2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)56《 最值、范圍、證明問題》(含解析).doc

1、課時(shí)作業(yè)56最值、范圍、證明問題第一次作業(yè)基礎(chǔ)鞏固練1.已知?jiǎng)訄AC與圓C1：(x2)2y21相外切，又與直線l：x1相切.(1)求動(dòng)圓圓心軌跡E的方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)M為直線l上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P(1,0)的直線與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，求證：kMAkMB2kMP.解：(1)由題知，動(dòng)圓C的圓心到點(diǎn)(2,0)的距離等于到直線x2的距離，所以由拋物線的定義可知，動(dòng)圓C的圓心軌跡是以(2,0)為焦點(diǎn)，x2為準(zhǔn)線的拋物線，所以動(dòng)圓圓心軌跡E的方程為y28x.(2)證明：由題知當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，不符合題意，所以可設(shè)直線AB的方程為xmy1，聯(lián)立消去x，得y28my80，64m2320恒成立，設(shè)A(x1

2、，y1)，B(x2，y2)，M(1，t)，則y1y28m，y1y28，x1x28m22，x1x21，而2kMP2t，kMAkMBt，所以kMAkMB2kMP.2. 如圖，已知橢圓E：1(ab0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F(1,0)，過點(diǎn)A且斜率為1的直線交橢圓E于另一點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，6.(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)F作直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，連接MO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))并延長交橢圓E于點(diǎn)Q，求MNQ面積的最大值及取最大值時(shí)直線l的方程.解：(1)由題知A(a,0)，C(0，a)，故B，代入橢圓E的方程得1，結(jié)合a2b21，得a24，b23，故橢圓E的方程為1.(2)由題知，直線l不與x

3、軸重合，故可設(shè)l：xmy1，代入1得(3m24)y26my90，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2，y1y2，連接ON，由Q與M關(guān)于原點(diǎn)對稱知，SMNQ2SMON|y1y2|，1，34，SMNQ3，當(dāng)且僅當(dāng)m0時(shí)，等號(hào)成立，MNQ面積的最大值為3，此時(shí)直線l的方程為x1.3.(2019河南洛陽統(tǒng)考)已知拋物線C：x22py(p0)，過焦點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，D是拋物線的準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn).(1)若ABl，且ABD的面積為1，求拋物線的方程；(2)設(shè)M為AB的中點(diǎn)，過M作l的垂線，垂足為N.證明：直線AN與拋物線相切.解：(1)ABl，|FD|p，|AB|2p.SABDp21

4、.p1，故拋物線C的方程為x22y.(2)證明：顯然直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為ykx，A，B.由消去y整理得，x22kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.M，N.kAN.又x22py，y.拋物線x22py在點(diǎn)A處的切線斜率k.直線AN與拋物線相切.4.已知橢圓E：1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F2(1,0)，且該橢圓過定點(diǎn)M.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q(2,0)，過點(diǎn)F2作直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且，2，1，以QA，QB為鄰邊作平行四邊形QACB，求對角線QC長度的最小值.解：(1)由題易知c1，1，又a2b2c2，解得b21，a22，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)

5、直線l：xky1，由得(k22)y22ky10，4k24(k22)8(k21)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則可得y1y2，y1y2.(x1x24，y1y2)，|2|216，由此可知，|2的大小與k2的取值有關(guān).由可得y1y2，(y1y20).從而，由2，1得，從而2，解得0k2.令t，則t，|28t228t1682，當(dāng)t時(shí)，|QC|min2.5.(2019合肥模擬)已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線ykx1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求OAB面積的取值范圍.解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a

6、b0)，由條件知，解得a2，c，b1，故橢圓C的方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2，設(shè)OAB的面積為S，由x1x20，yt在t3，)上單調(diào)遞增，t，0，0b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，過左焦點(diǎn)F1的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，ABF2的周長為4.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)ABF2的面積最大時(shí)，求l的方程.解：(1)由橢圓的定義知4a4，a，由e知cea1，b2a2c21.所以橢圓C的方程為y21.(2)由(1)知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，|F1F2|2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：

7、xmy1，聯(lián)立xmy1與y21，得(m22)y22my10，|y1y2|，SABF222，當(dāng)m211，m0時(shí)，SABF2最大為，l：x1.2.(2019廣東佛山模擬)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的離心率為，橢圓上異于長軸頂點(diǎn)的任意點(diǎn)A與左、右兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的三角形中面積的最大值為.(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若A與C是橢圓M上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，連接CF2與橢圓的另一交點(diǎn)為B，求證：直線AB與x軸交于定點(diǎn)P，并求的取值范圍.解：(1)由題意知，2cb，a2b2c2，解得c1，a2，b.所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，y

8、1)，直線AB：ykxm.將ykxm，代入1得，(4k23)x28kmx4m2120.則x1x2，x1x2.因?yàn)锽，C，F(xiàn)2共線，所以kBF2kCF2，即，整理得2kx1x2(mk)(x1x2)2m0，所以2k(mk)2m0，解得m4k.所以直線AB：yk(x4)，與x軸交于定點(diǎn)P(4,0).因?yàn)閥3x，所以(x14，y1)(x11，y1)x5x14yx5x112.因?yàn)?x1|FF|2，由橢圓的定義知，2a4，c1，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E為1.(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)(n0)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，n)，且3m24n212，所以直線QA：y(x4)，即nx(4m)y4n0，直線PF：y(x1

9、)，即nx(m1)yn0.聯(lián)立方程組解得xB，yB，則1，所以點(diǎn)B恒在橢圓E上.設(shè)直線PF：xty1，P(x1，y1)，B(x2，y2)，則由消去x整理得(3t24)y26ty90，所以y1y2，y1y2，所以|y1y2|，從而SPAB|FA|y1y2|.令(1)，則函數(shù)g()3在1，)上單調(diào)遞增，故g()ming(1)4，所以SPAB，即當(dāng)t0時(shí)，PAB的面積取得最大值，且最大值為.4.(2019河北邢臺(tái)模擬)已知橢圓W：1(ab0)的焦距與橢圓：y21的短軸長相等，且W與的長軸長相等，這兩個(gè)橢圓在第一象限的交點(diǎn)為A，直線l與直線OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))垂直，且l與W交于M，N兩點(diǎn).(1)求W的

10、方程；(2)求MON的面積的最大值.解：(1)由題意可得故W的方程為1.(2)聯(lián)立得.又A在第一象限，kOA.故可設(shè)l的方程為y3xm.聯(lián)立得31x218mx3m2120.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，x1x2.|MN|.又O到直線l的距離為d，則MON的面積Sd|MN|，S(m231m2)，當(dāng)且僅當(dāng)m231m2，即m2時(shí)，滿足0，故MON的面積的最大值為.5.(2018天津卷)設(shè)橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b,0)，且|FB|AB|6.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l：ykx(k0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若sinAOQ(O為原點(diǎn))，求k的值.解：(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得，|FB|a，|AB|b，由|FB|AB|6，可得ab6，從而a3，b2.所以，橢圓的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(