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廈門市湖濱中學(xué)2018屆高三5月適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，則A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化簡集合，求出集合的補集，解方程化簡集合，利用集合交集的定義進(jìn)行計算即可.詳解：因為或，所以又因為，所以 ，故選C.點睛：本題主要考查了解一元二次不等式，求集合的補集與交集，屬于容易題，在解題過程中要注意在求補集與交集時要考慮端點是否可以取到，這是一個易錯點，同時將不等式與集合融合，體現(xiàn)了知識點之間的交匯.2.的值為（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】分析：逆用二倍角正弦公式即可得到結(jié)果.詳解：sin75cos75=sin75cos75=故選：A點睛：本題考查了二倍角正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.3.下列函數(shù)中，與函數(shù)的定義域、單調(diào)性與奇偶性均一致的函數(shù)是A. B. C. D. 【答案】B【解析】易知原函數(shù)的定義域為，單調(diào)遞增，奇函數(shù)，所以A、C、D錯誤，B正確.故選B.4.的展開式中的系數(shù)為（ ）A. B. 84 C. D. 280【答案】C【解析】由題意，根據(jù)二項式定理展開式的通項公式，得展開式的通項為，則展開式的通項為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點睛：此題主要考查二項式定理的通項公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運算等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中低檔題，也是?？贾R點.在二項式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項公式，再根據(jù)所求問題，通過確定未知的次數(shù)，求出，將的值代入通項公式進(jìn)行計算，從而問題可得解.5.設(shè)滿足約束條件則的最大值為（ ）A. B. 3 C. 9 D. 12【答案】C【解析】【分析】畫出可行域，通過平移動直線求最大值.【詳解】可行域如圖所示：動直線平移到點時，取最大值.故選C.【點睛】一般地，二元一次不等式組條件下的二元一次函數(shù)的最值問題，可用線性規(guī)劃的方法求解.6.已知斜率為3的直線與雙曲線交于兩點，若點是的中點，則雙曲線的離心率等于（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】設(shè)，則，所以，所以，得，所以，所以。故選A。7.的值為，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】流程圖是判斷何時，逐次計算即可.【詳解】第一次執(zhí)行判斷前，；第二次執(zhí)行判斷前，；第三次執(zhí)行判斷前，以此類推，有，故，因此判斷框應(yīng)填，故選A.【點睛】對于流程圖的問題，我們可以從簡單的情形逐步計算歸納出流程圖的功能，在歸納中注意各變量的變化規(guī)律.8.日晷是中國古代利用日影測得時刻的一種計時工具，又稱“日規(guī)”.通常由銅制的指針和石制的圓盤組成，銅制的指針叫做“晷針”，垂直地穿過圓盤中心，石制的腳盤叫做“晷面”，它放在石臺上，其原理就是利用太陽的投影方向來測定并劃分時刻.利用日晷計時的方法是人類在天文計時領(lǐng)域的重大發(fā)明，這項發(fā)明被人類沿用達(dá)幾千年之久，下圖是一位游客在故宮中拍到的一個日晷照片，假設(shè)相機鏡頭正對的方向為正方向，則根據(jù)圖片判斷此日晷的側(cè)(左）視圖可能為（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】從左邊看，圓盤的投影是橢圓，而晷針的投影是左虛右實，故可判斷選項.【詳解】從左邊看，圓盤在底面的投影為橢圓，又晷針斜向下穿盤而過，故其投影為左虛右實，故選A.【點睛】本題考察三視圖，屬于基礎(chǔ)題.9.在中，則角（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】D【解析】分析：在中，利用，結(jié)合題中條件，利用和差角公式可求得，利用正弦定理與二倍角的正弦即可求得結(jié)果.詳解：在中，因為，所以，所以，即，因為，所以，所以由正弦定理得，聯(lián)立兩式可得，即，所以，所以，所以，故選D.點睛：本題主要考查三角函數(shù)的計算以及正余弦定理的應(yīng)用，最后求得之后，一定要抓住題中條件，最后確定出角的大小.10.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正三棱柱容器，其中側(cè)棱長為，底面邊長為，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時，測得水深為，如果不計容器的厚度，則球的表面積為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由題意得，設(shè)求和三棱柱的上底面的三個焦點分別為,設(shè)截面圓的半徑為，因為上底面是邊長為的正三角形，則，設(shè)求的半徑為，根據(jù)球的性質(zhì)可得，所以球的表面積為 ，故選B。11.已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，若為線段的中點，連接并延長交拋物線于點，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意知， 的焦點的坐標(biāo)為（2,0）。直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為。由。消去y整理得，設(shè)，則，故，所以，直線OS的方程為，代入拋物線方程，解得，由條件知。所以。故選：D點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍12.已知函數(shù)，則（ ）A. 有個零點 B. 在上為減函數(shù)C. 的圖象關(guān)于點對稱 D. 有個極值點【答案】B【解析】【分析】因為，故可判斷無零點，而，當(dāng)，可通過的符號確定其單調(diào)性，通過考慮與可得極值點的個數(shù).最后通過取特殊值去判斷函數(shù)的圖像是否關(guān)于對稱.【詳解】因此，故，所以，故判斷無零點判斷，A錯.又，當(dāng)時，故在為減函數(shù)，所以B正確.，因，故函數(shù)的圖像不關(guān)于對稱，所以C錯誤.考慮及的圖像（如圖所示），它們在上有且僅有一個交點，故在上有且僅有一個實數(shù)根，且在其左右兩側(cè)，導(dǎo)數(shù)的符號發(fā)生了變化，故有一個極值點，所以D錯.綜上，選B.【點睛】（1）函數(shù)的零點的個數(shù)判斷有時可以根據(jù)解析式的特點去判斷，大多數(shù)情況下需要零點存在定理和函數(shù)的單調(diào)性來考慮.（2）如果函數(shù)的解析式滿足，那么函數(shù)的圖像關(guān)于對稱.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若復(fù)數(shù)滿足是虛數(shù)單位，則的虛部為_【答案】. 【解析】分析：先求出復(fù)數(shù)z，再求復(fù)數(shù)z的虛部.詳解：由題得所以復(fù)數(shù)z的虛部為-1.故答案為：-1點睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)的虛部的概念，意在考查學(xué)生復(fù)數(shù)基礎(chǔ)知識的掌握能力.(2)復(fù)數(shù)的虛部是b,不是bi,這一點要注意.14.已知向量與的夾角是，且，則向量與的夾角是_【答案】【解析】分析：先根據(jù)題意畫出平行四邊形，再解三角形得解.詳解：如圖所示，所以向量與的夾角是120. 故填120. 點睛：本題主要考查平行四邊形法則和向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)，函數(shù)，則不等式的解集為_.【答案】【解析】函數(shù)f（x）=，當(dāng)1x1時，f（x）=1x；當(dāng)x1時，f（x）=x+3；當(dāng)x1時，f（x）=（x1）2當(dāng)x1，即x1，可得g（x）=（x1）2+3x=x23x+4，由g（x）2，解得1x2；當(dāng)x1時，x1，則g（x）=x+3+（x+1）2=x2+3x+4，由g（x）2，解得2x1；當(dāng)1x1時，1x1，可得g（x）=1x+1+x=2，由g（x）2，解得1x1，綜上可得，原不等式的解集為2，2故答案為：2，216.將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到的圖像.若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角變換和圖像變換得到，先求出該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間的一般形式，利用是其子區(qū)間可得的取值范圍【詳解】，故，令，故因為在為減函數(shù)，所以存在，使得，故，又，故，所以填【點睛】若在給定區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，那么我們可以先求出單調(diào)區(qū)間的一般形式（實際上是無數(shù)個單調(diào)區(qū)間），其中必定存在一個區(qū)間，使得給定的區(qū)間是其子集，從而求得參數(shù)的取值范圍解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的值?！敬鸢浮浚?）；（2）【解析】分析：第一問需要利用條件確定出項與和的關(guān)系，之后類比著往前寫，之后兩式相減，求得相鄰兩項的關(guān)系，確定出數(shù)列為等比數(shù)列，之后應(yīng)用等比數(shù)列的通項公式求得結(jié)果；第二問利用利用題中條件，求得，之后應(yīng)用裂項相消法求和即可得結(jié)果.詳解：（1）由題知，當(dāng)時，；當(dāng)時，即，所以數(shù)列為以2為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為；（2）由，得，所以，所以點睛：該題屬于數(shù)列的綜合題，題中考查了數(shù)列的通項公式以及求和問題，在解題的過程中，需要明確對數(shù)列的項的關(guān)系的轉(zhuǎn)化，利用等比數(shù)列的定義得結(jié)果，在求和時，一定需要熟記裂項的規(guī)則，從而求得結(jié)果.18.如圖，已知四邊形是直角梯形，且，是等邊三角形，為的中點（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】(1)見解析;(2).【解析】分析: (1)先證明平面,再證明平面.(2)利用空間向量法求二面角的余弦值詳解：（1）證明：取的中點為，連接，由題意知 ，可得四邊形為平行四邊形，所以由題可知，且，平面，面，所以平面，又平面，為正三角形，又，平面，平面，平面，又，平面（2）解：由（1）可知平面，又平面，則平面平面，為正三角形，因此取的中點為坐標(biāo)原點，以為軸，在底面內(nèi)過作的垂線為軸，為軸，建立空間坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則即可取，設(shè)二面角的大小為，則點睛：本題主要考查空間位置關(guān)系的證明和空間角的計算，意在考查學(xué)生立體幾何和空間向量的基礎(chǔ)知識的掌握能力和基本的運算能力.證明位置關(guān)系和求空間的角都有兩種方法，一是幾何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根據(jù)具體情況靈活選擇，提高解析效率.19.已知橢圓的左、右焦點分別為、，圓經(jīng)過橢圓的兩個焦點和兩個頂點，點在橢圓上，且，.（）求橢圓的方程和點的坐標(biāo)；（）過點的直線與圓相交于、兩點，過點與垂直的直線與橢圓相交于另一點，求的面積的取值范圍.【答案】()橢圓的方程為， 點P的坐標(biāo)為.().【解析】分析：（I）由題意計算可得， ， 則橢圓的方程為， 結(jié)合幾何性質(zhì)可得點P的坐標(biāo)為. （II）由題意可知直線l2的斜率存在，設(shè)l2的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得， 由弦長公式可得； 結(jié)合幾何關(guān)系和勾股定理可得， 則面積函數(shù)， 換元求解函數(shù)的值域可得ABC的面積的取值范圍是詳解：（I）設(shè)，可知圓經(jīng)過橢圓焦點和上下頂點，得，由題意知，得， 由，得， 所以橢圓的方程為， 點P的坐標(biāo)為. （II）由過點P的直線l2與橢圓相交于兩點，知直線l2的斜率存在，設(shè)l2的方程為，由題意可知，聯(lián)立橢圓方程，得， 設(shè)，則，得，所以； 由直線l1與l2垂直，可設(shè)l1的方程為，即圓心到l1的距離，又圓的半徑，所以， 由即，得， ， 設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取“”，所以ABC的面積的取值范圍是 點睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式20.2017年5月，“一帶一路”沿線的20國青年評選出了中國“新四大發(fā)明”：高鐵、支付寶、共享單車和網(wǎng)購.2017年末，“支付寶大行動”用發(fā)紅包的方法刺激支付寶的使用.某商家統(tǒng)計前5名顧客掃描紅包所得金額分別為5.5元，2.1元，3.3元，5.9元，4.7元，商家從這5名顧客中隨機抽取3人贈送臺歷.（1）求獲得臺歷的三人中至少有一人的紅包超過5元的概率；（2）統(tǒng)計一周內(nèi)每天使用支付寶付款的人數(shù)與商家每天的凈利潤元，得到7組數(shù)據(jù)，如表所示，并作出了散點圖.（i）直接根據(jù)散點圖判斷，與 哪一個適合作為每天的凈利潤的回歸方程類型.（的值取整數(shù)）（ii）根據(jù)（i）的判斷，建立關(guān)于的回歸方程，并估計使用支付寶付款的人數(shù)增加到35時，商家當(dāng)天的凈利潤.參考數(shù)據(jù)：22.86194.29268.863484.29附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.【答案】（）;（）（）見解析; （）見解析.【解析】【分析】（1）總的基本事件有10種，至少有1人的紅包超過5元的有9種，利用古典概型的計算公式可求概率.（2）利用公式計算回歸方程并預(yù)測相應(yīng)的數(shù)據(jù).【詳解】（）記事件“獲得臺歷的三人中至少有一人的紅包超過5元”為事件，5名顧客中紅包超過5元的兩人分別記為，不足5元的三人分別記為，從這5名顧客中隨機抽取3人，共有抽取情況如下：共10種. 其中至少有一人的紅包超過5元的是前9種情況，所以. （）（）根據(jù)散點圖可判斷，選擇作為每天的凈利潤的回歸方程類型比較適合. （）由最小二乘法求得系數(shù)，所以 所以關(guān)于的回歸方程為.當(dāng)時，商家當(dāng)天的凈利潤元，故使用支付寶付款的人數(shù)增加到35時，預(yù)計商家當(dāng)天的凈利潤為352元.【點睛】古典概型的概率計算，關(guān)鍵是總的基本事件的個數(shù)和隨機事件中基本事件個數(shù)的計算.可以用枚舉法或排列組合的知識來計數(shù).21.設(shè)函數(shù)，其中為實常數(shù)，其圖像與軸交于兩點，且.（I） 求的取值范圍；（II）設(shè)，證明：.【答案】(1) 見解析;(2)見解析.【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后，通過分類討論，分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點個數(shù)，得出a的范圍；（2）先計算，利用分析法證明結(jié)論.試題解析：(1) 若最多一個交點