高考數(shù)學(xué)壓軸題專題訓(xùn)練（共20題）

1已知點，一動圓過點且與圓內(nèi)切（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)點，點為曲線上任一點，求點到點距離的最大值；（3）在的條件下，設(shè)的面積為（是坐標(biāo)原點，是曲線上橫坐標(biāo)為的點），以為邊長的正方形的面積為若正數(shù)滿足，問是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由2在直角坐標(biāo)平面上有一點列，對每個正整數(shù)，點位于一次函數(shù)的圖像上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列（1）求點的坐標(biāo)；（2）設(shè)二次函數(shù)的圖像以為頂點，且過點，若過且斜率為的直線與只有一個公共點，求的值（3）設(shè)，為正整數(shù)，為正整數(shù)，等差數(shù)列中的任一項，且是中的最大數(shù)，求的通項公式3已知點A（1，0)，B（1,0)，C（ ,0)，D（,0)，動點P（x, y)滿足0，動點Q（x, y)滿足|+| 求動點P的軌跡方程C0和動點Q的軌跡方程C1；是否存在與曲線C0外切且與曲線C1內(nèi)接的平行四邊形，若存在，請求出一個這樣的平行四邊形，若不存在，請說明理由；固定曲線C0，在的基礎(chǔ)上提出一個一般性問題，使成為的特例，探究能得出相應(yīng)結(jié)論（或加強結(jié)論）需滿足的條件，并說明理由。4已知函數(shù)f (x)m x2(m3）x1的圖像與x軸的交點至少有一個在原點右側(cè)，求實數(shù)m的取值范圍；令tm2，求；(其中t表示不超過t的最大整數(shù)，例如：11， 252， 253)對中的t，求函數(shù)g(t)的值域。5已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個焦點與A關(guān)于直線y=x對稱 （1）求雙曲線C的方程；（2）若Q是雙曲線C上的任一點，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F1引F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程（3）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線L經(jīng)過M（2，0）及AB的中點，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍6已知是定義在上的恒不為零的函數(shù)，且對于任意的、都滿足：（1）求的值，并證明對任意的，都有；（2）設(shè)當(dāng)時，都有，證明在上是減函數(shù)；（3）在（2）的條件下，求集合中的最大元素和最小元素。7直線與x軸、y 軸所圍成區(qū)域內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為，所圍成區(qū)域內(nèi)部（包括邊界）的整點個數(shù)為（整點就是橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點）（1）求和的值； （2）求及的表達式； （3）對個整點中的每一個點用紅、黃、藍、白四色之一著色，其方法總 數(shù)為An，對個整點中的每一個點用紅、黃兩色之一著色，其方法總數(shù)為Bn，試比較An與Bn的大小8已知動點到定點（1，0）的距離比到定直線的距離小1。（1）求證：點軌跡為拋物線，并求出其軌跡方程；（2）大家知道，過圓上任意一點，任意作相互垂直的弦，則弦必過圓心（定點），受此啟發(fā)，研究下面的問題：過（1）中的拋物線的頂點任作相互垂直的弦，則弦是否經(jīng)過一個定點？若經(jīng)過定點（設(shè)為），請求出點的坐標(biāo)，否則說明理由；研究：對于拋物線上頂點以外的定點是否也有這樣的性質(zhì)？請?zhí)岢鲆粋€一般的結(jié)論，并證明。9若函數(shù)的定義域為，其中a、b為任意正實數(shù)，且a0，k，n是正整數(shù)），S（k，n）表示k方數(shù)列的前n項的和。 （1）比較S（1，2）S（3，2）與S（2，2）2的大??； （2）若的1方數(shù)列、2方數(shù)列都是等差數(shù)列，a1=a，求的k方數(shù)列通項公式。 （3）對于常數(shù)數(shù)列an=1，具有關(guān)于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，請你對數(shù)列的k方數(shù)列進行研究，寫出一個不是常數(shù)數(shù)列的k方數(shù)列關(guān)于S（k，n）的恒等式，并給出證明過程。11記函數(shù)，,它們定義域的交集為,若對任意的,，則稱是集合的元素（1）判斷函數(shù)是否是的元素；（2）設(shè)函數(shù)，求的反函數(shù)，并判斷是否是的元素；（3）若，寫出的條件，并寫出兩個不同于（1）、（2）中的函數(shù)（將根據(jù)寫出的函數(shù)類型酌情給分）12已知拋物線上橫坐標(biāo)為的點到焦點的距離為（1）求拋物線的方程（2）設(shè)直線與拋物線交于兩點，且，是弦的中點，過作平行于軸的直線交拋物線于點，得到；再分別過弦、的中點作平行于軸的直線依次交拋物線于點，得到和；按此方法繼續(xù)下去解決下列問題：1)求證：；2)計算的面積；3)根據(jù)的面積的計算結(jié)果，寫出的面積；請設(shè)計一種求拋物線與線段所圍成封閉圖形面積的方法，并求出此封閉圖形的面積F1xOyF213設(shè)橢圓（）的兩個焦點是和（），且橢圓與圓有公共點（1）求的取值范圍；（2）若橢圓上的點到焦點的最短距離為，求橢圓的方程；（3）對（2）中的橢圓，直線（）與交于不同的兩點、，若線段的垂直平分線恒過點，求實數(shù)的取值范圍14我們用和分別表示實數(shù)中的最小者和最大者（1）設(shè)，函數(shù)的值域為，函數(shù)的值域為，求；（2）數(shù)學(xué)課上老師提出了下面的問題：設(shè)，為實數(shù)，求函數(shù)（）的最小值或最大值為了方便探究，遵循從特殊到一般的原則，老師讓學(xué)生先解決兩個特例：求函數(shù)和的最值 學(xué)生甲得出的結(jié)論是：，且無最大值 學(xué)生乙得出的結(jié)論是：，且無最小值請選擇兩個學(xué)生得出的結(jié)論中的一個，說明其成立的理由；（3）試對老師提出的問題進行研究，寫出你所得到的結(jié)論并加以證明（如果結(jié)論是分類的，請選擇一種情況加以證明）15設(shè)向量， (n為正整數(shù))，函數(shù)在0，1上的最小值與最大值的和為，又數(shù)列滿足： (1) 求證：(2) (2)求的表達式(3) 若，試問數(shù)列中，是否存在正整數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)，都有成立？證明你的結(jié)論（注：與表示意義相同）16、設(shè)斜率為的直線交橢圓：于兩點，點為弦的中點，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點，假設(shè)、都存在）（1）求的值 （2）把上述橢圓一般化為（），其它條件不變，試猜想與關(guān)系(不需要證明)請你給出在雙曲線（，）中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論（3）分析（2）中的探究結(jié)果，并作出進一步概括，使上述結(jié)果都是你所概括命題的特例如果概括后的命題中的直線過原點，為概括后命題中曲線上一動點，借助直線及動點，請你提出一個有意義的數(shù)學(xué)問題，并予以解決17已知向量,向量與向量夾角為，且（1）求向量； （2）若向量與向量的夾角為，其中，為的內(nèi)角，且，依次成等差數(shù)列，試求求|的取值范圍ABMFOyx18如圖，過橢圓的左焦點F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使得MF為AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”(1)求橢圓的“左特征點”M的坐標(biāo)； (2)試根據(jù)(1)提出一個問題并給出解答。19如圖，已知圓C：，設(shè)M為圓C與x軸左半軸的交點，過M作圓C的弦MN，并使它的中點P恰好落在y軸上。（1）當(dāng)r=2時， 求滿足條件的P點的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時，求N的軌跡G方程； （3）過點P（0，2）的直線l與（2）中軌跡G相交于兩個不同的點M,N，若，求直線的斜率的取值范圍。 20函數(shù)f(x)是定義在0，1上的增函數(shù)，滿足且，在每個區(qū)間（1，2）上，y=f(x)的圖象都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一部分。（1）求f(0)及，的值，并歸納出的表達式（不必證明）；（2）設(shè)直線，軸及的圖象圍成的梯形的面積為（1，2），記，求的表達式，并寫出其定義域和最小值。1本題滿分16分，第（1）題4分，第（2）題6分，第（3）題6分解（1）設(shè)動圓圓心為，半徑為，已知圓圓心為，由題意知，于是，所以點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，其方程為（2）設(shè)，則，令，所以，當(dāng)，即時在上是減函數(shù)，；當(dāng)，即時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則；當(dāng)，即時，在上是增函數(shù)，所以， （3）當(dāng)時,于是,（12分）若正數(shù)滿足條件，則，即，令，設(shè)，則，于是，所以，當(dāng)，即時，即，所以，存在最小值2解（1）由已知，所以（2）設(shè)二次函數(shù)，因為的圖像過點，所以，解得的方程為，代入得，即 由已知，方程僅有一解，所以，（）所以（3）由題意為正整數(shù),為正整數(shù)所以中的元素組成以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，的公差為（）若，則，；若，則，；若，則，即綜上所述，的通項公式為（為正整數(shù)）3、C0：x2y21， C1：1，連橢圓四端點可得，問題：已知C0：x2y21和C1：1（ab0），試問，當(dāng)a、 b滿足什么條件時，對C1上任意一點Q均存在以Q為頂點，與C0外切，與C1內(nèi)接的平行四邊形。解得a2b2a 2b2；4、m1，t1時1，t1時0，,)5解：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，即kxy=0該直線與圓 相切，雙曲線C的兩條漸近線方程為 2分故設(shè)雙曲線C的方程為，又雙曲線C的一個焦點為，雙曲線C的方程為 4分（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF2到T，使|QT|=|OF1|若Q在雙曲線的左支上，則在QF2上取一點T，使|QT|=|QF1|根據(jù)雙曲線的定義|TF2|=2，所以點T在以F2為圓心，2為半徑的圓上，即點T的軌跡方程是 8分由于點N是線段F1T的中點，設(shè)N（x，y），T（）則代入并整理得點N的軌跡方程為 10分（3）由令直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程 上有兩個不等實根因此 又AB中點為直線L的方程為 14分令x=0，得 故b的取值范圍是 16分6解：（1） 4分 （2）當(dāng)時，都有6分 當(dāng)，即時，有，8分 即 在上是減函數(shù)。10分（3）在上是減函數(shù)，是遞增數(shù)列數(shù)列是遞減數(shù)列。14分集合中的最大元素為，最小元素為 。18分7（1）時，直線上有個點，直線上有 ，直線上有，直線上有 2分 2分（2）時， 時，當(dāng)時， 3分 2分當(dāng) 時也滿足， 1分（3） ， 1分； 1分 2分當(dāng)時， 1分當(dāng)且時， 1分8、（18分）（1）到定點的距離等于到定直線的距離 軌跡為拋物線； 2分軌跡方程為。 2分 （2）設(shè)， 由 得， 2分同理 2分 因此方程為 即 2分 令 得 2分 設(shè)點為上一定點，則 1分 過作互相垂直的弦 設(shè)，則， 化簡得即（*） 2分 假設(shè)過定點，則有 即化簡得（*） 2分比較（*）、（*）得， 過定點 1分9（1）當(dāng) 2分當(dāng)是減函數(shù)，當(dāng)是增函數(shù) 4分（2）是減函數(shù)；在上是增函數(shù)。 6分當(dāng)有最小值為 8分當(dāng)有最大值為 10分（3）當(dāng)A=Ik時最小值為當(dāng)A= Ik+1時最小值為 12分 14分設(shè) 則 16分10解：（1）S（1，2）= 2分S（1，2）S（3，2）S（2，2）2= 4分= 5分（2）設(shè) 7分則 得 2d2=0，d=p=0 9分 11分（3）當(dāng)an=n時，恒等式為S（1，n）2=S（3，n） 15分證明：相減得： 相減得： 18分11解：（1）對任意，-2分 不恒等于，-4分 （2）設(shè)時，由 解得：由 解得其反函數(shù)為 ，-6分時，由 解得：解得函數(shù)的反函數(shù)為，-8分-11分（3），的條件是：存在反函數(shù)，且-13分函數(shù)可以是：； ； ；或，；或，以“；”劃分為不同類型的函數(shù)，評分標(biāo)準(zhǔn)如下：給出函數(shù)是以上函數(shù)中兩個不同類型的函數(shù)得3分 屬于以上同一類型的兩個函數(shù)得1分；寫出的是與（1）、（2）中函數(shù)同類型的不得分； 函數(shù)定義域或條件錯誤扣1分12解：（1）由拋物線定義，拋物線上點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，得，所以拋物線的方程為 -4分 （只要得到拋物線方程，都得4分）（2）由，得，（或）當(dāng)，即且時， （或）由，即，得，所以-8分由知，中點的坐標(biāo)為，點，-12分由問題知，的面積值僅與有關(guān)，由于，所以與的面積，設(shè)-14分由題設(shè)當(dāng)中構(gòu)造三角形的方法，可以將拋物線與線段所圍成的封閉圖形的面積看成無窮多個三角形的面積的和，即數(shù)列的無窮項和，-16分所以即，因此，所求封閉圖形的面積為-18分13解：（1）由已知， 方程組有實數(shù)解，從而，（3分） 故，所以，即的取值范圍是（4分） （2）設(shè)橢圓上的點到一個焦點的距離為，則 （）（6分） ， 當(dāng)時，（7分） 于是，解得 （9分） 所求橢圓方程為（10分） （直接給出的扣3分） （3）由得 （*） 直線與橢圓交于不同兩點， ，即（12分） 設(shè)、，則、是方程（*）的兩個實數(shù)解， ， 線段的中點為， 又 線段的垂直平分線恒過點， ， 即，即 （14分） 由，得，又由得， 實數(shù)的取值范圍是（16分）14解（1）， （4分） （2）若選擇學(xué)生甲的結(jié)論，則說明如下， ，于是在區(qū)間上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)（8分） 所以函數(shù)的最小值是，且函數(shù)沒有最大值（10分） 若選擇學(xué)生乙的結(jié)論，則說明如下， ，于是在區(qū)間上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)（8分） 所以函數(shù)的最大值是，且函數(shù)沒有最小值（10 分）（3）結(jié)論：若，則； 若，則； 若，則， （寫出每個結(jié)論得1分，共3分，證明為5分） 以第一個結(jié)論為例證明如下： ， 當(dāng)時，是減函數(shù)， 當(dāng)時，是增函數(shù) 當(dāng)時，函數(shù)的圖像是以點，為端點的一系列互相連接的折線所組成，所以有15、 (1)證：對稱軸， 所以在0，1上為增函數(shù) -2分 -4分(2)、解由，得， = 兩式相減，得-8分 - 10分(3)由(1)與（2）得設(shè)存在自然數(shù)，使對，恒成立-12分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時， -14分所以存在正整數(shù)，使對任意正整數(shù)，均有 -16分16、（解一）：（1）設(shè)直線方程為，代入橢圓方程并整理得：，-2分，又中點M在直線上，所以，從而可得弦中點M的坐標(biāo)為，所以。-4分（解二）設(shè)點， 中點 則 -2分又與作差得 所以 -4分（2）對于橢圓， -6分已知斜率為的直線交雙曲線（，）于兩點，點 為弦的中點，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點，假設(shè)、都存在）則的值為 - - -8分（解一）、設(shè)直線方程為，代入（，）方程并整理得：，所以，即 -10分(解二）設(shè)點 中點 則 又因為點在雙曲線上，則與作差得 即 -10分 （3）對（2）的概括：設(shè)斜率為的直線交二次曲線：（）于兩點，點為弦的中點，直線的斜率為（其中為坐標(biāo)原點，假設(shè)、都存在），則-12分提出問題與解決問題滿分分別為3分，提出意義不大的問題不得分，解決問題的分值不得超過提出問題的分值。提出的問題例如：直線過原點，為二次曲線（）上一動點，設(shè)直線交曲線于兩點，當(dāng)異于兩點時，如果直線的斜率都存在，則它們斜率的積為與點無關(guān)的定值。-15分解法1：設(shè)直線方程為，兩點坐標(biāo)分別為、，則把代入得，所以-18分提出的問題的例如： 直線：，為二次曲線（）上一動點，設(shè)直線交曲線于兩點。試問使的點是否存在？-13分意義不大的問題例如：1）直線過原點，為二次曲線（）上一動點，設(shè)直線交曲線于兩點，求的值。2）直線過原點，為二次曲線（）上一動點，設(shè)直線交曲線于兩點