數(shù)學(xué)對數(shù)函數(shù)習(xí)題精選精講

對數(shù)的運算性質(zhì)1對數(shù)的運算性質(zhì)：如果 a 0 ， a 1， M 0 ，N 0， 那么（1）；（2）；（3）證明：（性質(zhì)1）設(shè)，（性質(zhì)3）設(shè)，由對數(shù)的定義可得 ，即證得 由對數(shù)的定義可得 ，即證得練習(xí)：證明性質(zhì)2說明：（1）語言表達：“積的對數(shù) = 對數(shù)的和”（簡易表達以幫助記憶）；（2）注意有時必須逆向運算：如 ；（3）注意定義域： 是不成立的， 是不成立的；（4）當(dāng)心記憶錯誤：，試舉反例， ，試舉反例。2例題分析：例1用，表示下列各式： （2）（1）； （2）解：（1）；例2求下列各式的值：（1）； （2） 解：（1）原式=；（2）原式=例3計算：（1）lg1421g； （2）； （3）解：（1）解法一：；解法二：=；說明：本例體現(xiàn)了對數(shù)運算性質(zhì)的靈活運用，運算性質(zhì)常常逆用，應(yīng)引起足夠的重視。（2）；（3）=例4已知，求的值。分析：此題應(yīng)注意已知條件中的真數(shù)2，3，與所求中的真數(shù)有內(nèi)在聯(lián)系，故應(yīng)將1.44進行恰當(dāng)變形：，然后應(yīng)用對數(shù)的運算性質(zhì)即可出現(xiàn)已知條件的形式。解： 說明：此題應(yīng)強調(diào)注意已知與所求的內(nèi)在聯(lián)系。例5已知，求分析：由于是真數(shù)，故可直接利用對數(shù)定義求解；另外，由于等式右端為兩實數(shù)和的形式，的存在使變形產(chǎn)生困難，故可考慮將移到等式左端，或者將變?yōu)閷?shù)形式。解：（法一）由對數(shù)定義可知：（法二）由已知移項可得，即，由對數(shù)定義知：， （法三）， 說明：此題有多種解法，體現(xiàn)了基本概念和運算性質(zhì)的靈活運用，可以對于對數(shù)定義及運算性質(zhì)的理解。例6（1）已知，用a表示；（2）已知，用、表示 解：（1）， log 3 4 - log 3 6 = （2）， ， 又，=換底公式1換底公式： ( a 0 , a 1 ；)證明：設(shè)，則，兩邊取以為底的對數(shù)得：，從而得： ， 說明：兩個較為常用的推論：（1） ； （2） （、且均不為1）證明：（1） ；（2） 2例題分析：例1計算：（1） ； （2） 解：（1）原式 = ； （2） 原式 = 例2已知，求（用 a, b 表示）解：， ， ，又， ， 例3設(shè) ，求證：證明：， ， 例4若，求解：， ， 又 ， ， 例5計算：解：原式 例6若 ，求解：由題意可得：， ，對數(shù)函數(shù)例1求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2）； （3）分析：此題主要利用對數(shù)函數(shù)的定義域求解。解：（1）由0得，函數(shù)的定義域是；（2）由得，函數(shù)的定義域是；（3）由9-得-3，函數(shù)的定義域是說明：此題只是對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用，應(yīng)強調(diào)學(xué)生注意書寫格式。例2求函數(shù)和函數(shù)的反函數(shù)。解：（1） ； （2） 例4比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?（1），； （2），； （3），.解：（1）對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，于是；（2）對數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，于是；（3）當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，于是， 當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，于是例5比較下列比較下列各組數(shù)中兩個值的大小：（1），； （2），； （3），； （4），解：（1）， ，； （2）， ， （3）， ， ， （4）， 例6已知，比較，的大小。解：， ，當(dāng)，時，得， 當(dāng)，時，得， 當(dāng)，時，得， 綜上所述，的大小關(guān)系為或或例7求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）（且）解：（1）令，則， ， ，即函數(shù)值域為 （2）令，則， ， 即函數(shù)值域為 （3）令， 當(dāng)時， 即值域為， 當(dāng)時， 即值域為例8判斷函數(shù)的奇偶性。解：恒成立，故的定義域為， ，所以，為奇函數(shù)。例9求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：令在上遞增，在上遞減，又， 或，故在上遞增，在上遞減， 又為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減。說明：利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性時，首先要考察函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法來求單調(diào)區(qū)間。例10若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，的取值范圍。解：令， 函數(shù)為減函數(shù)，在區(qū)間上遞減，且滿足，解得，所以，的取值范圍為對數(shù)函數(shù)1 如圖，曲線是對數(shù)函數(shù) 的圖象，已知 的取值 ，則相應(yīng)于曲線 的 值依次為( )（A） （B） （C） （D） 2.函數(shù)y=logx1(3x)的定義域是 如果對數(shù)有意義，求x的取值范圍；解：要使原函數(shù)有意義，則解之得： 原函數(shù)的定義域為-7，-6)(-6，-5) (-1，+)函數(shù)的定義域為一切實數(shù)，求k的取值范圍。利用圖像判斷方程根的個數(shù)3已知關(guān)于的的方程，討論的值來確定方程根的個數(shù)。解：因為在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，如圖可知：當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象無公共點，所以原方程根的個數(shù)為0個；當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有一個公共點，所以原方程根的個數(shù)為1個；當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有兩個公共點，所以原方程根的個數(shù)為2個。4若關(guān)于的方程的所有解都大于1，求的取值范圍解：由原方程可化為，變形整理有（*），由于方程（*）的根為正根，則解之得，從而5求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：設(shè)，由得，知定義域為又，則當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)，而在上是減函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為題目2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。正解】由得x1或x5，即函數(shù)的定義域為x| x1或x5，當(dāng)x1時，是減函數(shù)，是減函數(shù)，所以是增函數(shù)；當(dāng)x5時，是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以是減函數(shù)；所以的增區(qū)間是（-，1）；減區(qū)間是（5，）。6、設(shè)函數(shù) ，若 的值域為 ，求實數(shù) 的取值范圍分析：由值域為 和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可將問題轉(zhuǎn)化為 能取遍所有正實數(shù)的問題解： 令 ，依題意 應(yīng)取遍一切正實數(shù)即函數(shù)值域是正實數(shù)集的子集則有 或 ，解得 已知函數(shù)f(x)=lg(a21)x2+(a+1)x+1.(1)若f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍.解：(1)(a21)x2+(a+1)x+10對xR恒成立.a21=0時，a=1，經(jīng)檢驗a=1時恒成立；a210時， a1或a ，a1或a .(2)a21=0，即a=1時滿足值域為R；a210時， 1a .1a .7的定義域為R，求a的取值范圍。【正解】當(dāng)a=0時，y=0，滿足條件，即函數(shù)y=0的定義域為R；當(dāng)a0時，由題意得：；由得a的取值范圍為0，4）?！驹u注】參數(shù)問題，分類要不重不漏，對于不等式不一定是一元二次不等式。8.函數(shù)y=log(1x)(x+3)的遞減區(qū)間是( )A.(3,1) B.(,1) C.(,3)D.(1，)【解析】設(shè)t(1x)(x3)x22x3(x1)24由(1x)(x3)0得3x1當(dāng)x(3，1)時，t(1x)(x3)遞增ylog(1x)(x3)的遞減區(qū)間是(3，1)9.已知函數(shù)yloga(2ax)在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是( )A.0a1 B.a1 C.1a2D.1a2【解析】若0a1，則函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；若a1，則當(dāng)0x1時，2ax0恒成立即x，因此11a210.求函數(shù)y=loga(2-ax-a2x)的值域?！窘狻坑捎?-ax-a2x0，得-2ax1時，y=logat遞增，yloga2；當(dāng)0aloga2。故當(dāng)a1時，所求的值域為（-，loga2）；當(dāng)0a1時，所求的值域為（loga2,+）。11.求函數(shù)y=log2log2(x1,8)的最大值和最小值.【解】 令t=log2x,x1,8,則0log2xlog28即t0,3y=(log2x1)(log2x2)=(t1)(t2)=t23t+2=(t)2 t0,3當(dāng)t=,即log2x=,x=2=2時，y有最小值=.當(dāng)t=0或t=3，即log2x=0或log2x=3,也即x=1或x=8時，y有最大值=2.12.設(shè)函數(shù)y=f(x),且lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),（1）求f(x)的表達式及定義域；（2）求f(x)的值域?！窘狻浚?）若lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意義，則又lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),lgy=3x(3-x)。y=103x(3-x)(0x3)。（2）3x(3-x)=-3x2+9x=-3(x-)2+(0x3),0-3x2+9x。1y10。y=f(x)的定義域為（0，3），值域為（1，10）。13函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值比最小值大2，則實數(shù) =_或 ；14已知函數(shù) 判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性； 當(dāng) 時，求 的最大值，最小值及相應(yīng)的 值在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， 15、已知函數(shù)y=loga(1ax)(a0且a1)。(1)求函數(shù)的定義域和值域；(2)證明函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱。 (1)當(dāng)a1時，函數(shù)的定義域和值域均為(，0)；當(dāng)0a1時，函數(shù)的定義域和值域均為(0，+)。(2)由y=loga(1ax)，得1ax=ay，即ax=1ay，x=loga(1ay)，f1(x)=loga(1ax)=f(x)。f(x)與f1的圖象關(guān)于直線y=x對稱，函數(shù)y=loga(1ax)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。16、.設(shè)，求函數(shù)的最大值。、1217、已知函數(shù)。(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)求函數(shù)f(x)的值域。 (1)函數(shù)的定義域為(1，p)。(2)當(dāng)p3時，f(x)的值域為(，2log2(p+1)2)；當(dāng)1p=時，f(x)的值域為(，1+log2(p+1)。18、已知 ， 求函數(shù)的最大值和最小值 、19：已知的減函數(shù)，則的取值范圍是（）A（0，1）B（1，2） C（0，2）D答案：B。解析：本題作為選擇題，用排除法求解較簡，由于這里雖然有，故在0，1上定為減函數(shù)，依題設(shè)必有，故應(yīng)排除A和C，在B、D中要作選擇，可取，則已知函數(shù)為，但是此函數(shù)的定義域為，它當(dāng)然不可能在區(qū)間0，1上是減函數(shù)，故又排除了D，從而決定選B。20函數(shù) （ ）圖象的對稱軸方程為 ，求 的值解：解法一：由于函數(shù)圖象關(guān)于 對稱，則 ，即 ，解得 ， 或 又 ， 解法二： 函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱，則函數(shù) 的圖象關(guān)于 軸對稱，則它為偶函數(shù)，即 ，21 已知f(x)= 3(x1)2，求f(x)的值域及單調(diào)區(qū)間.分析：分清內(nèi)層與外層函數(shù).解：令u(x)=(x1)2+33，則f(x) 3=1，f(x)值域為1，+).f(x)的定義域u(x)0，即(x1)2+30，x(1 ，1+ ).u(x)在(1 ，1上遞增，在(1，1+ )上遞減.0 1，f(x)在(1 ，1上遞減，在(1，1+ )上遞增.22已知y=log0.5(x2axa)在區(qū)間(， )上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.解：函數(shù)y=log0.5(x2axa)由y=log0.5t與t=x2axa復(fù)合而成，其中y=log0.5t為減函數(shù)，又y=log0.5(x2axa)在(， )上是增函數(shù)，故t=x2axa在區(qū)間(， )上是減函數(shù).從而 a1， .23.已知函數(shù)f(x)=loga(ax2x)， 是否存在實數(shù)a，使它在區(qū)間2，4上是增函數(shù)?如果存在，說明a可取哪些值;如果不存在，說明理由.解：設(shè)g(x)=ax2x.當(dāng)a1時，為使函數(shù)y=f(x)=loga(ax2x)在x2，4上為增函數(shù)，只需g(x)=ax2x在2，4上為增函數(shù)，故應(yīng)滿足 得a .a1.當(dāng)0a1時，為使函數(shù)y=f(x)=loga(ax2x)在x2，4上為增函數(shù)，只需g(x)=ax2x在x2，4上為減函數(shù)，故 無解.a不存在.當(dāng)a1時，f(x)=loga(ax2x)在x2，4上為增函數(shù).對數(shù)函數(shù)的圖象變換及在實際中的應(yīng)用對數(shù)函數(shù)圖象是對數(shù)函數(shù)的一種表達形式，形象顯示了函數(shù)的性質(zhì)。為研究它的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑、獲得問題結(jié)果的重要途徑。一 利用對數(shù)函數(shù)圖象的變換研究復(fù)雜函數(shù)圖象的性質(zhì)（一） 圖象的平移變換例1 畫出函數(shù)與的圖像，并指出兩個圖像之間的關(guān)系？解：函數(shù)的圖象如果向右平移2個單位就得到的圖像；如果向左平移2個單位就得到的圖像，所以把的圖象向右平移4個單位得到的圖象注：圖象的平移變換：1.水平平移：函數(shù)，的圖像，可由的圖像向左（+）或向右平移個單位而得到.2.豎直平移：函數(shù)，的圖像，可由的圖像向上（+）或向下平移個單位而得到.（二）圖像的對稱變換例2畫出函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像指出它的單調(diào)區(qū)間.解：當(dāng)時，函數(shù)滿足，所以是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于軸對稱。當(dāng)時，。因此先畫出，（）的圖象為，再作出關(guān)于軸對稱，與構(gòu)成函數(shù)的圖像，如圖：由圖象可以知道函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是例3畫出函數(shù)與的圖像，并指出兩個圖像之間的關(guān)系？解：圖象如圖：把函數(shù)的圖象作關(guān)于軸對稱得到的圖像注：圖象的對稱變換：與關(guān)于軸對稱與關(guān)于軸對稱與關(guān)于原點軸對稱與關(guān)于直線軸對稱的圖像可將 ，的部分作出，再利用偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，作出的圖像.二 利用對數(shù)函數(shù)的圖象解決有關(guān)問題（一） 利用圖像求參數(shù)的值例4已知函數(shù)的圖像如圖所示，求函數(shù)與的值. 解：由圖象可知，函數(shù)的圖象過點與點，所以得方程與，解出，。（二）利用圖像比較實數(shù)的大小例5已知，試確定實數(shù)和的大小關(guān)系.解：在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，再作的直線，可得。注：不同底的對數(shù)函數(shù)圖象的規(guī)律是：底都大于1時，底大圖低（即在的部分底越大圖象就越接近軸）底都小于1時，底大圖高（即在的部分底越大圖象就越遠離軸）