高中必修五數(shù)學(xué)數(shù)列講義

第二章 數(shù)列第一節(jié)：數(shù)列及其通項(xiàng)公式一數(shù)列的概念1數(shù)列的定義： ；2表示法： ；3數(shù)列的分類： ；4通項(xiàng)公式： ；5遞推公式的概念： ；注意：數(shù)列與集合有本質(zhì)的區(qū)別；項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的區(qū)別；與的區(qū)別；不是每一個數(shù)列都有通項(xiàng)公式；是n的函數(shù)。二數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1根據(jù)數(shù)列的有限項(xiàng)，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)1已知數(shù)列an 的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式（1）1，4，9，16，；an = ;（2）；an = ;（3） an = ;（4）9，99，999，9999，；an = ;（5）7，77，777，7777，；an = ;（6）7，-77，777，-7777，；an = ;（7）0.5,0.55,0.555,0.5555, ；an = ;（8）1-1，1，-1，；an = ;（9）1，0，1，0，；an = ;（10）11，101，1001，10001，；an = ;（11）；an = ;（12）；an = ;（13），；an = ;2數(shù)列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，中x,y,z的值依次是（ ） A 42，41，123 B 13，39，123 C 24，23，123 D 28，27，1233數(shù)列1，1，2，3，5，8，；的第7項(xiàng)是 。4數(shù)列中，則的前5項(xiàng)是 。5.已知函數(shù)，設(shè)(1)求證：；（2）an 是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？2已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1） 已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；（2） 已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式。注意：1.用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)的公式是： ；2.什么時(shí)候運(yùn)用an=Sn-Sn-1求出的公式具有通用性： 。練習(xí)：(3) 已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為,則通項(xiàng)an = ;（4）已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為,則通項(xiàng)an = ;（5）已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為,則通項(xiàng)an = ;（6）已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為,則通項(xiàng)an = ;注意：（1）公式表示的是數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系。 （2）要注意不要忽視n=1的情形，這是大家易出錯的地方。3用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）數(shù)列中，），則它的前5 項(xiàng)是 。（2）數(shù)列中，則 。（3）數(shù)列中，滿足，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；（4）數(shù)列中，滿足，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；（5）數(shù)列中，滿足，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；（6）數(shù)列中，滿足，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；第二節(jié)：等差數(shù)列一.1.定義：如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列；這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。2.通項(xiàng)公式：或3.等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列，A叫a,b的等差中項(xiàng)（注：任意兩個數(shù)都有等差中項(xiàng)）4.證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：一般用（常數(shù)），而不用其它等價(jià)形式，若確實(shí)無法證明，有時(shí)也可采用證明來完成。5.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1），單增；，單減；，是常數(shù)列。（2）等差數(shù)列中任意連續(xù)的三項(xiàng)也成等差數(shù)列，反之亦然。（3）一個數(shù)列是等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式可寫成（，反之亦然。一個數(shù)列是等差數(shù)列，則其前n項(xiàng)和可寫成（，反之亦然。（4）數(shù)列是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則（5）數(shù)列是等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)m,p,n成等差數(shù)列，那么也成等差數(shù)列。（6）數(shù)列是等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列。二.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：或練習(xí)與應(yīng)用：通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算1 在等差數(shù)列an中，a5=10,a12=31,求首項(xiàng)a1與公差d.2.在等差數(shù)列an中，a2=-5,a6=a4+6,那么a1= .3.在等差數(shù)列an中，a15=8,a20=20,則a25= .4. 在等差數(shù)列an中，a2+a5+a8=9,a3a5a7= -21,求通項(xiàng)an.5.在等差數(shù)列an中，a15=8,a60=20,則a75= .仍成等差數(shù)列6. 在等差數(shù)列an中，S10=310，S20=1220，求Sn與通項(xiàng)an. 若m+n=p+q，則6在等差數(shù)列an中， a3+a4+a5+a6+a7=450,則a2+a8= .7.a3,a15是方程x2-6x-1=0的兩個根，求a7+a8+a9+a10+a11= .8在等差數(shù)列中，則該數(shù)列的前5項(xiàng)和為（ ） （A） 10 （B） 16 （C） 20 （D） 329.在等差數(shù)列中，表示前項(xiàng)和，且，則的值為 （ ）（A） 18 （B） 60 （C） 54 （D） 2710.等差數(shù)列an，則項(xiàng)數(shù)n為（ ）11在等差數(shù)列an中， 前4項(xiàng)的和為21，后4項(xiàng)的和為67，前n項(xiàng)的和為286，則項(xiàng)數(shù)n= . 12.在等差數(shù)列中，表示前項(xiàng)和，且，當(dāng)取得最大值時(shí)的值為（ ） （A） 6 （B） 7 （C） 12 （D） 不能確定13. 若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是 （ ） （A） 48 （B） 47 （C） 46 （D） 4514（04年重慶卷.文理9）若數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是：（ ）A 4005 B 4006 C 4007 D 400815.等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和為Sn，Tn，且,求.16.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則的值為（ ） A： B：2 C：1 D：-117在等差數(shù)列an中，am=n,an=m,且mn, 則 am+n= .18.已知等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，對于不相等的正整數(shù)m,n，有，則的值為 . 其奇數(shù)項(xiàng)和、偶數(shù)項(xiàng)和1、若等差數(shù)列共有偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)（奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)各項(xiàng)）：即 則 ， （中間一對）2、若等差數(shù)列共有奇數(shù)項(xiàng)項(xiàng)（奇數(shù)項(xiàng)比偶數(shù)項(xiàng)多項(xiàng)）：即 則 （為中間項(xiàng)）， （項(xiàng)數(shù)之比）19. .等差數(shù)列an共有2n-1項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為132，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為120，則n= .20. 如果等差數(shù)列an共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為 。21如果等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，an的奇數(shù)項(xiàng)的和是175，偶數(shù)項(xiàng)的和是150，求這個等差數(shù)列的公差d。 的最值問題22. 等差數(shù)列an中，an=2n-10,則的最小值時(shí)n= .23. 等差數(shù)列an中，an=2n-11,則的最小值時(shí)n= .24在等差數(shù)列an中, 則前n項(xiàng)和的最小值為（ ） A：-80 B：-76 C：-75 D：-74 25.已知等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）（A） d 0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=( ) A:5 B:10 C:15 D:207。等比數(shù)列an, （ ） A：-4 B：4 C：-2 D：28。等比數(shù)列an，公比q為整數(shù)，則 。9.等比數(shù)列an中，則（ ） A：90 B：120 C：15 D：8010。等比數(shù)列an中，則（ ） A： B： C： D：11。 an是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，則=（ ） A：12 B：10 C：8 D：12 已知數(shù)列an是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)，求證數(shù)列bn是等差數(shù)列。13。已知等比數(shù)列的，且，求的通項(xiàng)公式.14。各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 ；15為等比數(shù)列， （1），求（2）前項(xiàng)的和為前項(xiàng)之和，求二。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。1等比數(shù)列an中，求q和n。2等比數(shù)列an中，求和q。3等比數(shù)列an中，則= 。4等比數(shù)列an中，求q。5求數(shù)列的前n項(xiàng)和。6求的前n項(xiàng)和7求，求前2k項(xiàng)的和。8求的前n項(xiàng)和。9等比數(shù)列an,前n項(xiàng)和為48,前2n項(xiàng)和為60,前3n項(xiàng)的和為( ) A:183 B:108 C:75 D:6310an成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的公比為（ ） A： B：2 C： D：11 an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，若，則（ ） A： B： C： D：或12成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是（ ）A： B：（0，4） C： D：13一個項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，又它的首項(xiàng)為1，且中間兩項(xiàng)的和為24，則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 （ ） A12 B10 C8 D6第四節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用一、數(shù)列求和（一）公式法1 求1，4，7，10，（3n-2）,的前n項(xiàng)和。2 求數(shù)列，求前2k項(xiàng)的和.3 求（二）分項(xiàng)求和1求和（1+2）+（3+4）+（2n-1+2n）2 (x-2)+(x2-2)+（xn-2）3. 4.求和5.6.（三）裂項(xiàng)求和1.求和2.3.數(shù)列an成等比數(shù)列,各項(xiàng)都為正數(shù)，且q1,求證4.5.67.8.9求（四）錯位相減、其它12.3. 4求和51+23+37+n(2n-1) 6.已知數(shù)列an+1是等比數(shù)列，求放縮及其他12數(shù)列，的前10項(xiàng)和為（ ）。 （A） （B）11 （C）11 （D）113.求和4. 求5. 求值設(shè)，求:6.求證： 7.8 二、用已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式（前文已有）三、用遞推公式求通項(xiàng)1已知數(shù)列an ，滿足，a1=2,an+1=an+2,求an 的通項(xiàng)公式。2。已知數(shù)列an ，滿足，a1=2,an+1=an+2n,求an 的通項(xiàng)公式。3。已知數(shù)列an ，滿足，a1=2,an+1=an+2n,求an 的通項(xiàng)公式。4 已知數(shù)列an ，滿足，a1=2, an+1=an+，求an 的通項(xiàng)公式。點(diǎn)擊：凡是具有an+1=an+形式都可運(yùn)用此法，其中表示可求和的數(shù)列。5已知數(shù)列an ，滿足，a1=2,an=3an-1,（n2）求an 的通項(xiàng)公式。6 已知數(shù)列an ，滿足，a1=1,求an 的通項(xiàng)公式。7已知數(shù)列an 滿足，求an 的通項(xiàng)公式。規(guī)律： 。8已知數(shù)列an ，滿足，a1=2,an+1=2an+1,求an 的通項(xiàng)公式。9已知數(shù)列an ，滿足，a1=1,an+1=3an+1,求an 的通項(xiàng)公式。點(diǎn)擊：型通項(xiàng)公式可用此法。10*，求an 的通項(xiàng)公式。11*. 已知數(shù)列an ，求an 的通項(xiàng)公式。12*.已知數(shù)列an ，求an 的通項(xiàng)公式。13*.，求an 的通項(xiàng)公式。點(diǎn)擊：型通項(xiàng)公式可用此法。遞推公式的變形1已知數(shù)列an ，滿足，a1=,，求an 的通項(xiàng)公式。2已知數(shù)列an ，滿足，a1=1,求an 的通項(xiàng)公式。3項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。四與的相互轉(zhuǎn)化1已知數(shù)列an滿足，（1）問數(shù)列是否為等差數(shù)列。（2）求Sn和an.2已知數(shù)列an滿足，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3已知數(shù)列an，滿足，求通項(xiàng)an.4已知數(shù)列an滿足，當(dāng)時(shí)，,求Sn和an.5正數(shù)數(shù)列an，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。6（05，山東）已知數(shù)列an，前n項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。（2）求幾個必須熟練掌握的綜合題目1. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為且； 求數(shù)列的通項(xiàng)公式. （2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前和.2.（05濟(jì)南2模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是n的二次函數(shù)，且an.求Sn和an.3. 已知數(shù)列an滿足，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4.數(shù)列數(shù)列an，滿足 ，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。5. 設(shè)函數(shù)，數(shù)列中，時(shí)，前n項(xiàng)和滿足（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求bn的前n項(xiàng)和。6.已知點(diǎn)列在直線上，且軸的交點(diǎn)，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；（2）若求7.在等比數(shù)列中，公比q0，設(shè)，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。8.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是前n項(xiàng)和，且，（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。（2）令，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和。9.（07天津文）在數(shù)列中，（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）證明不等式，對任意皆成立10數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和11設(shè)數(shù)列滿足，（）求數(shù)列的通項(xiàng)；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)