概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四版課后習(xí)題答案盛驟浙江大學(xué)

完全版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案第四版盛驟浙江大學(xué)浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率論的基本概念1一寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間（1）記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（充以百分制記分）（一1），N表小班人數(shù)NOS10,（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（一2）S10，11，12，N，（4）對(duì)某工廠(chǎng)出廠(chǎng)的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0”就停止檢查，或查滿(mǎn)4次才停止檢查。（一3）S00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，2二設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。表示為或AABAC或ABC（2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。表示為或ABABC或ABC（3）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生表示為ABC（4）A，B，C都發(fā)生，表示為ABC（5）A，B，C都不發(fā)生，表示為或SABC或CBACBA（6）A，B，C中不多于一個(gè)發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為。A,（7）A，B，C中不多于二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為,ABC或（8）A，B，C中至少有二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于AB，BC，AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為ABBCAC6三設(shè)A，B是兩事件且PA06，PB07問(wèn)1在什么條件下PAB取到最大值，最大值是多少（2）在什么條件下PAB取到最小值，最小值是多少解由PA06，PB07即知AB，（否則AB依互斥事件加法定理，PABPAPB0607131與PAB1矛盾）從而由加法定理得PABPAPBPAB（1）從0PABPA知，當(dāng)ABA，即AB時(shí)PAB取到最大值，最大值為PABPA06，（2）從式知，當(dāng)ABS時(shí)，PAB取最小值，最小值為PAB0607103。7四設(shè)A，B，C是三事件，且，0,41BCPACPBA求A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。81解PA，B，C至少有一個(gè)發(fā)生PABCPAPBPCPABPBCPACPABC8501438五在一標(biāo)準(zhǔn)英語(yǔ)字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞，若從26個(gè)英語(yǔ)字母中任取兩個(gè)字母予以排列，問(wèn)能排成上述單詞的概率是多少記A表“能排成上述單詞”從26個(gè)任選兩個(gè)來(lái)排列，排法有種。每種排法等可能。26A字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞55個(gè)130526AP9在電話(huà)號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話(huà)號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。（設(shè)后面4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0，1，29）記A表“后四個(gè)數(shù)全不同”后四個(gè)數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。后四個(gè)數(shù)全不同的排法有10A544P10六在房間里有10人。分別佩代著從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼。（1）求最小的號(hào)碼為5的概率。記“三人紀(jì)念章的最小號(hào)碼為5”為事件A10人中任選3人為一組選法有種，且每種選法等可能。310又事件A相當(dāng)于有一人號(hào)碼為5，其余2人號(hào)碼大于5。這種組合的種數(shù)有2511230P（2）求最大的號(hào)碼為5的概率。記“三人中最大的號(hào)碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有種，310且每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于有一人號(hào)碼為5，其余2人號(hào)碼小于5，選法有種24120134BP11七某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問(wèn)一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少記所求事件為A。在17桶中任取9桶的取法有種，且每種取法等可能。917C取得4白3黑2紅的取法有2340故1561734AP12八在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任意取200個(gè)。（1）求恰有90個(gè)次品的概率。記“恰有90個(gè)次品”為事件A在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有種，每種取法等可能。2015200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品，取法有種94201594AP（2）至少有2個(gè)次品的概率。記A表“至少有2個(gè)次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個(gè)次品”，同上，200個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法有種，200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有種211904且B0，B1互不相容。10A201594201510PP13九從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少記A表“4只全中至少有兩支配成一對(duì)”則表“4只人不配對(duì)”從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。410要4只都不配對(duì)，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有25213812405APC15十一將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問(wèn)杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少記AI表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為I個(gè)”I1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對(duì)A1必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432種。選排列好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列1621P對(duì)A2必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有種。342C從3個(gè)球中選2個(gè)球，選法有，再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有423C種，最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有3種。69432AP對(duì)A3必須三球都放入一杯中。放法有4種。只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子，放入此3個(gè)球，選法有4種163P16十二50個(gè)鉚釘隨機(jī)地取來(lái)用在10個(gè)部件，其中有三個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部件用3只鉚釘，若將三只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，問(wèn)發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。法一用古典概率作把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組，三個(gè)釘一組去鉚完10個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個(gè)部件要分先后次序）對(duì)E鉚法有種，每種裝法等可能32347350CC對(duì)A三個(gè)次釘必須鉚在一個(gè)部件上。這種鉚法有10323473CC種051196032347503CP法二用古典概率作把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計(jì)先后次序）對(duì)E鉚法有種，每種鉚法等可能350A對(duì)A三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，30”位置上。這種鉚法有種274327432743274310AAA59610357P17十三已知。|,0,40,BAPBAPA求解一ASP,61,701注意故有BAPABPAPA070502。再由加法定理，PAPAPPA07060508BB于是2508|25067051|72|750|5BAPBAPBAPABPAP定義故解二由已知18十四。,21|,31|,41BAPBAPBAP求解由613421|BPBPBAP有定義由已知條件由乘法公式，得|AA由加法公式，得312641ABPBAP19十五擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點(diǎn)的概率（用兩種方法）。解（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求PA|B，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）。擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組（X,Y）（X,Y1,2,3,4,5,6）并且滿(mǎn)足X,Y7，則樣本空間為SX,Y|1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3每種結(jié)果（X,Y）等可能。A擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。故3162AP方法二（用公式|BPASX,Y|X1,2,3,4,5,6Y1,2,3,4,5,6每種結(jié)果均可能A“擲兩顆骰子，X,Y中有一個(gè)為“1”點(diǎn)”，B“擲兩顆骰子，X,Y7”。則，22616ABPBP故316|220十六據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律PAP孩子得病06，PB|AP母親得病|孩子得病05，PC|ABP父親得病|母親及孩子得病04。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解所求概率為PAB（注意由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件，C這里不是求P|ABPABPAPB|A060503,P|AB1PC|AB10406從而PABPABP|AB030601821十七已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（記為事件A）法一用組合做在10只中任取兩只來(lái)組合，每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果，每種取法等可能。620458210CAP法二用排列做在10只中任取兩個(gè)來(lái)排列，每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果，每個(gè)排列等可能。452810AP法三用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來(lái)作。記A1，A2分別表第一、二次取得正品。45289710|221APAP（2）二只都是次品（記為事件B）法一45120CP法二210AB法三451902|12121APP（3）一只是正品，一只是次品（記為事件C）法一45162018CP法二45162108ACP法三互斥與且2121A456908|12121APAP（4）第二次取出的是次品（記為事件D）法一因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組合作，法二512019ADP法三互斥與且2121A519028|PP22十八某人忘記了電話(huà)號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超過(guò)三次而接通所需的電話(huà)的概率是多少如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少記H表?yè)芴?hào)不超過(guò)三次而能接通。AI表第I次撥號(hào)能接通。注意第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼。1038910|213122321APAAPHP三種情況互斥如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問(wèn)題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。|32121ABPAH|213121ABPABP531415424十九設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有N只白球M只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，?wèn)取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少（此為第三版19題1）記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再?gòu)囊掖腥〉冒浊颉?。BA1BA2B且A1，A2互斥PBPA1PB|A1PA2PB|A21MNMNMNMN十九2第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。C2為“從第一盒子中取得2只白球”。C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1C2C3S，由全概率公式，有PDPC1PD|C1PC2PD|C2PC3PD|C395167529452942926二十一已知男人中有5是色盲患者，女人中有025是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問(wèn)此人是男性的概率是多少解A1男人，A2女人，B色盲，顯然A1A2S，A1A2由已知條件知50|,5|11BPP由貝葉斯公式，有2105102|211111ABPABPAPB二十二一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若2至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解AI他第I次及格，I1,2已知PA1PA2|A1P，2|12P（1）B至少有一次及格所以21兩次均不及格|121APAPP|1223（2）（）2121AP定義由乘法公式，有PA1A2PA1PA2|A1P2由全概率公式，有|121A2P將以上兩個(gè)結(jié)果代入（）得12|21PA28二十五某人下午500下班，他所積累的資料表明到家時(shí)間535539540544545549550554遲于554乘地鐵到家的概率010025045015005乘汽車(chē)到家的概率030035020010005某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車(chē)，結(jié)果他是547到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。解設(shè)A“乘地鐵”，B“乘汽車(chē)”，C“545549到家”，由題意,AB,ABS已知PA05,PC|A045,PC|B02,PB05由貝葉斯公式有692301542|1|450|BCPAC29二十四有兩箱同種類(lèi)型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解設(shè)BI表示“第I次取到一等品”I1，2AJ表示“第J箱產(chǎn)品”J1,2，顯然A1A2SA1A2（1）（B1A1BA2B由全概率公式解）。405382501P（2）48570593|1212B（先用條件概率定義，再求PB1B2時(shí)，由全概率公式解）32二十六（2）如圖1，2，3，4，5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為P，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求L和R是通路的概率。記AI表第I個(gè)接點(diǎn)接通記A表從L到R是構(gòu)成通路的。AA1A2A1A3A5A4A5A4A3A2四種情況不互斥PAPA1A2PA1A3A5PA4A5PA4A3A2PA1A2A3A5PA1A2A4A5PA1A2A3A4PA1A3A4A5PA1A2A3A4A5PA2A3A4A5PA1A2A3A4A5PA1A2A3A4A5A1A2A3A4A5PA1A2A3A4A5PA1A2A3A4A5又由于A1，A2，A3，A4，A5互相獨(dú)立。故PAP2P3P2P3P4P4P4P4P5P4P5P5P5P5P52P23P35P42P5二十六（1）設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記AI表示第I個(gè)元件正常工作，I1，2，3，4，A表示系統(tǒng)正常。AA1A2A3A1A4兩種情況不互斥PAPA1A2A3PA1A4PA1A2A3A4加法公式PA1PA2PA3PA1PA4PA1PA2PA3PA4P1P2P3P1P4P1P2P3P4A1,A2,A3,A4獨(dú)立342153421LR34三十一袋中裝有M只正品硬幣，N只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽）。在袋中任取一只，將它投擲R次，已知每次都得到國(guó)徽。問(wèn)這只硬幣是正品的概率為多少解設(shè)“出現(xiàn)R次國(guó)徽面”BR“任取一只是正品”A由全概率公式，有RRRRRRRRRRNMNMBPAAPN221|1|（條件概率定義與乘法公式）35甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為04，05，07。飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為02，被兩人擊中而被擊落的概率為06，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。解高HI表示飛機(jī)被I人擊中，I1，2，3。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)，三種情況互斥。321321321B三種情況互斥B323H又B1，B2，B2獨(dú)立。321321BPBPP607560543213212BPBPHP3054321BP040507060507041PH3PB1PB2PB3040507014又因AH1AH2AH3A三種情況互斥故由全概率公式，有PAPH1PA|H1PH2PA|H2PH3PAH303602041060141045836三十三設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2（這一事件記為A1），10（事件A2），90（事件A3）的概率分別為PA108,PA2015,PA2005，現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B），試分別求PA1|BPA2|B,PA3|B（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地）B表取得三件好物品。BA1BA2BA3B三種情況互斥由全概率公式，有PBPA1PB|A1PA2PB|A2PA3PB|A30809830150930050130862401862405|6891|731086240|333332222111BPAABPB37三十四將A，B，C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為，而輸出為其它一字母的概率都是1/2。今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為P1,P2,P3P1P2P31，已知輸出為ABCA，問(wèn)輸入的是AAAA的概率是多少（設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。）解設(shè)D表示輸出信號(hào)為ABCA，B1、B2、B3分別表示輸入信號(hào)為AAAA，BBBB，CCCC，則B1、B2、B3為一完備事件組，且PBIPI,I1,2,3。再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A，其余類(lèi)推，依題意有PA收|A發(fā)PB收|B發(fā)PC收|C發(fā)，PA收|B發(fā)PA收|C發(fā)PB收|A發(fā)PB收|C發(fā)PC收|A發(fā)PC收|B發(fā)21又PABCA|AAAAPD|B1PA收|A發(fā)PB收|A發(fā)PC收|A發(fā)PA收|A發(fā)，22同樣可得PD|B2PD|B331于是由全概率公式，得3322131|PAPIII由BAYES公式，得PAAAA|ABCAPB1|D|11B23211P二十九設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍(lán)球，3只綠球，4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍(lán)球的概率，（2）求有一只藍(lán)球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率。解記A1、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球，B1、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。（1）記C至少有一只藍(lán)球CA1B1A1B2A1B3A2B1A3B1，5種情況互斥由概率有限可加性，得952794739273131231113232BPAPPPBA獨(dú)立性（2）記D有一只藍(lán)球，一只白球，而且知DA1B3A3B1兩種情況互斥63192743311PBAPBAPD（3）5|DCCDC注意到三十A，B，C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話(huà)，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給A，B，C的電話(huà)的概率分別為。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A，B，C三人外1,2出的概率分別為，設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立，求41,2（1）無(wú)人接電話(huà)的概率；（2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時(shí)間斷打進(jìn)了3個(gè)電話(huà)，求（3）這3個(gè)電話(huà)打給同一人的概率；（4）這3個(gè)電話(huà)打給不同人的概率；（5）這3個(gè)電話(huà)都打給B，而B(niǎo)卻都不在的概率。解記C1、C2、C3分別表示打給A，B，C的電話(huà)D1、D2、D3分別表示A，B，C外出注意到C1、C2、C3獨(dú)立，且51,5231PP4,32DP（1）P（無(wú)人接電話(huà)）PD1D2D3PD1PD2PD34（2）記G“被呼叫人在辦公室”，三種情況互斥，由有321CG限可加性與乘法公式2013453215|3312CDPCDPCPDG|KKDP故否和來(lái)電話(huà)無(wú)關(guān)由于某人外出與（3）H為“這3個(gè)電話(huà)打給同一個(gè)人”12575525P（4）R為“這3個(gè)電話(huà)打給不同的人”R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A，B，C的三個(gè)電話(huà)，每種情況的概率為125452于是6RP（5）由于是知道每次打電話(huà)都給B，其概率是1，所以每一次打給B電話(huà)而B(niǎo)不在的概率為，且各次情況相互獨(dú)立41于是P（3個(gè)電話(huà)都打給B，B都不在的概率）643第二章隨機(jī)變量及其分布1一一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1、2、3、4、5，在其中同時(shí)取三只，以X表示取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布律解X可以取值3，4，5，分布律為1064,321,553,44102,1,333524352CPXC中任取兩球再在號(hào)一球?yàn)橹腥稳汕蛟僭谔?hào)一球?yàn)樘?hào)兩球?yàn)樘?hào)一球?yàn)橐部闪袨橄卤鞽3，4，5P106,3三設(shè)在15只同類(lèi)型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，（2）畫(huà)出分布律的圖形。解任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)X可能為0，1，2個(gè)。35201CP3152X2315CP再列為下表X0，1，2P35,4四進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為P，失敗的概率為Q1P0YPX1,Y0PX2,Y0PX2,Y1PX3PY0PX3PY1PX3PY2PX1PY0PX2,Y0PX2,Y1PX3PY0PX3PY1PX3PY2823213304600460CC1272372239十有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來(lái)，算是試驗(yàn)成功一次。（1）某人隨機(jī)地去猜，問(wèn)他試驗(yàn)成功一次的概率是多少（2）某人聲稱(chēng)他通過(guò)品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。試問(wèn)他是猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。）解（1）P一次成功70148C（2）P連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。此概率太小，按103769013實(shí)際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。九有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)從中任取10件，經(jīng)驗(yàn)收無(wú)次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無(wú)次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率（2）需作第二次檢驗(yàn)的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過(guò)的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解X表示10件中次品的個(gè)數(shù)，Y表示5件中次品的個(gè)數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故XB（10，01），YB（5，01）（近似服從）（1）PX009100349（2）PX2PX2PX1581099011082C（3）PY00950590（4）P010PX110002840（查表計(jì)算）十二2每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。56043十六以X表示某商店從早晨開(kāi)始營(yíng)業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間（以分計(jì)），X的分布函數(shù)是00,14XEXFX求下述概率（1）P至多3分鐘；（2）P至少4分鐘；（3）P3分鐘至4分鐘之間；（4）P至多3分鐘或至少4分鐘；（5）P恰好25分鐘解（1）P至多3分鐘PX321EF（2）P至少4分鐘PX4641X（3）P3分鐘至4分鐘之間P32，PX3若XN（，2），則P21P|X|31PX311050523（2）決定C使得PXCPXCPXC1PXCPXC得PXC0521又PXCC3023,503查表可得26二十四某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以MMHG計(jì)）服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測(cè)量她的血壓X。求12,0N（1）PX105，P100X005解384061417041670105592283265560741297412910645120500XXXXXP故最小的查表得27二十五由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（CM）服從參數(shù)為1005，006的正態(tài)分布。規(guī)定長(zhǎng)度在范圍1005012內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少設(shè)螺栓長(zhǎng)度為XPX不屬于1005012,10050121P10050121時(shí)，YFYY212YXDE412YE（3）求Y|X|的概率密度。Y的分布函數(shù)為FYYPYYP|X|Y當(dāng)Y0時(shí)YFYY221YYXEDE33三十（1）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為FX，求YX3的概率密度。YGXX3是X單調(diào)增函數(shù)，又XHY，反函數(shù)存在，1且MING,GMIN0,MAXG,GMAX0,Y的分布密度為YFHH|HY|0,312YYF但0（2）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求YX2的概率密度。法一X的分布密度為0XEXFYX2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng)X0時(shí)，由和的概率公式知ZYZZXZEDEYFFF6300,63ZZF（2）設(shè)Z表示前兩周需要量，其概率密度為0,63ZEZFZ設(shè)表示第三周需要量，其概率密度為0,XEXFZ與相互獨(dú)立Z表示前三周需要量則0，當(dāng)U0時(shí)UYUEDEYFFF120653所以的概率密度為05UEUF30設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，20）分布。2隨機(jī)地選取4只求其中沒(méi)有一只壽命小于180小時(shí)的概率。解設(shè)X1，X2，X3，X4為4只電子管的壽命，它們相互獨(dú)立，同分布，其概率密度為20162TTETF841302061826018012182查表令DUEUTDTTFXFX設(shè)NMINX1，X2，X3，X4PN180PX1180,X2180,X3180,X4180PX18041PX11P11P0P1查二項(xiàng)分布表10736102639因此X表示一天調(diào)整設(shè)備的次數(shù)時(shí)XB4,02639PX0026390073614402936PX102639107361304210,PX20263920736120226444PX30263930736100541,PX40263907361000049從而44EXNP402639105563三有3只球，4只盒子，盒子的編號(hào)為1，2，3，4，將球逐個(gè)獨(dú)立地，隨機(jī)地放入4只盒子中去。設(shè)X為在其中至少有一只球的盒子的最小號(hào)碼（例如X3表示第1號(hào)，第2號(hào)盒子是空的，第3號(hào)盒子至少有一只球），求EX。事件X1一只球裝入一號(hào)盒，兩只球裝入非一號(hào)盒兩只球裝入一號(hào)盒，一只球裝入非一號(hào)盒三只球均裝入一號(hào)盒（右邊三個(gè)事件兩兩互斥）643714341322P事件“X2”“一只球裝入二號(hào)盒，兩只球裝入三號(hào)或四號(hào)盒”“兩只球裝二號(hào)盒，一只球裝入三或四號(hào)盒”“三只球裝入二號(hào)盒”64194213421323P同理7322X64143P故162547927XE5五設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間段里，其電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X（以分計(jì)）是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。其概率密度為其他0150,3015,2XXXF求EX解DXF15015031501503322201502分XXDXD6六設(shè)隨機(jī)變量X的分布為X202PK040303求EX，E3X25解EX20400320302EX222040203220328E3X253EX2E58451347七設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為0,XEF求（1）Y2X（2）YE2X的數(shù)學(xué)期望。解（1）0DXEDFYE22XE（2）0EXDFYEX31XE8八設(shè)（X，Y）的分布律為1求EX，EY。2設(shè)ZY/X，求EZ。3設(shè)ZXY2，求EZ。解（1）由X，Y的分布律易得邊緣分布為XY1231010201010100100301EX1042023040404122EY1030041030（2）EZ10205011/300041/30105011011/41/301/201/1015/6011/601/15（3）EZ001102403904160021236510十一工廠(chǎng)生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為工廠(chǎng)規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞，可予以調(diào)換。若工廠(chǎng)出售0,41XEF一臺(tái)設(shè)備可贏利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠(chǎng)方需花費(fèi)300元。試求廠(chǎng)方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望。解一臺(tái)設(shè)備在一年內(nèi)損壞的概率為41104104EDXEXPX故設(shè)Y表示出售一臺(tái)設(shè)備的凈贏利1141EXP則,0,23XFY故4141001120EPXE643341E11十一某車(chē)間生產(chǎn)的圓盤(pán)直徑在區(qū)間（A,B）服從均勻分布。試求圓盤(pán)面積的數(shù)學(xué)期望。解設(shè)X為圓盤(pán)的直徑，則其概率密度為XY12310201003001003041010101030402041ZY/X11/21/301/31/21PK0201004010101ZXY201121102或2124202或112或3129302或21216312PK010203040,0,1其它BAXBXF用Y表示圓盤(pán)的面積，則從而,42XY1234141222BAABDXABDXFE12十三設(shè)隨機(jī)變量X1，X2的概率密度分別為0,40,2XEXFXEXF求（1）EX1X2，E2X13；（2）又設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，求EX1X2解（1）004DXEDXEE31241021XXXXEE（2）0421133DXEXEXE853182444XXXEE（3）121XEXE13十四將N只球（1N號(hào)）隨機(jī)地放進(jìn)N只盒子（1N號(hào)）中去，一只盒子裝一只球。將一只球裝入與球同號(hào)的盒子中，稱(chēng)為一個(gè)配對(duì)，記X為配對(duì)的個(gè)數(shù)，求EX解引進(jìn)隨機(jī)變量號(hào)球號(hào)盒裝非第號(hào)球號(hào)盒裝第第IIXI01I1,2,N則球盒對(duì)號(hào)的總配對(duì)數(shù)為IIX1XI的分布列為I1,2NNXEI1111XENIIIII1,2N14十五共有N把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開(kāi)門(mén)上的鎖，用它們?nèi)ピ囬_(kāi)門(mén)上的鎖。設(shè)抽取鑰匙是相互獨(dú)立的，等可能性的。若每把鑰匙經(jīng)試開(kāi)一次后除去，試用下面兩種方法求試開(kāi)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。（1）寫(xiě)出X的分布律，（2）不寫(xiě)出X的分布律。解（1）X123NPN1N21N12E（2）設(shè)一把一把鑰匙的試開(kāi)，直到把鑰匙用完。設(shè)I1,2N次試開(kāi)不能開(kāi)門(mén)第次試開(kāi)能開(kāi)門(mén)第IXI0則試開(kāi)到能開(kāi)門(mén)所須試開(kāi)次數(shù)為NIIX1EXIN1I1,2N1211NNIXENNII15（1）設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為EX，方差為DX0，引入新的隨機(jī)變量（X稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量）驗(yàn)證EX0，DX1XI10PNXII0PI（2）已知隨機(jī)變量X的概率密度。,02|1|其它XXF求X的概率密度。解（1）01XEDXEEDXEXEX2EX2211X（2）11|21020DXXDXDX671|212DXXXE6112XDEX161YXDXFYPYYPYF時(shí)即當(dāng)時(shí)即當(dāng)時(shí)即當(dāng)YYDXYY6,121620|,601_60為其他值YYYGX0|61|16十六設(shè)X為隨機(jī)變量，C是常數(shù)，證明DX0是常0,1XEFX數(shù)，求EX，DX。解EDXEXEXDEXX00001又2020221DTETDXEXE令DXEX2E2X222221設(shè)X1,X2,XN是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且有,I1,2,N2,XDEII記，（1）驗(yàn)證（2）驗(yàn)證NII1IIS12,（3）驗(yàn)證ES2NIIXS122證明（1）NINIINIIXE111利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2，3NDNXNDNIIINII21211,相互獨(dú)立利用方差的性質(zhì)2，3（2）首先證NIINIIX1212212112212NIINIINIIIIIIINIIXXX于是NIINIIS12122（3）21122XNENXNEIIII212II221XEDNXEDNIII2223二十五設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布為XY101188001818驗(yàn)證X和Y不相關(guān)，但X和Y不是相互獨(dú)立的。證PX1Y1PX1PY188383PX1Y1PX1PY1X，Y不是獨(dú)立的又EX101083283EY101083283COVX,YEXEXYEYEXYEXEY111111110118X，Y是不相關(guān)的27已知三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z中，EXEY1,EZ1，DXDYDZ1,XY0XZ，YZ。設(shè)WXYZ求EW，DW。21解EWEXYZEXEYEZ1111DWDXYZEXYZEXYZ2EXEXYEYZEZ2EXEX2YEY2ZEZ22XEXYEY2YEYZEZ2ZEZXEXDXDYDZ2COVX,Y2COVY,Z2COVZ,XDXDYDZ2D1112X21013126二十八設(shè)隨機(jī)變量（X1，X2）具有概率密度。，0X2,0Y28,YXF求EX1，EX2，COV（X1，X2），2121XDX解6780DYXD22Y67211XEXCOV3618102DYXYXD722021211D36181220222DYXYDXEX136,21DXCOVXYDX1X2DX1DX22COVX1,X2953628二十九設(shè)XN（，2），YN（，2），且X，Y相互獨(dú)立。試求Z1XY和Z2XY的相關(guān)系數(shù)（其中是不為零的常數(shù)）,解由于X，Y相互獨(dú)立COVZ1,Z2EZ1,Z2EZ1EZ2EXYXYEXEYEXEY2EX2EY22EX2EY22DX2DY222DZ12DX2DY222,DZ22DX2DY222,利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)23故,2121DZCOVZ29二十三卡車(chē)裝運(yùn)水泥，設(shè)每袋水泥重量（以公斤計(jì)）服從N（50,252）問(wèn)最多裝多少袋水泥使總重量超過(guò)2000的概率不大于005解已知XN（50,252）不妨設(shè)最多可裝A袋水泥才使總重量超過(guò)2000的概率不大于005則由期望和方差的性質(zhì)得YAXN（50A,252A）故由題意得PY2000005950YP即解得A39612950520A查表得30三十二已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估計(jì)每毫升含白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率P解由題意知7300,700，則由契比雪夫不等式890912071|730|94052XPXP31三十三對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量V,W若EV2EW2存在,證明EVW2EV2EW2這一不等式稱(chēng)為柯西施瓦茲（CAUCHYSCHWARZ）不等式證明由和關(guān)于矩的結(jié)論，知當(dāng)EV2,EW2存在時(shí)EVW，21|2VEV,EW,DV,DW,都存在當(dāng)EV2,EW2至少有一個(gè)為零時(shí)，不妨設(shè)EV20，由DVEV2EV2EV20知DV0，此時(shí)EV2EV20即EV0。再由方差的性質(zhì)知PV01又故有PVW01于是EVW0W0，不等式成立當(dāng)EV20，EW20時(shí)，對(duì)T有EWTV2EV2T22EVWTEW20式是T的二次三項(xiàng)式且恒非負(fù)，所以有2EVW24EV2EW20故CAUCHYSCHWARZ不等式成立。二十一（1）設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且有EXII,DXI5I,I1,2,3,4。設(shè)Y2X1X23X3X4，求EY，DY。（2）設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且XN（720，302），YN（640，252），求Z12XY，Z2XY的分布，并求PXY,PXY1400解（1）利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2，3有EY2EX1EX23EX3EX471利用數(shù)學(xué)方差的性質(zhì)2，3有DY22DX112DX232DX32DX43725（2）根據(jù)有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線(xiàn)性組合仍然服從正態(tài)分布，知Z1N（，），Z2N（，）而EZ12EXY2720640,DZ14DXDY4225EZ2EXEY72064080,DZ2DXDY1525即Z1N（2080，4225），Z2N（80，1525）PXYPXY0PZ201PZ2097815280PXY14001PXY1400同理XYN（1360，1525）則PXY14001PXY140015390152640二十二5家商店聯(lián)營(yíng)，它們每周售出的某種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量（以KG計(jì)）分別為X1，X2，X3，X4，X5，已知X1N（200，225），X2N（240，240），X3N（180，225），X4N（260，265），X5N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互獨(dú)立。（1）求5家商店兩周的總銷(xiāo)售量的均值和方差；（2）商店每隔兩周進(jìn)貨一次，為了使新的供貨到達(dá)前商店不會(huì)脫銷(xiāo)的概率大于099，問(wèn)商店的倉(cāng)庫(kù)應(yīng)至少儲(chǔ)存多少公斤該產(chǎn)品解（1）令為總銷(xiāo)售量。51IIXY已知EX1200，EX2240，EX3180，EX4260，EX5320，DX1225，DX2240，DX3225，DX4265，DX5270，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3有5120IIY利用方差的性質(zhì)3有5125IIXD（2）設(shè)商店倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存A公斤該產(chǎn)品，使得PYA099由相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線(xiàn)性組合仍然服從正態(tài)分布，并注意到（1），得YN（1200，1225）903512A查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知512830AA至少取1282第五章大數(shù)定理和中心極限定理1一據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)?zāi)撤N電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn)在隨機(jī)的抽取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件壽命總和大于1920小時(shí)的概率。解設(shè)第I只壽命為XI，（1I16），故EXI100，DXI1002L1,2,16依本章定理1知804161069210692001661IIIIIIPPP78從而21907819201920616IIIIXPXP3三計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法時(shí)，對(duì)每個(gè)加數(shù)取整（取為最接近它的整數(shù)），設(shè)所有的取整誤差是相互獨(dú)立的，且它們都在（05，05）上服從均勻分布，（1）若將1500個(gè)數(shù)相加，問(wèn)誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)15的概率是多少（2）幾個(gè)數(shù)相加在一起使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不小于090解（1）設(shè)取整誤差為XI（，1500），它們都在（05,05）上服從均勻分,21布。于是05PEI120IXD182550,IIXNN1511501150IIIIIIXPP18180II1802901234128某藥廠(chǎng)斷言，該廠(chǎng)生產(chǎn)的某種藥品對(duì)于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為08，醫(yī)院檢驗(yàn)員任意抽查100個(gè)服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。（1）若實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的治愈率是08，問(wèn)接受這一斷言的概率是多少（2）若實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的治愈率是07，問(wèn)接受這一斷言的概率是多少解設(shè)X為100人中治愈的人數(shù)，則XBN,P其中N100（1）75175175175NPQNQPP89404（2）P07由中心極限定理知75175175175NPQNPQXPXP3908620927七一復(fù)雜的系統(tǒng)，由100個(gè)互相獨(dú)立起作用的部件所組成。在整個(gè)運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞的概率為010。為了整個(gè)系統(tǒng)起作用至少必需有85個(gè)部件工作。求整個(gè)系統(tǒng)工作的概率。（2）一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由N個(gè)互相獨(dú)立起作用的部件所組成，每個(gè)部件的可靠性（即部件工作的概率）為090。且必須至少有80部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作，問(wèn)N至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性不低于095。解（1）設(shè)每個(gè)部件為XII1,2,100部件損壞不工作部件工作01I設(shè)X是100個(gè)相互獨(dú)立，服從（01）分布的隨機(jī)變量XI之和XX1X2X100由題設(shè)知N100PXI1P09,PXI001EXIP09DXIP1P0901009NEXI1000990,NDXI1000099858510IIIINXEPP39090由中心極限定理知351XP352DTE查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表116709525解（2）設(shè)每個(gè)部件為XII1,2,N部件損壞不工作部件工作01IPXI1P09,PXI01P01EXIP09,DXI0901009由問(wèn)題知求N95018NII而NXPNII11081IINIIXNDPPNNXPNII3091830911由中心極限定理知NNXPNII30918309195301301NN查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得645解得N2435取N25，即N至少為25才能使系統(tǒng)可靠性為095八隨機(jī)地取兩組學(xué)生，每組80人，分別在兩個(gè)實(shí)驗(yàn)室里測(cè)量某種化合物的PH值，各人測(cè)量的結(jié)果是隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立，且服從同一分布，其數(shù)學(xué)期望為5，方差為03，以分別表示第一組和