高考數(shù)學(xué)壓軸題專題訓(xùn)練（共20題）

1已知點(diǎn)，一動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓內(nèi)切（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn)，求點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值；（3）在的條件下，設(shè)的面積為（是坐標(biāo)原點(diǎn)，是曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)），以為邊長(zhǎng)的正方形的面積為若正數(shù)滿足，問是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出此最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由2在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，點(diǎn)位于一次函數(shù)的圖像上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)二次函數(shù)的圖像以為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)，若過且斜率為的直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值（3）設(shè)，為正整數(shù)，為正整數(shù)，等差數(shù)列中的任一項(xiàng)，且是中的最大數(shù)，求的通項(xiàng)公式3已知點(diǎn)A（1，0)，B（1,0)，C（ ,0)，D（,0)，動(dòng)點(diǎn)P（x, y)滿足0，動(dòng)點(diǎn)Q（x, y)滿足|+| 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C0和動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程C1；是否存在與曲線C0外切且與曲線C1內(nèi)接的平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出一個(gè)這樣的平行四邊形，若不存在，請(qǐng)說明理由；固定曲線C0，在的基礎(chǔ)上提出一個(gè)一般性問題，使成為的特例，探究能得出相應(yīng)結(jié)論（或加強(qiáng)結(jié)論）需滿足的條件，并說明理由。4已知函數(shù)f (x)m x2(m3）x1的圖像與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；令tm2，求；(其中t表示不超過t的最大整數(shù)，例如：11， 252， 253)對(duì)中的t，求函數(shù)g(t)的值域。5已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱 （1）求雙曲線C的方程；（2）若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F1引F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程（3）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線L經(jīng)過M（2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍6已知是定義在上的恒不為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的、都滿足：（1）求的值，并證明對(duì)任意的，都有；（2）設(shè)當(dāng)時(shí)，都有，證明在上是減函數(shù)；（3）在（2）的條件下，求集合中的最大元素和最小元素。7直線與x軸、y 軸所圍成區(qū)域內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所圍成區(qū)域內(nèi)部（包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為（整點(diǎn)就是橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）（1）求和的值； （2）求及的表達(dá)式； （3）對(duì)個(gè)整點(diǎn)中的每一個(gè)點(diǎn)用紅、黃、藍(lán)、白四色之一著色，其方法總 數(shù)為An，對(duì)個(gè)整點(diǎn)中的每一個(gè)點(diǎn)用紅、黃兩色之一著色，其方法總數(shù)為Bn，試比較An與Bn的大小8已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)（1，0）的距離比到定直線的距離小1。（1）求證：點(diǎn)軌跡為拋物線，并求出其軌跡方程；（2）大家知道，過圓上任意一點(diǎn)，任意作相互垂直的弦，則弦必過圓心（定點(diǎn)），受此啟發(fā)，研究下面的問題：過（1）中的拋物線的頂點(diǎn)任作相互垂直的弦，則弦是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)（設(shè)為），請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，否則說明理由；研究：對(duì)于拋物線上頂點(diǎn)以外的定點(diǎn)是否也有這樣的性質(zhì)？請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)一般的結(jié)論，并證明。9若函數(shù)的定義域?yàn)?，其中a、b為任意正實(shí)數(shù)，且a0，k，n是正整數(shù)），S（k，n）表示k方數(shù)列的前n項(xiàng)的和。 （1）比較S（1，2）S（3，2）與S（2，2）2的大??； （2）若的1方數(shù)列、2方數(shù)列都是等差數(shù)列，a1=a，求的k方數(shù)列通項(xiàng)公式。 （3）對(duì)于常數(shù)數(shù)列an=1，具有關(guān)于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，請(qǐng)你對(duì)數(shù)列的k方數(shù)列進(jìn)行研究，寫出一個(gè)不是常數(shù)數(shù)列的k方數(shù)列關(guān)于S（k，n）的恒等式，并給出證明過程。11記函數(shù)，,它們定義域的交集為,若對(duì)任意的,，則稱是集合的元素（1）判斷函數(shù)是否是的元素；（2）設(shè)函數(shù)，求的反函數(shù)，并判斷是否是的元素；（3）若，寫出的條件，并寫出兩個(gè)不同于（1）、（2）中的函數(shù)（將根據(jù)寫出的函數(shù)類型酌情給分）12已知拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（1）求拋物線的方程（2）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，是弦的中點(diǎn)，過作平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，得到；再分別過弦、的中點(diǎn)作平行于軸的直線依次交拋物線于點(diǎn)，得到和；按此方法繼續(xù)下去解決下列問題：1)求證：；2)計(jì)算的面積；3)根據(jù)的面積的計(jì)算結(jié)果，寫出的面積；請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種求拋物線與線段所圍成封閉圖形面積的方法，并求出此封閉圖形的面積F1xOyF213設(shè)橢圓（）的兩個(gè)焦點(diǎn)是和（），且橢圓與圓有公共點(diǎn)（1）求的取值范圍；（2）若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為，求橢圓的方程；（3）對(duì)（2）中的橢圓，直線（）與交于不同的兩點(diǎn)、，若線段的垂直平分線恒過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍14我們用和分別表示實(shí)數(shù)中的最小者和最大者（1）設(shè)，函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)?，求；?）數(shù)學(xué)課上老師提出了下面的問題：設(shè)，為實(shí)數(shù)，求函數(shù)（）的最小值或最大值為了方便探究，遵循從特殊到一般的原則，老師讓學(xué)生先解決兩個(gè)特例：求函數(shù)和的最值 學(xué)生甲得出的結(jié)論是：，且無最大值 學(xué)生乙得出的結(jié)論是：，且無最小值請(qǐng)選擇兩個(gè)學(xué)生得出的結(jié)論中的一個(gè)，說明其成立的理由；（3）試對(duì)老師提出的問題進(jìn)行研究，寫出你所得到的結(jié)論并加以證明（如果結(jié)論是分類的，請(qǐng)選擇一種情況加以證明）15設(shè)向量， (n為正整數(shù))，函數(shù)在0，1上的最小值與最大值的和為，又?jǐn)?shù)列滿足： (1) 求證：(2) (2)求的表達(dá)式(3) 若，試問數(shù)列中，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)于任意的正整數(shù)，都有成立？證明你的結(jié)論（注：與表示意義相同）16、設(shè)斜率為的直線交橢圓：于兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)、都存在）（1）求的值 （2）把上述橢圓一般化為（），其它條件不變，試猜想與關(guān)系(不需要證明)請(qǐng)你給出在雙曲線（，）中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論（3）分析（2）中的探究結(jié)果，并作出進(jìn)一步概括，使上述結(jié)果都是你所概括命題的特例如果概括后的命題中的直線過原點(diǎn)，為概括后命題中曲線上一動(dòng)點(diǎn)，借助直線及動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你提出一個(gè)有意義的數(shù)學(xué)問題，并予以解決17已知向量,向量與向量夾角為，且（1）求向量； （2）若向量與向量的夾角為，其中，為的內(nèi)角，且，依次成等差數(shù)列，試求求|的取值范圍ABMFOyx18如圖，過橢圓的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”(1)求橢圓的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo)； (2)試根據(jù)(1)提出一個(gè)問題并給出解答。19如圖，已知圓C：，設(shè)M為圓C與x軸左半軸的交點(diǎn)，過M作圓C的弦MN，并使它的中點(diǎn)P恰好落在y軸上。（1）當(dāng)r=2時(shí)， 求滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求N的軌跡G方程； （3）過點(diǎn)P（0，2）的直線l與（2）中軌跡G相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N，若，求直線的斜率的取值范圍。 20函數(shù)f(x)是定義在0，1上的增函數(shù)，滿足且，在每個(gè)區(qū)間（1，2）上，y=f(x)的圖象都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一部分。（1）求f(0)及，的值，并歸納出的表達(dá)式（不必證明）；（2）設(shè)直線，軸及的圖象圍成的梯形的面積為（1，2），記，求的表達(dá)式，并寫出其定義域和最小值。1本題滿分16分，第（1）題4分，第（2）題6分，第（3）題6分解（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，已知圓圓心為，由題意知，于是，所以點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，其方程為（2）設(shè)，則，令，所以，當(dāng)，即時(shí)在上是減函數(shù)，；當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則；當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，所以， （3）當(dāng)時(shí),于是,（12分）若正數(shù)滿足條件，則，即，令，設(shè)，則，于是，所以，當(dāng)，即時(shí)，即，所以，存在最小值2解（1）由已知，所以（2）設(shè)二次函數(shù)，因?yàn)榈膱D像過點(diǎn)，所以，解得的方程為，代入得，即 由已知，方程僅有一解，所以，（）所以（3）由題意為正整數(shù),為正整數(shù)所以中的元素組成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，的公差為（）若，則，；若，則，；若，則，即綜上所述，的通項(xiàng)公式為（為正整數(shù)）3、C0：x2y21， C1：1，連橢圓四端點(diǎn)可得，問題：已知C0：x2y21和C1：1（ab0），試問，當(dāng)a、 b滿足什么條件時(shí)，對(duì)C1上任意一點(diǎn)Q均存在以Q為頂點(diǎn)，與C0外切，與C1內(nèi)接的平行四邊形。解得a2b2a 2b2；4、m1，t1時(shí)1，t1時(shí)0，,)5解：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，即kxy=0該直線與圓 相切，雙曲線C的兩條漸近線方程為 2分故設(shè)雙曲線C的方程為，又雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為，雙曲線C的方程為 4分（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長(zhǎng)QF2到T，使|QT|=|OF1|若Q在雙曲線的左支上，則在QF2上取一點(diǎn)T，使|QT|=|QF1|根據(jù)雙曲線的定義|TF2|=2，所以點(diǎn)T在以F2為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)T的軌跡方程是 8分由于點(diǎn)N是線段F1T的中點(diǎn)，設(shè)N（x，y），T（）則代入并整理得點(diǎn)N的軌跡方程為 10分（3）由令直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程 上有兩個(gè)不等實(shí)根因此 又AB中點(diǎn)為直線L的方程為 14分令x=0，得 故b的取值范圍是 16分6解：（1） 4分 （2）當(dāng)時(shí)，都有6分 當(dāng)，即時(shí)，有，8分 即 在上是減函數(shù)。10分（3）在上是減函數(shù)，是遞增數(shù)列數(shù)列是遞減數(shù)列。14分集合中的最大元素為，最小元素為 。18分7（1）時(shí)，直線上有個(gè)點(diǎn)，直線上有 ，直線上有，直線上有 2分 2分（2）時(shí)， 時(shí)，當(dāng)時(shí)， 3分 2分當(dāng) 時(shí)也滿足， 1分（3） ， 1分； 1分 2分當(dāng)時(shí)， 1分當(dāng)且時(shí)， 1分8、（18分）（1）到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離 軌跡為拋物線； 2分軌跡方程為。 2分 （2）設(shè)， 由 得， 2分同理 2分 因此方程為 即 2分 令 得 2分 設(shè)點(diǎn)為上一定點(diǎn)，則 1分 過作互相垂直的弦 設(shè)，則， 化簡(jiǎn)得即（*） 2分 假設(shè)過定點(diǎn)，則有 即化簡(jiǎn)得（*） 2分比較（*）、（*）得， 過定點(diǎn) 1分9（1）當(dāng) 2分當(dāng)是減函數(shù)，當(dāng)是增函數(shù) 4分（2）是減函數(shù)；在上是增函數(shù)。 6分當(dāng)有最小值為 8分當(dāng)有最大值為 10分（3）當(dāng)A=Ik時(shí)最小值為當(dāng)A= Ik+1時(shí)最小值為 12分 14分設(shè) 則 16分10解：（1）S（1，2）= 2分S（1，2）S（3，2）S（2，2）2= 4分= 5分（2）設(shè) 7分則 得 2d2=0，d=p=0 9分 11分（3）當(dāng)an=n時(shí)，恒等式為S（1，n）2=S（3，n） 15分證明：相減得： 相減得： 18分11解：（1）對(duì)任意，-2分 不恒等于，-4分 （2）設(shè)時(shí)，由 解得：由 解得其反函數(shù)為 ，-6分時(shí)，由 解得：解得函數(shù)的反函數(shù)為，-8分-11分（3），的條件是：存在反函數(shù)，且-13分函數(shù)可以是：； ； ；或，；或，以“；”劃分為不同類型的函數(shù)，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：給出函數(shù)是以上函數(shù)中兩個(gè)不同類型的函數(shù)得3分 屬于以上同一類型的兩個(gè)函數(shù)得1分；寫出的是與（1）、（2）中函數(shù)同類型的不得分； 函數(shù)定義域或條件錯(cuò)誤扣1分12解：（1）由拋物線定義，拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，得，所以拋物線的方程為 -4分 （只要得到拋物線方程，都得4分）（2）由，得，（或）當(dāng)，即且時(shí)， （或）由，即，得，所以-8分由知，中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，-12分由問題知，的面積值僅與有關(guān)，由于，所以與的面積，設(shè)-14分由題設(shè)當(dāng)中構(gòu)造三角形的方法，可以將拋物線與線段所圍成的封閉圖形的面積看成無窮多個(gè)三角形的面積的和，即數(shù)列的無窮項(xiàng)和，-16分所以即，因此，所求封閉圖形的面積為-18分13解：（1）由已知， 方程組有實(shí)數(shù)解，從而，（3分） 故，所以，即的取值范圍是（4分） （2）設(shè)橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則 （）（6分） ， 當(dāng)時(shí)，（7分） 于是，解得 （9分） 所求橢圓方程為（10分） （直接給出的扣3分） （3）由得 （*） 直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)， ，即（12分） 設(shè)、，則、是方程（*）的兩個(gè)實(shí)數(shù)解， ， 線段的中點(diǎn)為， 又 線段的垂直平分線恒過點(diǎn)， ， 即，即 （14分） 由，得，又由得， 實(shí)數(shù)的取值范圍是（16分）14解（1）， （4分） （2）若選擇學(xué)生甲的結(jié)論，則說明如下， ，于是在區(qū)間上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)（8分） 所以函數(shù)的最小值是，且函數(shù)沒有最大值（10分） 若選擇學(xué)生乙的結(jié)論，則說明如下， ，于是在區(qū)間上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)（8分） 所以函數(shù)的最大值是，且函數(shù)沒有最小值（10 分）（3）結(jié)論：若，則； 若，則； 若，則， （寫出每個(gè)結(jié)論得1分，共3分，證明為5分） 以第一個(gè)結(jié)論為例證明如下： ， 當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，是增函數(shù) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像是以點(diǎn)，為端點(diǎn)的一系列互相連接的折線所組成，所以有15、 (1)證：對(duì)稱軸， 所以在0，1上為增函數(shù) -2分 -4分(2)、解由，得， = 兩式相減，得-8分 - 10分(3)由(1)與（2）得設(shè)存在自然數(shù)，使對(duì)，恒成立-12分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， -14分所以存在正整數(shù)，使對(duì)任意正整數(shù)，均有 -16分16、（解一）：（1）設(shè)直線方程為，代入橢圓方程并整理得：，-2分，又中點(diǎn)M在直線上，所以，從而可得弦中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以。-4分（解二）設(shè)點(diǎn)， 中點(diǎn) 則 -2分又與作差得 所以 -4分（2）對(duì)于橢圓， -6分已知斜率為的直線交雙曲線（，）于兩點(diǎn)，點(diǎn) 為弦的中點(diǎn)，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)、都存在）則的值為 - - -8分（解一）、設(shè)直線方程為，代入（，）方程并整理得：，所以，即 -10分(解二）設(shè)點(diǎn) 中點(diǎn) 則 又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則與作差得 即 -10分 （3）對(duì)（2）的概括：設(shè)斜率為的直線交二次曲線：（）于兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)、都存在），則-12分提出問題與解決問題滿分分別為3分，提出意義不大的問題不得分，解決問題的分值不得超過提出問題的分值。提出的問題例如：直線過原點(diǎn)，為二次曲線（）上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線交曲線于兩點(diǎn)，當(dāng)異于兩點(diǎn)時(shí)，如果直線的斜率都存在，則它們斜率的積為與點(diǎn)無關(guān)的定值。-15分解法1：設(shè)直線方程為，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，則把代入得，所以-18分提出的問題的例如： 直線：，為二次曲線（）上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線交曲線于兩點(diǎn)。試問使的點(diǎn)是否存在？-13分意義不大的問題例如：1）直線過原點(diǎn)，為二次曲線（）上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線交曲線于兩點(diǎn)，求的值。2）直線過原點(diǎn)，為二次曲線（）上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線交曲線于兩點(diǎn)