模型，從而使問題得到解決，當(dāng)然也可以用列舉法，顯然中為含有列舉即可求解。對于新定義題型，要善于將陌生問題化為熟悉模型，注重基本原理的運用。例2 （14十三校聯(lián)考）集合，則下列選項正確的是（）A.；B.；C.；D. 答案：解析：根據(jù)題意，可將題目中的定義畫成直方圖，如下圖所示，各個元素只要在順時針方向，即滿足題目