2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（北京卷含解析）

絕密啟封并使用完畢前2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）【試卷點(diǎn)評(píng)】2020年北京高考數(shù)學(xué)試卷，試卷內(nèi)容上體現(xiàn)新課程理念，貼近中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，堅(jiān)持對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以及數(shù)學(xué)思想方法的考查。我先說一說2020年總體試卷的難度，2020年文科也好、理科也好，整個(gè)試卷難度較2020、2020年比較平穩(wěn)，北京高考應(yīng)該是從2020年以前和2020年以后，2020、2020年卷子難度都比較低，今年延續(xù)了前兩年，整體難度比較低。今天我說卷子簡(jiǎn)單在于第8題和第14題，難度下降了，相比2020、2020、2020，整體都下降了。 1.體現(xiàn)新課標(biāo)理念，實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過渡。試卷緊扣北京考試大綱，新增內(nèi)容的考查主要是對(duì)基本概念、基本公式、基本運(yùn)算的考查，難度不大。對(duì)傳統(tǒng)內(nèi)容的考查在保持平穩(wěn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了適度創(chuàng)新，符合北京一貫的風(fēng)格。 2.關(guān)注通性通法，試卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，體現(xiàn)了以知識(shí)為載體，以方法為依托，題目沒有偏怪題，以能力考查為目的的命題要求。 3.體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用，聯(lián)系實(shí)際，例如理科第17 題考查了樣本型的概率問題，第三問要求不必證明、直接給出結(jié)論（已經(jīng)連續(xù)6年），需注重理解概念的本質(zhì)原理， 第8 題本著創(chuàng)新題的風(fēng)格，結(jié)合生活中的實(shí)際模型進(jìn)行考查，像14 年的成績(jī)?cè)u(píng)定、15 年的汽車燃油問題，都是由生活中的實(shí)際模型轉(zhuǎn)化來的，對(duì)推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)起到良好的導(dǎo)向?！驹嚲斫馕觥勘驹嚲砉?頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知，集合，則（A） （B）（C） （D）【答案】C（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】試題分析：，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以 ，解得：，故選B.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，bR)復(fù)數(shù)zabi(a，bR) 平面向量.（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（A）2 （B）（C） （D）【答案】C（4）若滿足則的最大值為（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D（5）已知函數(shù)，則（A）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（B）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（C）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)（D）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)【答案】B【解析】試題分析：，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)， （6）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（A）60 （B）30（C）20 （D）10【答案】D【解析】試題分析：該幾何體是三棱錐，如圖：圖中紅色線圍成的幾何體為所求幾何體，該幾何體的體積是，故選D.【考點(diǎn)】1.三視圖；2.幾何體的體積.【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間想象能力，由三視圖還原幾何體的方法:如果我們死記硬背，不會(huì)具體問題具體分析，就會(huì)選錯(cuò)，實(shí)際上，這個(gè)題的俯視圖不是幾何體的底面，因?yàn)轫旤c(diǎn)在底面的射影落在了底面的外面，否則中間的那條線就不會(huì)是虛線.（7）設(shè)m, n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得m=n”是“mnbc，則a+bc”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為_【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）（14）某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（）男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；（）女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；（）教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為_該小組人數(shù)的最小值為_【答案】6,12【解析】設(shè)男生數(shù)，女生數(shù)，教師數(shù)為 ，則 第一小問：第二小問：【考點(diǎn)】1.不等式的性質(zhì)；2.推理.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的邏輯分析、簡(jiǎn)單的合情推理, 題目設(shè)計(jì)巧妙，解題時(shí)要抓住關(guān)鍵,逐步推斷,本題主要考查考生分析問題，解決問題的能力，同時(shí)注意不等式關(guān)系以及正整數(shù)這個(gè)條件.三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題13分）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（）求的通項(xiàng)公式；（）求和：【答案】（） ；（）.（16）（本小題13分）已知函數(shù).（I）f(x)的最小正周期；（II）求證：當(dāng)時(shí)，【答案】（） ；（）詳見解析.【解析】試題分析：（）首先根據(jù)兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)為 ，根據(jù)公式求周期；（）當(dāng)時(shí)，先求的范圍再求函數(shù)的最小值.（17（本小題13分）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：20,30），30,40），80,90，并整理得到如下頻率分布直方圖：（）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；（）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50）內(nèi)的人數(shù)；（）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例【答案】（）0.4；（）5人；（）.【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】1.用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計(jì)總體則是用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準(zhǔn)確，直方圖比較直觀.2.頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所以，所有小長(zhǎng)方形的面積的和等于1.（18）（本小題14分）如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)（）求證：PABD；（）求證：平面BDE平面PAC；（）當(dāng)PA平面BDE時(shí)，求三棱錐EBCD的體積【答案】詳見解析【考點(diǎn)】1.線面垂直的判斷和性質(zhì)；2,。面面垂直的判斷和性質(zhì)；3.幾何體的體積.【名師點(diǎn)睛】線線，線面的位置關(guān)系以及證明是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，而其中證明線面垂直又是重點(diǎn)和熱點(diǎn)，要證明線面垂直，根據(jù)判斷定理轉(zhuǎn)化為證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而其中證明線線垂直又得轉(zhuǎn)化為證明線面垂直線線垂直，或是根據(jù)面面垂直，平面內(nèi)的線垂直于交線，則垂直于另一個(gè)平面,這兩種途徑都可以證明線面垂直.（19）（本小題14分）已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為（）求橢圓C的方程；（）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：BDE與BDN的面積之比為4:5【答案】（） ；（）詳見解析.聯(lián)立解得點(diǎn)的縱坐標(biāo).由點(diǎn)在橢圓上，得.所以.又，所以與的面積之比為.【考點(diǎn)】1.橢圓方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，重點(diǎn)考察了計(jì)算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力，解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，一般都是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解題，但本題需求