與圓有關的位置關系切線長定理

切線長定理,認知準備,問題1、經過平面上一個已知點，作已知圓的切線會有怎樣的情形？,P,P,P,問題2、經過圓外一點P，如何作已知O的切線？,用尺規(guī)作圖：過O外一點做O的切線,O,P,A,B,O,圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.,定理形成,切線與切線長的區(qū)別與聯(lián)系：,（1）切線是一條與圓相切的直線；,（2）切線長是指切線上某一點與切點間的線段的長。,。,P,B,A,O,若從O外的一點引兩條切線PA，PB，切點分別是A、B，連結OA、OB、OP，你能發(fā)現什么結論？并證明你所發(fā)現的結論。,PA=PB,OPA=OPB,證明：PA，PB與O相切，點A，B是切點OAPA，OBPB即OAP=OBP=90OA=OB，OP=OPRtAOPRtBOP(HL)PA=PBOPA=OPB,試用文字語言敘述你所發(fā)現的結論,PA、PB分別切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角。,切線長定理,幾何語言:,反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法,A,P,O,。,B,若連結兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結論?并給出證明.,OP垂直平分AB,證明：PA，PB是O的切線,點A，B是切點PA=PBOPA=OPBPAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線OP垂直平分AB,A,P,O,。,B,若延長PO交O于點C，連結CA、CB，你又能得出什么新的結論?并給出證明.,CA=CB,證明：PA，PB是O的切線,點A，B是切點PA=PBOPA=OPBPC=PCPCAPCBAC=BC,C,（1）寫出圖中所有的垂直關系,OAPA，OBPB，ABOP,（3）寫出圖中所有的全等三角形,AOPBOP，AOCBOC，ACPBCP,（4）寫出圖中所有的相似三角形,AOCBOCAOPBOPACPBCP,（5）寫出圖中所有的等腰三角形,ABPAOB,（6）若PA=4、PD=2，求半徑OA,（2）寫出圖中與OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,。,P,B,A,O,（3）連結圓心和圓外一點,（2）連結兩切點,（1）分別連結圓心和切點,在解決有關圓的切線長問題時，往往需要我們構建基本圖形。,課堂反思,如圖，已知O的半徑為3cm.點P和圓心O的距離為6cm，經過點P有O的兩條切線PA、PB,則切線長為_cm，這兩條切線的夾角為_，AOB=_。,60,120,試一試,例1:如圖，已知AB、AC是O的切線，B、C為切點，連結BC交AO于D.若AD=6，AO=8，求切線AB的長；若BC=4，BAO=30，求O的直徑。,例題講解,小紅為了測量一個鍋蓋的直徑，她用了下面的方法:將鍋蓋平放在水平桌上,用一個銳角為300的三角板和一個刻度尺,按如圖所示的方法得到相關的數據,測得PA=10cm,即求出鍋蓋的直徑,說明她這樣做的理由.,想一想,想一想,如圖：用兩根帶有刻度的木條做一個夾角為60的工具尺，你能用它量出一個圓的半徑嗎？若量出角的頂點到切點的距離為10cm，試求這個圓半徑的近似值。,例2:已知：如圖,PA、PB是O的切線，切點分別是A、B，Q為O上一點，過Q點作O的切線，交PA、PB于E、F點，已知PA=12cm，P=50.求:(1)PEF的周長;(2)EOF的度數.,E,A,Q,P,F,B,O,例題講解,如圖，從O外一點P作O的兩條切線，分別切O于A、B，在AB上任取一點C作O的切線分別交PA、PB于D、E（1）若PA=2，則PDE的周長為_；若PA=a，則PDE的周長為_。（2）連結OD、OE，若P=40，則DOE=_;若P=k度,DOE=_度。,E,O,C,B,D,P,A,4,2a,70,試一試,小紅家院子有一塊三角形草坪，她想在這塊地里設計一個最大的圓形花壇，你能幫她設計一下嗎？,問題,與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓,三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心,這個三角形叫做圓的外切三角形,三角形的內心就是三角形三條內角平分線的交點,有關概念,一處兩處三處四處,直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有(),想一想,D,例3:(1)在ABC中,ABC=500,ACB=750,點O是ABC的內心,求BOC的度數.,(2)在ABC中,BAC=550,點O是ABC的內心,求BOC的度數.,例題講解,例4：如圖，ABC的內切圓O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的長。,x,13x,x,13x,9x,9x,例題講解,y,z,y,z,x+y=9y+z=14x+z=13,(13x)+(9x)=14,設ABC的BC=a，AC=b，AB=c，內切圓I和BC、AC、AB分別相切于點D、E、F,求AE、BD、CE的長.,.,I,x,y,z,y+z=ax+z=bx+y=c,分析：設AF=x，BD=y，CE=z,.I,想一想,x,y,z,.,CD值怎樣?r?,想一想,已知：一塊三角形的白鐵片,量得三邊的長分別為5cm,12cm,13com.從這塊白鐵片上能剪下最大的圓的半徑是多少長?,試一試,例5:ABC的內切圓半徑為r,ABC的周長為l,求ABC的面積。（提示：設內心為O，連接OA、OB、OC。）,r,r,r,例題講解,如圖，O內切于ABC,D、E、F分別是切點，若O的半徑為,C=60o,AC=9,BC=14,求ABC的周長.,答案：40,想一想,1.切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的