河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟＂領(lǐng)軍考試＂2020屆高三數(shù)學(xué)第三次測評試題 理（含解析）VIP

河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟“領(lǐng)軍考試”2020屆高三數(shù)學(xué)第三次測評試題 理（含解析）第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意得，選D2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，其為開口向上，焦準(zhǔn)距為2的拋物線，寫出其準(zhǔn)線方程即可.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦準(zhǔn)距，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)拋物線的準(zhǔn)線方程的問題，在解題的過程中，注意首先需要將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式.3.己知復(fù)數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：；的共軛復(fù)數(shù)的虛部為其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由題意可得復(fù)數(shù)，據(jù)此分別計(jì)算和的虛部即可確定所給的命題是否正確.【詳解】復(fù)數(shù)，故，不正確；，正確；，不正確；的虛部為，不正確；故只有正確故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的虛部等知識，屬于基礎(chǔ)題.4.在中，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理分析求解即可.【詳解】由已知可得點(diǎn)是靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，又點(diǎn)是的中點(diǎn)。 故選【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.5.“對任意的正整數(shù)，不等式都成立”的一個(gè)充分不必要條件是（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】原不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，要使成立，只需成立，即，由此求得原不等式成立的充要條件，從而可以從選項(xiàng)中確定出原不等式成立的充分不必要條件.【詳解】原不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，要使成立，只需成立，即，由，知最小值為，所以，所以或是原不等式成立的充要條件，所以是原不等式成立的充分不必要條件，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)充分不必要條件的問題，涉及到的知識點(diǎn)有恒成立問題對應(yīng)參數(shù)的取值范圍的求解，充分不必要條件的定義與選取，在解題的過程中，正確求出充要條件對應(yīng)參數(shù)的范圍是解題的關(guān)鍵.6.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的表面積是（ ）A. 84B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】幾何體為側(cè)放的五棱柱，底面為正視圖中的五邊形，棱柱的高為4，利用相關(guān)公式求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知幾何體為五棱柱，底面為正視圖中的五邊形，高為4，所以五棱柱的表面積為，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)幾何體的表面積的求解問題，涉及到的知識點(diǎn)有根據(jù)三視圖還原幾何體，柱體的表面積問題，屬于簡單題目.7.已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)，都有，則（ ）A. 1B. C. D. 0【答案】C【解析】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)是上的單調(diào)函數(shù)，且，所以可設(shè)（為常數(shù)），即，又因?yàn)椋?，令，顯然在上單調(diào)遞增，且，所以，故選C.考點(diǎn)：1.函數(shù)的表示與求值；2.函數(shù)的單調(diào)性.8.如圖所示，點(diǎn)，是曲線上一點(diǎn)，向矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在圖中陰影內(nèi)的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)定積分求陰影部分面積，再根據(jù)幾何概型概率公式求結(jié)果.【詳解】陰影部分面積為，所以所求概率為，選A.【點(diǎn)睛】本題考查利用定積分求面積以及幾何概型概率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9.已知一個(gè)高為l的三棱錐，各側(cè)棱長都相等，底面是邊長為2的等邊三角形，內(nèi)有 一個(gè)體積為的球，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)題意，確定出滿足條件的球?yàn)樵摾忮F的內(nèi)切球，利用相關(guān)公式得到結(jié)果.【詳解】依題意，當(dāng)球與三棱錐的四個(gè)面都相切時(shí)，球的體積最大，該三棱錐側(cè)面的斜高為，所以三棱錐的表面積為，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則三棱錐的體積，所以，所以，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)幾何體的內(nèi)切球的問題,涉及到的知識點(diǎn)有椎體的內(nèi)切球的半徑的求法，對應(yīng)的等量關(guān)系式為大棱錐的體積等于若干個(gè)小棱錐的體積，從而建立其內(nèi)切球半徑所滿足的條件，從而求得結(jié)果.10.已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=A. B. 3C. D. 4【答案】B【解析】分析：首先根據(jù)雙曲線的方程求得其漸近線的斜率，并求得其右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到，根據(jù)直角三角形的條件，可以確定直線的傾斜角為或，根據(jù)相關(guān)圖形的對稱性，得知兩種情況求得的結(jié)果是相等的，從而設(shè)其傾斜角為，利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，之后分別與兩條漸近線方程聯(lián)立，求得，利用兩點(diǎn)間距離同時(shí)求得的值.詳解：根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為，且右焦點(diǎn)為，從而得到，所以直線的傾斜角為或，根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，所以，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線段長度的問題，在解題的過程中，需要先確定哪兩個(gè)點(diǎn)之間的距離，再分析點(diǎn)是怎么來的，從而得到是直線的交點(diǎn)，這樣需要先求直線的方程，利用雙曲線的方程，可以確定其漸近線方程，利用直角三角形的條件得到直線的斜率，結(jié)合過右焦點(diǎn)的條件，利用點(diǎn)斜式方程寫出直線的方程，之后聯(lián)立求得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，之后應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式求得結(jié)果.11.己知函數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，把函數(shù)的圖像沿軸向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）A. 在上是增函數(shù)B. 其圖像關(guān)于直線對稱C. 函數(shù)是奇函數(shù)D. 在區(qū)間上的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】試題分析：，函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，故函數(shù)的最小正周期為，所以；函數(shù)圖象沿軸向左平移個(gè)單位得，故為偶函數(shù)，并在區(qū)間上為減函數(shù)，所以A、C錯(cuò)誤，所以B錯(cuò)誤因?yàn)?，所以，所以D正確考點(diǎn)：1、三角函數(shù)輔助角公式；2、三角函數(shù)圖像平移；3、三角函數(shù)奇偶性單調(diào)性12.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值是（ ）A. -3B. -4C. -5D. 【答案】B【解析】【分析】由題意可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，等價(jià)于在上恒成立，即在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上的最值，求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，其對稱軸為，當(dāng)即時(shí)，在上恒成立等價(jià)于，由線性規(guī)劃知識可知，此時(shí)；當(dāng)即時(shí)，在上恒成立等價(jià)于，即；當(dāng)即時(shí)，在上恒成立等價(jià)于，此時(shí)；綜上可知，故選.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)式子的最值的問題，涉及到的知識點(diǎn)有函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)對應(yīng)的等價(jià)條件，二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值的求解，屬于較難題目.第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是_【答案】45【解析】試題分析：的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為，第五項(xiàng)的系數(shù)為，由題意有，解之得，所以的展開式的通項(xiàng)為，由得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.14.設(shè)變量滿足約束條件：，則的最小值_【答案】-8【解析】畫出可行域與目標(biāo)函數(shù)線，如圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)(2，2)處取最小值8.15.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】 【解析】【分析】先求出的零點(diǎn)，然后求出f的值，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合以及排除法進(jìn)行求解即可【詳解】當(dāng)時(shí)，由得，得，當(dāng)時(shí)，由得，得， 由得 ，即，作出函數(shù)的圖象如圖：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，時(shí)，函數(shù)取得最大值：，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即 時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，解得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，求出函數(shù)的零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵16.三角形中，且，則三角形面積的最大值為_【答案】【解析】【分析】設(shè)，由，得C點(diǎn)軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，可求三角形高為時(shí)，最大，即可得解.【詳解】設(shè)，則由得，化簡得，所以點(diǎn)軌跡為以圓心，以為半徑的圓，所以最大值為，所以三角形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角形的面積的最值問題，涉及到的知識點(diǎn)有動點(diǎn)的軌跡方程的求解，在解題的過程中，注意對題意進(jìn)行正確的分析，得出在什么情況下取得最值是正確解題的關(guān)鍵.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.在公差不為0的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，數(shù)列的前10項(xiàng)和為45（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于公差與首項(xiàng)的方程組，再將結(jié)果代入通項(xiàng)公式得結(jié)果，（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列可得，即，.由數(shù)列的前10項(xiàng)和為45，得，即，故，.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2），【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如 (其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項(xiàng)相消法求和，常見的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(如本例)，還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如或.18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，平面平面ABCD，點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)（）在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使得平面，并說明理由；（）當(dāng)二面角D-FC-B的余弦值為時(shí)，求直線PB與平面ABCD所成的角【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，得到故且，進(jìn)而得到，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.（）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面的法向量為，和平面的法向量，利用向量的夾角公式，求得，進(jìn)而得到為直線與平面所成的角，即可求解.【詳解】（）在棱上存在點(diǎn)，使得平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)理由如下：取的中點(diǎn)，連結(jié)、，由題意，且，且，故且.所以，四邊形為平行四邊形.所以，又平面，平面，所以，平面.（）由題意知為正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則由題意知，設(shè)平面的法向量為，則由得，令，則，所以取，顯然可取平面的法向量，由題意：，所以.由于平面，所以在平面內(nèi)的射影為，所以為直線與平面所成的角，易知在中，從而，所以直線與平面所成的角為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和直線與平面所成角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成，著重考查了分析問題和解答問題的能力.19.某商家對他所經(jīng)銷的一種商品的日銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最近50天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：日銷售量11.52天數(shù)102515頻率0.2若以上表中頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨(dú)立（1）求5天中該種商品恰好有兩天的銷售量為1.5噸的概率；（2）已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，表示該種商品某兩天銷售利潤的和（單位：千元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1）0.3125；（2）6.2.【解析】試題分析：第一問根據(jù)頻率公式求得，第二問在做題的過程中，利用題的條件確定銷售量為15噸的頻率為，可以判斷出銷售量為15噸的天數(shù)服從于二項(xiàng)分布，利用公式求得結(jié)果，第二小問首先確定出兩天的銷售量以及與之對應(yīng)的概率，再根據(jù)銷售量與利潤的關(guān)系，求得的分布列和，利用離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望公式求得結(jié)果試題解析：（1）由題意知：a=05，b=03依題意，隨機(jī)選取一天，銷售量為15噸的概率p=05，設(shè)5天中該種商品有X天的銷售量為15噸，則XB（5，05），兩天的銷售量可能為2,25,3,35,4所以的可能取值為4，5，6，7，8，則：，的分布列為：45678P0040203703009 考點(diǎn)：獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望20.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)且的中點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的和為l，試判斷直線，是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請給出理由【答案】（）； （） .【解析】【分析】（）設(shè)，由點(diǎn)差法可得，MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則可得，由此能求出橢圓C的方程（II）設(shè)直線AB：，聯(lián)立方程得：由此利用韋達(dá)定理、直線斜率公式，結(jié)合已知條件能求出直線l經(jīng)過定點(diǎn)【詳解】（I）設(shè)，則，兩式相減得,， 又MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，且M、N、F、Q共線因?yàn)?，所以?因?yàn)樗?，所以橢圓C的方程為.（II）設(shè)直線AB：，聯(lián)立方程得：設(shè)則 ，因?yàn)?，所以，所以所以，所以，所以所以，因?yàn)椋?，所以直線AB：，直線AB過定點(diǎn) ，又當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，設(shè)AB：，則，因?yàn)樗赃m合上式，所以直線AB過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線是否過定點(diǎn)的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、直線斜率公式、韋達(dá)定理的合理運(yùn)用21.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在是否存在零點(diǎn)？如果存在，求出零點(diǎn)；如果不存在，請說明理由【答案】（1）見解析；（2）不存在零點(diǎn).【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)性，（2）先利用導(dǎo)數(shù)求在上最大值，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，化簡證得，從而確定在不存在零點(diǎn).【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?（一）當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減.（二）時(shí)，方程有兩解或1當(dāng)時(shí)，時(shí)，在，上單調(diào)遞減.時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得或（i）當(dāng)時(shí)，時(shí)恒成立，在上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時(shí)，.時(shí)，在、上單調(diào)遞增.時(shí)，單調(diào)遞減.（iii）當(dāng)時(shí)，時(shí)，在，單調(diào)遞增.時(shí)，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，在處取得極大值也是最大值.令，則，令得，當(dāng)，當(dāng)，所以在定義域上先增后減，在處取