高中數(shù)學(xué)壓軸題精選

1、2007年高考?jí)狠S題集錦1(安徽卷) 如圖，曲線的方程為以原點(diǎn)為圓心以為半徑的圓分別與曲線和軸的正半軸相交于點(diǎn)與點(diǎn)直線與軸相交于點(diǎn)（）求點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系式（）設(shè)曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求證：直線的斜率為定值xyBAOaD2(安徽卷) 某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加，因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目是一個(gè)公差為的等差數(shù)列與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利這就是說(shuō)，如果固定年利率為，那么，在第年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)椋员硎镜降谀昴┧塾?jì)的儲(chǔ)備金總額（）寫出與的

2、遞推關(guān)系式；（）求證：，其中是一個(gè)等比數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列3(北京卷)已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：，其中是有序數(shù)對(duì)，集合和中的元素個(gè)數(shù)分別為和若對(duì)于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì)（I）檢驗(yàn)集合與是否具有性質(zhì)并對(duì)其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和；（II）對(duì)任何具有性質(zhì)的集合，證明：；（III）判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論4（福建卷）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（）求數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和；（）設(shè)，求證：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列5（福建卷）已知函數(shù)（）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（）設(shè)函數(shù)，求證：6(廣東卷) 已知是實(shí)數(shù)，

3、函數(shù)如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍7(廣東卷)已知函數(shù)，、是方程的兩個(gè)根()，是的導(dǎo)數(shù)設(shè)，.(1)求、的值；(2)證明：對(duì)任意的正整數(shù)有；（3）記,.求數(shù)列的前項(xiàng)和8（湖北卷）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）9（湖北卷）已知為正整數(shù)，（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，；（II）對(duì)于，已知，求證，求證，；（III）求出滿足等式的所有正整數(shù)10（湖南卷）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求

4、出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由11（湖南卷）已知（）是曲線上的點(diǎn)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；（III）證明：當(dāng)時(shí)，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增12（江蘇卷）數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若，記為數(shù)列的前項(xiàng)的和（1）若，求證：；（4分）（2）若，求證：為整數(shù)，且數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列的項(xiàng)；（8分）（3）是否存在這樣的正數(shù)，使等比數(shù)列中有3項(xiàng)成等差數(shù)列，若存在，寫出一個(gè)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（4分）13（江蘇卷）設(shè)是不全為的實(shí)數(shù)，函數(shù)，若有實(shí)數(shù)根，且都是的根，反之，的實(shí)根都是的根（1）求的值；（3分）（2）若

5、，求的取值范圍；（6分）（3）若，求的取值范圍（7分）2007年高考?jí)狠S題集錦（答案）1本小題綜合考查平面解析幾何知識(shí)，主要涉及平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點(diǎn)與曲線方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力與思維能力、綜合分析問(wèn)題的能力本小題滿分12分xyBAOaD解：（）由題意知，因?yàn)椋杂捎?，故有?）由點(diǎn)的坐標(biāo)知，直線的方程為又因點(diǎn)在直線上，故有，將（1）代入上式，得，解得（）因?yàn)?，所以直線的斜率為所以直線的斜率為定值2本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法，考查學(xué)生閱讀資料、提取信息、建立數(shù)學(xué)模型的能力、考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力本小題滿分

6、14分解：（）我們有（），對(duì)反復(fù)使用上述關(guān)系式，得 ，在式兩端同乘，得，得即如果記，則其中是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列3（I）解：集合不具有性質(zhì)集合具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合和是，（II）證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有個(gè)因?yàn)椋?；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，從而，集合中元素的個(gè)數(shù)最多為，即（III）解：，證明如下：（1）對(duì)于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也至少有一個(gè)不成立故與也是的不同元素可見(jiàn)，中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，（2）對(duì)于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也

7、不至少有一個(gè)不成立，故與也是的不同元素可見(jiàn)，中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，由（1）（2）可知，4本小題考查數(shù)列的基本知識(shí)，考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，考查等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及推理和運(yùn)算能力滿分12分解：（）由已知得，故（）由（）得假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)（互不相等）成等比數(shù)列，則即，與矛盾所以數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列5本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力滿分14分解：（）由得，所以由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，由得，

8、故的單調(diào)遞減區(qū)間是（）由可知是偶函數(shù)于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立由得當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞增故，符合題意當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實(shí)數(shù)的取值范圍是（）， 由此得，故6解析1：函數(shù)在區(qū)間-1，1上有零點(diǎn)，即方程=0在-1，1上有解， a=0時(shí)，不符合題意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解或或或或a1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是或a1.解析2：a=0時(shí)，不符合題意，所以a0,又=0在-1，1上有解，在-1，1上有解在-1，1上有解，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)-1，1上的值域；設(shè)t=3-2x，x-1，1，則，t1,5,，設(shè)，時(shí)，此函數(shù)g(t

9、)單調(diào)遞減，時(shí)，0,此函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，y的取值范圍是，=0在-1，1上有解或。7解析：（1），是方程f(x)=0的兩個(gè)根，； （2），=，有基本不等式可知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），同，樣，（n=1,2,）， （3），而，即，同理，又。8本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力解：（）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為（）設(shè)，則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，9本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)

10、算技能，考查分析問(wèn)題能力和推理能力解法1：（）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）當(dāng)時(shí)，原不等式成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?，所以左邊右邊，原不等式成立；（）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，于是在不等式兩邊同乘以得，所以即當(dāng)時(shí)，不等式也成立綜合（）（）知，對(duì)一切正整數(shù)，不等式都成立（）證：當(dāng)時(shí)，由（）得，于是，（）解：由（）知，當(dāng)時(shí)，即即當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)故只需要討論的情形：當(dāng)時(shí)，等式不成立；當(dāng)時(shí)，等式成立；當(dāng)時(shí)，等式成立；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立；當(dāng)時(shí)，同的情形可分析出，等式不成立綜上，所求的只有解法2：（）證：當(dāng)或時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)，且時(shí)，

11、（）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?，所以，即左邊右邊，不等式成立；（）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以于是在不等式兩邊同乘以得，所以即?dāng)時(shí)，不等式也成立綜上所述，所證不等式成立（）證：當(dāng)，時(shí)，而由（），（）解：假設(shè)存在正整數(shù)使等式成立，即有又由（）可得，與式矛盾故當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)下同解法110解：由條件知，設(shè)，解法一：（I）設(shè)，則則，由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡(jiǎn)得當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程所以點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方

12、程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是因?yàn)槭桥c無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以 由得當(dāng)時(shí)，由得，將其代入有整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程故點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）有，以上同解法一的（II）11解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得因?yàn)椋?于是 由得 于是 由得， 所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列（II）由有，所以由有，所以，而 表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以

13、，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對(duì)任意的成立且即所求的取值集合是（III）解法一：弦的斜率為任取，設(shè)函數(shù)，則記，則，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，所以時(shí)，從而，所以在和上都是增函數(shù)由（II）知，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，取，因?yàn)?，所以取，因?yàn)?，所以所以，即弦的斜率隨單調(diào)遞增解法二：設(shè)函數(shù)，同解法一得，在和上都是增函數(shù)，所以，故，即弦的斜率隨單調(diào)遞增12本小題主要考查等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)用方程、分類討論等思想方法進(jìn)行分析、探索及論證問(wèn)題的能力滿分16分解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題設(shè)得，且由得，所以，故等式成立（2）（）證明為整數(shù)：由得，即，移項(xiàng)得因，得，故為整數(shù)（）證明數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)：設(shè)是數(shù)列中的任一項(xiàng)，只要討論的情形令，即，得因，當(dāng)時(shí)，為或，則為或；而，否則，矛盾當(dāng)時(shí)，為正整數(shù)，所以為正整數(shù)，從而故數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)（3）取，所以，成等差數(shù)列13本小題主要考查函數(shù)、方程、不等式的基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法分析問(wèn)題及推理論證的能力滿分16分解：（1）設(shè)為方程的一個(gè)根，即，則由題設(shè)得于是，即所以，（2）由題意及（1）知，由得是不全為零的實(shí)數(shù)，且，則方程就是方程就是（）當(dāng)時(shí)，方程、的根都為，符合題意（）當(dāng)，