19872014年考研數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考1999

郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 1 頁(yè) 1999 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 數(shù)數(shù) 學(xué)（一）學(xué)（一） 一、填空題：一、填空題：(本題共本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) 3 1 tan 11 lim 2 0 xxx x . (2) 2 2 0 sin)sin(xdttx dx d x . (3) 微分方程 2 4 x yye的通解為y 22 1212 1 () 4 xx cecx eCC 其中 ，為任意常數(shù). (4) 設(shè) n 階矩陣 A 的元素全為 1，則 A 的 n 個(gè)特征值是 1 ,0,0 n n 個(gè) ，. (5) 設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件 A，B 和 C 滿足條件：ABC=，P(A)=P(B) P(C) 2 1 ， 且已知 9 () 16 P AB ，則 P(A) 1 4 二、選擇題：二、選擇題：(本題共本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) 設(shè)( )f x是連續(xù)函數(shù)，( )F x是( )f x的原函數(shù)， 則 (A) (A) 當(dāng)( )f x是奇函數(shù)時(shí)，( )F x必是偶函數(shù) (B) 當(dāng)( )f x是偶函數(shù)時(shí)，( )F x必是奇函數(shù) (C) 當(dāng)( )f x是是周期函數(shù)時(shí)，( )F x必是周期函數(shù) (D) 當(dāng)( )f x是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，( )F x必是單調(diào)增函數(shù). (2) 設(shè)( )f x 2 1 cos 0 ( )0 x x x x g xx ，其中( )g x是有界函數(shù)，則( )f x在0 x 處 （D） (A) 極限不存在 (B) 極限存在但不連續(xù) (C) 連續(xù)但不可導(dǎo) (D)可導(dǎo) (3) 設(shè) 12/122 2/10 )( xx xx xf， 0 1 ( )cos 2 n n a S xan x ，x， 其中 1 0 ), 2 , 1 , 0(cos)(2nxdxnxfan，則) 2 5 (s等于 (C) (A) 2 1 (B) 2 1 (C) 4 3 (D) 4 3 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 2 頁(yè) (4) 設(shè) A 是m n矩陣，B 是n m矩陣，則 (B) (A) 當(dāng)mn時(shí)，必有行列式|AB|0 (B) 當(dāng)mn時(shí)，必有行列式|AB| = 0 (C) 當(dāng)nm時(shí)，必有行列式|AB|0 (D) 當(dāng)nm時(shí)，必有行列式|AB| = 0 (5) 設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y分別服從(0,1)N和(1,1)N,則 (B) (A) 1 (0) 2 P XY (B) 1 (1) 2 P XY (C) 1 (0) 2 P XY (D) 1 (1) 2 P XY 三、三、(本題滿分本題滿分 5 分分) 設(shè)( )yy x,( )zz x是方程)(yxxfz和( , , )0F x y z 所確定的函數(shù)，其中f和 F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 dx dz . 解：解：分別在()( , , )0zxf xyF x y z和的兩端對(duì)x求導(dǎo)，得 (1)2 03 xyz dzdy fxf dxdx dydz FFF dxdx 分 分 整理后得 yzx dydz xffxf dxdx dydz FFF dxdx . 由此解得 () (0) yx yz yz fxfFxf F dz Fx f F dxFxf F . 5 分 （注：注：不寫出條件0 yz Fx f F不扣分）. 四、四、(本題滿分本題滿分 5 分分) 求dyaxyedxyxbyeI x L x )cos()(sin(，其中, a b為正的常數(shù)，L為從點(diǎn) (2 ,0)Aa沿曲線 y= 2 2xax到點(diǎn)(0,0)O的弧. 解一：解一：添加從點(diǎn)(0,0)O沿0y 到點(diǎn)(2 ,0)Aa的有向直線段 1 L， 1 (sin()(cos) xx L L Ieyb xy dxeyax dy 1 (sin()(cos) xx L eyb xy dxeyax dy 1 分 由格林公式，前一部分 2 1 ()() 2 D Iba dxdya ba , 3 分 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 3 頁(yè) 其中D為 1 LL所圍成的半?yún)^(qū)域. 直接計(jì)算后一積分可得 2 2 2 0 ()2 a Ibx dxa b . 4 分 從而 2223 12 ()2(2) 222 IIIa baa ba ba . 5 分 解二：解二：(sin()(cos) xx L Ieyb xy dxeyax dy sincos() xx LL eydxeydyb xy dxaxdy . 1 分 前一部分與路徑無(wú)關(guān)，所以 (0,0) (2 ,0) sincossin|0 xxx a Le ydxeydyey . 2 分 對(duì)后一部分，取L的參數(shù)方程： cos sin xaat yat ，0t從 到，得 () Lb x y dxaxdy 2222332 0 (sinsin cossincoscos)a bta btta btatat dt 223 11 2 22 a ba ba . 4 分 從而 23 (2) 22 Ia ba . 5 分 五、五、(本題滿分本題滿分 6 分分) 設(shè)函數(shù)( )y x(0)x 二階可導(dǎo)且,1)0(, 0)(yxy，過(guò)曲線( )yy x上任意一點(diǎn) ( , )P x y作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為 1 s， 區(qū)間0, x上以( )yy x為曲邊的曲邊梯形面積記為 2 s，并設(shè) 21 2ss 恒為 1，求此曲線 ( )yy x的方程. 解：解：曲線( )yy x上在點(diǎn)( , )P x y處的切線方程為( )()Yyy x Xx. 它與x軸的交點(diǎn)為(,0) y x y .由于( )0, (0)1y xy，從而( )0y x ， 于是 2 1 1 () 22 yy Sy xx yy . 又 2 0 ( ) x Sy t dt，由條件 12 21SS知 2 0 ( )1 x y y t dt y （*） 2 分 兩邊對(duì)x求導(dǎo)并化簡(jiǎn)得 2 ( )yyy. 3 分 令p y ，則上述方程可化為 2 dp ypp dy ，從而 dpdy py . 解得 1 pC y，即 1 dy C y dx ，于是 12 C x C ye . 5 分 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 4 頁(yè) 注意到(0)1y，并由（*）式得(0)1 y .由此可得 12 1,0CC， 故所求曲線的方程是 x ye. 6 分 六、六、(本題滿分本題滿分 6 分分) 試證：當(dāng)0 x 時(shí)， 22 ) 1(ln) 1(xxx. 證證一：一：令 22 ( )(1)ln(1)xxxx，知(1)0. 由于 1 ( )2 ln2,(1)0 xxxx x . 2 1 ( )2ln1,(1)20 xx x . 3 3 2(1) ( ) x x x . 3 分 所以當(dāng)01x時(shí)，( )0 x；當(dāng)1x 時(shí)，( )0 x， 從而推知當(dāng)(0,)x時(shí)( )0 x. 4 分 由(1)0推知當(dāng)01x時(shí)，( )0 x；當(dāng)1x 時(shí)，( )0 x. 5 分 再由(1)0推知當(dāng)0 x 時(shí) 22 (1)ln(1)xxx. 6 分 證證二：二：令 1 ( )ln 1 x xx x ，有 2 22 121 ( )0 (1)(1) x x xxx x ， （當(dāng)0 x ）. 3 分 因(1)0，所以當(dāng)01x時(shí)，( )0 x，當(dāng)1x 時(shí)，( )0 x. 5 分 于是當(dāng)0 x 時(shí) 222 (1) ( )(1)ln(1)0 xxxxx.即 22 (1)ln(1)xxx. 6 分 （注：注：也可令( )(1)ln(1)xxxx來(lái)處理.） 七、七、(本題滿分本題滿分 7 分分) 為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放人井底，抓起污泥后提出 井口（見(jiàn)圖） ，已知井深 30m，抓斗自重 400N，纜繩每米 50 牛，抓 斗抓起的污泥重 2000 牛，提升速度為 3m/s，在提升的過(guò)程中，污 泥以 20 牛/秒的速率從縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井 口，問(wèn)克服重力需做多少焦耳的功？ （說(shuō)明： 1N 1m =1J；m，N，s，J 分別表示米，牛頓，秒，焦耳； 抓斗的高度位于井口上方的纜繩長(zhǎng)度忽略不計(jì)） 解：解： 作x軸如圖所示， 將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功 123 wwww.其中 1 w是 克服抓斗自重所做的功； 2 w是克服纜繩重力所做的功； 3 w為提升污泥所做的功. 由題意知 1 400 30 12000w . 1 分 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 5 頁(yè) 將抓斗由x處提升到xdx處，克服纜繩重力所做的功為 2 50(30)dwx dx， 從而 30 2 0 50(30)22500wx dx . 3 分 在時(shí)間間隔 ,t tdt內(nèi)提升污泥需所做功為 3 3(2000 20 )dwt dt， 4 分 將污泥從井底提升至井口共需時(shí)間 30 10 3 ，故 10 3 0 3(200020 )57000wt dt . 5 分 因此，共需做功12000225005700091500w（J）. 6 分 八、八、(本題滿分本題滿分 7 分分) 設(shè)S為橢球面 1 22 2 22 z yx 的上半部分，點(diǎn)( , , )P x y zS，為S在點(diǎn)P處的切 平面，),(zyx為點(diǎn)(0,0,0)O到平面的距離，求. ( , , ) S zdS x y z . 解：解：設(shè)(, ,)X Y X為上任意一點(diǎn)，則的方程為1 22 xXyY zZ， 1 分 從而知 122 2 2 ( , , )() 44 xy x y zz . 3 分 由 22 1 22 xy z ，有 2222 , 2 12 1 2222 zxzy xy xyxy . 4 分 2 2 22 22 4 1 2 1 22 xyzz dSd xy xy ， 5 分 所以 22 222 00 113 (4)(4) ( , , )442 SD zdS xyddrrdr x y z . 7 分 九、九、(本題滿分本題滿分 7 分分) 設(shè) 4 0 tann n axdx ， (1) 求 2 1 1 () nn n aa n 的值； (2) 試證：對(duì)任意的常數(shù)0，級(jí)數(shù) 1 n n a n 收斂. 證：證：(1) 因 2 4 2 0 11 ()tan(1 tan) n nn aaxx dx nn 1 分 1 2 4 00 111 tan tansec (1) nnxt xxdxt dt nnn n ， 2 分 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 6 頁(yè) 故 2 11 111 ()1 (1)1 nn nii ii Saa ii in . 所以 2 1 1 ()lim1 nnn n n aaS n . 4 分 (2) 因 1 4 2 00 tan tan 1 n n n t xt axdxdt t ， 5 分 1 0 1 1 n t dt n 6 分 所以 1 11 (1) n a nnnn ，故由1 1 知 1 1 1 n n 收斂，從而 1 n n a n 收斂. 7 分 十、十、(本題滿分本題滿分 8 分分) 設(shè)矩陣A 1 53 10 ac b ca ，其行列式1A ，又A的伴隨矩陣 * A有一個(gè)特征值 0 ，屬于 0 的一個(gè)特征向量為( 1,1,1)T ，求cba,和 0 的值. 解：解：根據(jù)題設(shè)可得 * |AAA EE, 1 分 和 * 0 A 2 分 于是 * 00 AAAA.又 * AAE ,所以 0A , 即 0 111 5311 1011 ac b ca , 4 分 由此可得 0 0 0 (1)1(1) ( 53)1(2) ( 1)1(3) ac b ca ，由(1)和(3)，解得 0 1. 5 分 將 0 1代入(2)和(1)，得3,bac . 由|1A 和ac,有 1 53331 10 aa a aa ,故2ac. 因此 0 2,3,2,1abc. 8 分 十一、十一、(本題滿分本題滿分 6 分分) 設(shè)A為m階實(shí)對(duì)稱矩陣且正定，B為m n實(shí)矩陣， T B為B的轉(zhuǎn)置矩陣， 試證： T B AB 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 7 頁(yè) 為正定矩陣的充分必要條件是B的秩( )r Bn. 證：證： 必要性.設(shè) T B AB為正定矩陣， 則對(duì)任意的實(shí)n維列向量0 x ,有()0 TT xB AB x ， 即()()0 T BxA Bx ，于是0Bx . 2 分 因此0Bx 只有零解. 從而( )r Bn. 3 分 充分性. 因() TTTTT B ABB A BB AB，故 T B AB為實(shí)對(duì)稱矩陣. 若( )r Bn，則線性方程組0Bx 只有零解. 從而對(duì)任意的實(shí)n維列向量0 x ,有0Bx . 4 分 又A為正定矩陣，所以對(duì)于0Bx ，有()()0 T BxA Bx . 于是當(dāng)0 x 時(shí)，()0 TT xB AB x ，故 T B AB為正定矩陣. 6 分 十二、十二、(本題滿分本題滿分 8 分分) 設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合分布律及關(guān)于 X 和 關(guān)于 Y 的邊緣分布中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處. Y X 1 y 2 y 3 y ii pxXP 1 x 1 8 2 x 1 8 jj pyYP 1 6 1 解：解： Y X 1 y 2 y 3 y ii pxXP 1 x 1 24 1 8 1 12 1 4 2 x 1 8 3 8 1 4 3 4 jj pyYP 1 6 1 2 1 3 1 注注：每個(gè)正確答數(shù)給 1 分. 十三、十三、(本題滿分本題滿分 6 分分) 設(shè)總體X的概率密度為( )f x 2 3 6 ( , ),0 0 x xx 其他 ， 12 , n XXX是取自總體 X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本. (1) 求的矩估計(jì)量； (2) 求的方差 ( )D 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 8 頁(yè) 解：解：(1) 2 3 0 6 ()( )() 2 x E Xxf x dxx dx . 2 分 記 1 1 n i i XX n ，令 2 X ，得的矩估計(jì)量為2X. 3 分 (2) 由于 32 22 3 0 66 ()( )() 20 x E Xx f x dxx dx , 22 222 6 () ()( ) 20220 DXE XE X , 5 分 所以2X的方差為 2 4 ( )(2)4 ()() 5 DDXD XD X nn . 6 分 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 9 頁(yè) 數(shù)數(shù) 學(xué)（二）學(xué)（二） 一、填空題：一、填空題：(本題共本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) 曲線 tey tex t t cos 2sin 在點(diǎn)（0，1）處的法線方程為 012 xy. (2) 設(shè)函數(shù)( )yy x由方程xyxyxsin)ln( 32 確定，則.1 0 x dx dy (3) 2 2 513 ln(613)4arctanC (C) 61322 xx dxxx xx 為任意常數(shù). (4) 函數(shù) 2 2 1 x y x 在區(qū)間 13 , 22 上的平均值為 3 1 12 . (5) 【 同數(shù)學(xué)一 第一、 （3）題 】 二、選擇題：二、選擇題：(本題共本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) 【 同數(shù)學(xué)一 第二、 （2）題 】 (2) 設(shè) 15 sin 0 0 sin ( ),( )(1) x x t t xdtxtdt t ，則當(dāng)0 x 時(shí)，( )x是( )x的 (C) (A) 高階無(wú)窮小 (B) 低階無(wú)窮小 (C) 同階但不等價(jià)的無(wú)窮小 (D) 等價(jià)無(wú)窮 (3) 【 同數(shù)學(xué)一 第二、 （1）題 】 (4) “對(duì)任意給定的1 , 0總存在正整數(shù) N， 當(dāng)Nn 時(shí)， 恒有2axn” 是數(shù)列 n x 收斂于a的 （C） (A) 充分條件但非必要條件. (B) 必要但非充分條件 (C) 充分必要條件 (D) 既非充分條件又非必要條件 (5) 記行列式 3475344 53542333 32221222 3212 xxxx xxxx xxxx xxxx 為)(xf， 則方程0)(xf的根的個(gè)數(shù)為 (B) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 10 頁(yè) 三、三、(本題滿分本題滿分 5 分分) 計(jì)算 2 0 1tan1 sin lim ln(1) x xx xxx . 解：解：原式 0 tansin1 lim ln(1)1tan1 sin x xx xxxxx 0 11 cos lim 2ln(1) x x xx 3 分 0 1sin1 lim 22 1 x x x x . 5 分 四、四、(本題滿分本題滿分 6 分分) 計(jì)算 2 1 arctanx dx x . 解：解：原式 2 1 11 111 arctanarctan (1) xdxdx xxxx 2 分 2 2 1 111 limlim lnln(1)ln2 41422 bb x dxbb xx 2 1 ln2lim ln 42 1 b b b 4 分 1 ln2 42 . 6 分 五、五、(本題滿分本題滿分 7 分分) 求初值問(wèn)題 22 1 ()(0) 0 x yxydxxdyx y 的解. 解：解：原方程可化為 22 yxydy dxx ， 1 分 令yxu，得 2 分 2 1 du uxuu dx ， 3 分 即 2 1 dudx x u . 4 分 解得 2 ln(1)ln()uuCx，其中0C 為任意常數(shù)， 5 分 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 11 頁(yè) 從而 2 1uuCx，即 2 2 1 yy Cx xx ，亦即 222 yxyCx. 6 分 將 1 |0 x y 代入,得1C ,故初值問(wèn)題的解為 222 yxyx,化簡(jiǎn)得 2 11 22 yx.7 分 注注:不化簡(jiǎn)不扣分. 六、六、(本題滿分本題滿分 7 分分)【 同數(shù)學(xué)一 第七題 分值不同 】 七、七、(本題滿分本題滿分 8 分分) 已知函數(shù) 3 2 (1) x y x ，求： (1) 函數(shù)的增減區(qū)間及極值； (2) 函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)； (3) 函數(shù)圖形的漸進(jìn)線. 解：解：所給函數(shù)的定義域?yàn)?,1)(1,). 2 3 (3) (1) xx y x ，令0y ，得駐點(diǎn)03xx及. 1 分 4 6 (1) x y x ，令0y ，得0 x . 2 分 列表討論如下： x (,0) 0 (0,1) (1,3) 3 (3,) y 0 0 y 0 y 拐點(diǎn) 極小值 由此可知：(1) 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為(,1)(3,)和，單調(diào)減少區(qū)間為(1,3)； 3 分 極小值為 3 27 | 4 x y . 4 分 (2) 函數(shù)圖形在區(qū)間(,0)內(nèi)是（向上）凸的，在區(qū)間(0,1)，(1, )內(nèi)是（向上）凹 的，拐點(diǎn)為點(diǎn)(0,0). 6 分 (3) 由 3 2 1 lim (1) x x x 知，1x 是函數(shù)圖形的鉛直漸近線； 7 分 又 2 2 limlim1 (1) xx yx xx ， 3 2 lim()lim2 (1) xx x yxx x . 故2yx是函數(shù)圖形的斜漸近線. 8 分 八、八、(本題滿分本題滿分 8 分分) 設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間 1,1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，( 1)0f ，1) 1 (f，0)0( f ， 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 12 頁(yè) 證明：在開(kāi)區(qū)間( 1,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得3)( f. 證：證：由麥克勞林公式得 23 11 ( )(0)(0)(0)( ) 2!3! f xffxfxfx，其中介 于0 x與之間， 1,1x . 1 分 分別令11xx 和，并結(jié)合已知條件，得 11 11 0( 1)(0)(0)( ), 10 26 ffff ， 22 11 1(1)(0)(0)(),01 26 ffff， 4 分 兩式相減，可得 12 ( )()6ff. 5 分 由( )fx的連續(xù)性，( )fx在閉區(qū)間 12 , 上有最大值和最小值， 設(shè)它們分別為Mm和， 則有 12 1 ( )() 2 mffM. 6 分 再由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，至少存在一點(diǎn) 12 ,( 1,1) ，使 12 1 ( )( )()3 2 fff. 8 分 九、九、(本題滿分本題滿分 8 分分)【 同數(shù)學(xué)一 第五題 分值不同 】 十、十、(本題滿分本題滿分 7 分分) 設(shè))(xf是區(qū)間, 0上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，dxxfkfa n n k n 1 1 )()(， 1,2,n，證明：數(shù)列 n a的極限存在. 解：解：由題設(shè)可得 1 (1)( )( )(1,2) k k f kf x dxf kk ， 2 分 因此 1 1 1 ( )( )0 n k k k f kf x dxf . 5 分 即數(shù)列 n a有下界. 又 1 1 (1)( )0 n nn n aaf nf x dx . 即數(shù)列 n a單調(diào)下降，故由 單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則知數(shù)列 n a的極限存在. 7 分 十一、十一、(本題滿分本題滿分 6 分分) 設(shè)矩陣 111 111 111 A ，矩陣X滿足XAXA2 1* ，其中 * A是A的伴隨矩陣， 求矩陣X. 解解：由原等式得 *1 (2 )AE XA，其中E是 3 階單位矩陣，用矩陣 A 左乘等式兩端， 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 13 頁(yè) 得(|2 )A EA XE，可見(jiàn)(|2 )A EA可逆，從而 1 (|2 )XA EA . 3 分 由于 111 |1114 111 A ， 111 |22111 111 A EA ， 4 分 故 1 111110 11 111011 24 111101 X . 6 分 十二、十二、(本題滿分本題滿分 8 分分) 設(shè)向量組 12 (1,1,1,3) ,( 1, 3,5,1) , TT 3 (3,2, 1,2) , T p 4 ( 2, 6,10, )Tp ， (1)p為何值時(shí),該向量組線性無(wú)關(guān)？并在此時(shí)將向量(4,1,6,10)T用 1234 , 線性 表出； (2)p為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并在此時(shí)求出它的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組. 解：解：對(duì)矩陣 1234 , 做初等行變換： 1132 411324 1326 102143 15110 6064122 3121004762pppp 11324 02143 00101 0002 1pp 3 分 (1) 當(dāng)2p 時(shí)，向量組 1234 , 線性無(wú)關(guān). 此時(shí)設(shè) 11223344 xxxx， 解得 1234 341 2,1, 22 pp xxxx pp . 6 分 (2) 當(dāng)2p 時(shí),向量組 1234 , 線性相關(guān). 此時(shí)向量組的秩等于 3. 123 , （或 134 , ）為其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組. 8 分 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 14 頁(yè) 數(shù)數(shù) 學(xué)（三）學(xué)（三） 一、填空題：一、填空題：(本題共本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) 設(shè))(xf有一個(gè)原函數(shù) x xsin ，則1 4 )( 2 dxxf x. (2) 1 1 1 ( )4 2 n n n . (3) 設(shè)A 101 020 101 ，而2n為正整數(shù)，則 1 2 nn AAO. (4) 在天平上重復(fù)稱量一重為a的物品，假設(shè)各次稱量結(jié)果相互獨(dú)立且同服從正態(tài)分布 )2 . 0,( 2 aN，若以 n X表示 n 次稱量結(jié)果的算術(shù)平均值，則為使95. 01 . 0aXP n ， n的最小值應(yīng)不小于自然數(shù) 16 . (5) 設(shè)隨機(jī)變量,1,2, ;2 i j Xi jn n獨(dú)立同分布，2 ij EX，則行列式 Y 11121 21222 12 . . . . n n nnnn XXX XXX XXX 的數(shù)學(xué)期望EY 0 . 二、選擇題：二、選擇題：(本題共本題共 5 小題，每小題小題，每小題 3 分，滿分分，滿分 15 分分) (1) 【 同數(shù)學(xué)一 第二、 （1）題 】 (2) 設(shè)),(yxf連續(xù)，且( , )( , ) D f x yxyf u v dudv，其中 D 是由1, 0 2 xxyy所 圍成的區(qū)域，則),(yxf等于 （C） (A) xy (B) xy2 (C) 8 1 xy (D) 1xy. (3) 設(shè)向量可由向量組 12 , m 線性表示，但不能由向量組(I)： 121 , m 線 性表示，記向量組(II)： 121 , m ，則 (B) (A) m 不能由(I)線性表示，也不能由(II)線性表示 (B) m 不能由(I)線性表示，但可由(II)線性表示 (C) m 可由(I)線性表示，也可由(II)線性表示 (D) m 可由(I)線性表示，但不可由(II)線性表示 (4) 設(shè),A B均為 n 階矩陣， 且A與B相似，E為n階單位矩陣， 則 (D) 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 15 頁(yè) (A) EAEB (B) A與B有相同的特征值和特征向量 (C) A與B都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣 (D) 對(duì)于任意常數(shù)t，AtE 與BtE 相似. (5) 設(shè)隨機(jī)變量 i X)2, 1( 4 1 2 1 4 1 101 i， 且滿足10 21 XXP， 則 21 XXP 等于 (A) (A) 0 (B) 4 1 (C) 2 1 (D) 1 三、三、(本題滿本題滿 6 分分) 曲線 x y 1 的切線與 x 軸和 y 軸圍成一個(gè)圖形, 記切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試求切線方程 和這個(gè)圖形的面積，當(dāng)切線沿曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，該面積的變化趨勢(shì)如何？ 解：解：由 1 y x ，得 3 2 1 2 yx ， 則切點(diǎn) 1 ( ,)P a a 處的切線方程為 3 11 () 2 yxa a a . 2 分 切線與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為 3 (3 ,0)(0,) 2 QaR a 和 . 3 分 于是，ORQ的面積 139 3 242 Saa a . 4 分 當(dāng)切點(diǎn)按x軸正方向趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，有l(wèi)im a S . 5 分 當(dāng)切點(diǎn)按y軸正方向趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，有 0 lim0 a S . 6 分 四、四、(本題滿分本題滿分 7 分分) 計(jì)算二重積分 D ydxdy ， 其中 D 是由直線2,0,xy 2y 以及曲線 2 2yyx 所為成的平面區(qū)域. 解一：解一：區(qū)域 1 DD和如圖所示， 有 11 DD DD ydxdyydxdyydxdy ， 1 02 20 4 D D ydxdydxydy . 2 分 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 16 頁(yè) 在極坐標(biāo)系下，有 1 ( , )|02sin , 2 Drr . 因此 1 2sin 4 0 22 8 sinsin 3 D ydxdydrrdrd 4 分 2 81 cos4 1 2cos2 3 422 d . 6 分 于是 4 2 D ydxdy . 7 分 解二：解二：如圖所示， 2 ( , )| 22,02Dx yxyyy . 1 分 D ydxdy 2 22 02 x x ydydx 222 22 000 2241 (1)ydyyyy dyyydy 3 分 令1sinyt ，有cosdytdt，則 4 分 2 22 2 0 2 1 (1)(1 sin )cosyydyttdt 22 222 0 22 cossin cos(1 cos2 ) 2 tdtttdtt dt . 6 分 于是 4 2 D ydxdy . 7 分 五、五、(本題滿分本題滿分 6 分分) 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品必須投入兩種要素， 1 x和 2 x分別為兩要素的投入量，Q 為產(chǎn)出量；若 生產(chǎn)函數(shù)為 21 2xxQ ，其中,為正常數(shù)，且1.假設(shè)兩種要素的價(jià)格分別為 1 p和 2 p, 試問(wèn)：當(dāng)產(chǎn)出量為 12 時(shí)，兩要素各投入多少可以使得投入總費(fèi)用最少？ 解：解：需要在產(chǎn)出量 12 212x x 的條件下，求總費(fèi)用 1 122 p xp x的最小值. 為此作拉格朗日函數(shù) 121 12212 ( , )(12 2)F x xp xp xx x . 2 分 令 1 112 1 1 212 2 12 20(1) 20(2) 1220(3) F pxx x F px x x F x x , 3 分 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 17 頁(yè) 由 （1） 和 （2） ， 得 212 12 121 , pxp a xx pxp .將 1 x代入 （3） ， 得 12 21 21 6,6 pp xx pp . 5 分 因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問(wèn)題存在最小值，故計(jì)算結(jié)果說(shuō)明 21 12 12 6,6, pp xx pp 時(shí)， 投入總費(fèi)用最小. 6 分 六、六、(本題滿分本題滿分 6 分分) 設(shè)有微分方程)(2xyy ，其中( )x 21 01 x x ，試求在,內(nèi)的連續(xù) 函數(shù))(xyy ，使之在1 ,和, 1內(nèi)都滿足所給方程，且 0)0(y. 解：解： 當(dāng)1x 時(shí)，有22yy ，其通解為 22 1 2 dxdx yeedxC 1 分 222 11 21(1) xxx eedxCCex 由(0)1y，得 1 1C ，所以 2 1 (1) x yex. 3 分 當(dāng)1x 時(shí)，有20yy ，其通解為 2 2 22 (1) dx x yC eC ex 4 分 由 222 2 11 limlim(1)1 xx xx C eee ，得 22 2 1C ee，即 2 2 1Ce . 所以 22 (1)(1) x yeex . 5 分 于是，若補(bǔ)充定義函數(shù)值 2 1 |1 x ye ，則得在(,) 上的連續(xù)函數(shù) 2 22 11 ( ) (1)1 x x ex y x eex . 6 分 顯然，( )y x滿足題中所要求的全部條件. 七、七、(本題滿分本題滿分 6 分分) 設(shè)( )f x連續(xù)，且 x xdttxtf 0 2 arctan 2 1 )2 (.已知(1)1f，求 2 1 )(dxxf 的值. 解：解：令2uxt，則2,txu dtdu ， 1 分 22 02 (2)(2) ( )2( )( ) xxxx xxx tfxt dtxu f u duxf u duuf u du . 2 分 于是 22 2 1 2( )( )arctan 2 xx xx xf u duuf u dux . 3 分 郝海龍：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全配套光盤1999 年數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1999 年 第 18 頁(yè) 上式兩端對(duì)x求導(dǎo)，得 2 4 2( )2 2 (2 )( ) 2(2 ) 2( ) 1 x x x f u duxfxf xxfxxf x x ， 即 2 4 2( )( ) 1 x x x f u duxf x x . 5 分 令1x ，得 2 1 13 2( )1 22 f u du .于是 2 1 3 ( ) 4 f x dx . 6 分 八、八、(本題滿分本題滿分 7 分分) 設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間0,1上連續(xù)，在1 , 0內(nèi)可導(dǎo)，0) 1 ()0( ff,1) 2 1 (f. 試證： (1) 存在) 1 , 2 1 (，使)(f； (2) 對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在, 0，使得1)()(ff. 證：證：(1) 令( )( )xf xx，則( )x在0,1是連續(xù). 又(1)10 ， 11 ( )0 22 ，故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在 1 ( ,1) 2 ， 使得( )( )0f，即( )f. 3 分 (2) 設(shè)( )( ) ( ) xx F xexef xx ， 4 分 則( )F x在0, 上連續(xù)，在0, )內(nèi)可導(dǎo)，且(0)0, ( )( )0FFe ， 即( )F x在0, 上滿足羅爾定理的條件，故存在(0, )，使得( )0F， 6 分 ( ) ( ) 10eff ，從而( ) ( )1ff. 7 分 九九、(本題滿分本題滿分 9 分分)【 同數(shù)學(xué)一 第十題 分值不同 】 十、十、(本題滿分本題滿分 7 分分) 設(shè)A為nm實(shí)矩陣，E 為 n 階單位矩陣. 已知矩陣 T BEA A.試證：當(dāng)0時(shí)， 矩陣B為正定矩陣. 證：證：因?yàn)?) TTTT BE A AE A AB, 2 分 所以B為n階對(duì)稱矩陣. 對(duì)于任意的實(shí)n維向量x,有 ()() () TTTTTTTT x BxxE A A xx xx A Axx xAxAx. 4 分 當(dāng)xO時(shí),有0 T x x，() ()0 T AxAx. 因此，當(dāng)0時(shí)，對(duì)任意的xO，有 () ()0 TTT x Bxx xAxAx,即B為正定矩陣. 7 分 十一、十一、(本題滿分本題滿分 9 分分) 假設(shè)二維隨機(jī)變量YX,在矩形10, 20,yxyxG上服從均勻分布