11動量定理.ppt

1、1,111 動量與沖量,112 動量定理,113 質(zhì)心運動定理,第十一章 動量定理,2,實際上的問題是： 1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非 常困難。 2、大量的問題中，不需要了解每一個質(zhì) 點的運 動,僅需要研究質(zhì)點系整體的運 動情況。,動力學普遍定理概述,對質(zhì)點動力學問題： 建立質(zhì)點運動微分方程求解。,對質(zhì)點系動力學問題： 理論上講，n個質(zhì)點列出3n個微分方 程， 聯(lián)立求解它們即可。,從本章起, 將要講述解答動力學問題的其它方法, 而首先要討論的是動力學普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導出來的其它一些定理)。,輪作純滾動，求 .,3,它們以簡明的數(shù)學形式， 表明兩種

2、量 一種是同運動特征相關(guān)的量(動量、動量矩、動能)，一種是同力相關(guān)的量(沖量、力 矩、功等) 之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對物體的機械運動進行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動力學問題非常方便簡捷 。,本章中研究質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理，建立了動量的改變與力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點系動量定理的另一重要形式質(zhì)心運動定理。,4,11-1動量與沖量,1.質(zhì)點的動量： 質(zhì)點的質(zhì)量與速度的乘積 mv 稱為質(zhì)點的動量。,動量是度量物體機械運動強弱程度的一個物理量。,例：槍彈：速度大，質(zhì)量?。?船：速度小，質(zhì)量大。,一、動量,動量是瞬時矢量，方向與 v 相同。單位是kgm/s。,2.質(zhì)點系的動量： 質(zhì)

3、點系中所有各質(zhì)點的動量的矢量和。,5,質(zhì)點系的質(zhì)心：質(zhì)點系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。 是表征質(zhì)點系質(zhì)量分布情況的一個重要概念。,因為： ，,所以：,質(zhì)心 C 點的位置：,質(zhì)點系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點系的動量。,則：,6,質(zhì)點系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點系的動量。則：,3.剛體系統(tǒng)的動量：設(shè)第i個剛體則整個系統(tǒng)：,2.質(zhì)點系的動量：,7,運動分析：桿作定軸轉(zhuǎn)動,已知勻質(zhì)桿 質(zhì)量為 ,以 轉(zhuǎn)動。求：桿的動量。,由于質(zhì)心速度等于零，故p=0。,若轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心,8,畫橢圓的機構(gòu)由勻質(zhì)的曲柄 OA，規(guī)尺 BD 以及滑塊B 和 D 組成(圖 a)，曲柄與規(guī)尺的中點 A 鉸接。已知規(guī)尺長2l

4、，質(zhì)量是2m1；兩滑塊的質(zhì)量都是m2；曲柄長l，質(zhì)量是m1，并以角速度繞定軸 O 轉(zhuǎn)動。試求當曲柄 OA 與水平成角時整個機構(gòu)的動量。,例 題 1,例題 動量定理,9,解：,整個機構(gòu)的動量等于曲柄OA，規(guī)尺BD，滑塊B和D的動量的矢量和，即,p = pOA + pBD + pB + pD,其中曲柄OA的動量 pOA=m1vE ，大小是,pOA = m1vE = m1l/2,其方向與vE一致，即垂直于OA并順著的轉(zhuǎn)向(圖 b)。,E,(b),例 題 1,例題 動量定理,10,因為規(guī)尺和兩個滑塊的公共質(zhì)心在點A，它們的動量表示成,p= pBD + pB + pD = 2(m1 + m2)vA,由于

5、動量 pOA 的方向也是與 vA 的方向一致，所以整個橢圓機構(gòu)的動量方向與 vA 相同，而大小等于,E,11,曲柄連桿機構(gòu)的曲柄OA以勻 轉(zhuǎn)動，設(shè)OA=AB=l ,曲柄OA及連桿AB都是勻質(zhì)桿, 質(zhì)量各為m , 滑塊B的質(zhì)量也為m。求當 = 45時系統(tǒng)的動量。,解: 一.運動分析：,曲柄OA：,滑塊B：,二.計算各物體質(zhì)心速度：,連桿AB：,12,三.計算系統(tǒng)的動量：,13,14,二、力的沖量,1. 常力的沖量 定義：作用力與作用時間的乘積稱為常力的沖量。 I = F t 沖量是矢量，它的方向與力的方向一致。 物理意義：力的作用效應在時間上的積累 單位：Ns = kgm/s2 = kgm/s

6、2. 變力的沖量 ：（包括大小和方向的變化） dI = Fdt dI稱為力F的元沖量,沖量在x, y, z 軸上的投影：,3合力的沖量：等于各分力沖量的矢量和,15,三、質(zhì)點系的內(nèi)力與外力,對整個質(zhì)點系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零：,對整個質(zhì)點系來講內(nèi)力系對任一 點（或軸）的主矩恒等 于零，即：,外力 ：,內(nèi)力 ：,所考察的質(zhì)點系以外的物體作用于該質(zhì)點系中各質(zhì)點的力。,所考察的質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間相互作用的力。,16,11-2動量定理,一質(zhì)點的動量定理,在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點動量的增量等于作用于質(zhì)點上的力在該時間內(nèi)的沖量,質(zhì)點的動量定理的微分形式,對上式兩邊積分：,質(zhì)點動量的微分等于作用于質(zhì)點上的

7、力的元沖量,動量定理的積分形式：,17,投影形式：,質(zhì)點的動量守恒 若，則常矢量，質(zhì)點作慣性運動 若，則常量，質(zhì)點沿 x 軸的運動是慣性運動,二質(zhì)點系的動量定理,對整個質(zhì)點系：,對質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)點 i，,18,質(zhì)點系動量對時間的導數(shù)等于作用在質(zhì)點系上所有外力的矢量和。,質(zhì)點系動量的微分等于作用在質(zhì)點系上所有外力元沖量的矢量和。,2）積分形式,1）微分形式,質(zhì)點系的動量定理,19, 質(zhì)點系的動量守恒定律 若則常矢量。 若則常量。,只有外力才能改變質(zhì)點系的動量，內(nèi)力不能改變整個質(zhì)點系的動量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點動量的傳遞。,20, 動畫,動量定理,反 沖 運 動,參見動畫：反沖運動,21,火炮（

8、包括炮車與炮筒）的質(zhì)量是 m1，炮彈的質(zhì)量是 m2，炮彈相對炮車的發(fā)射速度是 vr ，炮筒對水平面的仰角是 （圖a）。設(shè)火炮放在光滑水平面上，且炮筒與炮車相固連，試求火炮的后坐速度和炮彈的發(fā)射速度。,(a),例 題 3,例題 動量定理,22,解:,炸藥（其質(zhì)量略去不計）的爆炸力是內(nèi)力，F(xiàn)x = 0；可見，系統(tǒng)的動量在軸 x 上的投影守恒。,取火炮和炮彈（包括炸藥）這個系統(tǒng)作為研究對象。,設(shè)火炮的反座速度是 vm1，炮彈的發(fā)射速度是 v，對水平面的仰角是 （圖b）。,（b）,（a）,例 題 3,例題 動量定理,23,px = m2vcos m1vm1 = 0 (1),另一方面，對于炮彈應用速度合

9、成定理，可得,v = ve + vr,考慮到 ve = vm1，并將上式投影到軸 x 和 y 上，就得到,vcos = vrcos vm1 (2),vsin = vrsin (3),聯(lián)立求解上列三個方程，即得,考慮到初始瞬時系統(tǒng)處于平衡，即有pox=0，于是有,例 題 3,例題 動量定理,24,鍛錘 A 的質(zhì)量 m = 3 000 kg，從高度 h = 1.45 m處自由下落到鍛件 B 上。假設(shè)鍛錘由接觸鍛件到最大變形的時間t = 0.01 s，求鍛錘作用在鍛件上的平均碰撞力。,例 題 4,例題 動量定理,25,解：,取鍛錘作為研究對象。它從高度 h 自由下落到鍛件產(chǎn)生最大變形的過程，可分成兩

10、個階段。,1. 碰撞前的自由下落階段。,從而求得碰撞前鍛錘速度的大小,鍛錘只受重力作用，自由落體得,例 題 4,例題 動量定理,26,該階段鍛錘受重力 mg 和鍛件對鍛錘的碰撞力（設(shè)其平均值為 FB）的作用，寫出動量定理在鉛直軸 y 上的投影式，并注意鍛件變形最大時鍛錘速度為零。有,0 mv = mgt FB t,從而求得,代入求出的速度 v 和已知數(shù)據(jù)，即得,FB = 16.3 102 kN,2. 鍛錘由開始接觸鍛件到最大變形階段。,例 題 4,例題 動量定理,27,如圖表示水流流經(jīng)變截面彎管的示意圖。設(shè)流體是不可壓縮的，流動是穩(wěn)定的。求流體對管壁的作用力。,例 題 5,例題 動量定理,28

11、,從管中取出所研究的兩個截面aa與bb之間的流體作為質(zhì)點系。,時間間隔dt內(nèi)質(zhì)點系動量的變化為,解：,設(shè)想經(jīng)過無限小的時間間隔dt，這一部分流體流到兩個截面a1a1與b1b1之間。令qv為流體在單位時間內(nèi)流過截面的體積流量，為密度。,則質(zhì)點系在時間dt內(nèi)流過截面的質(zhì)量為,例 題 5,例題 動量定理,29,將動量定理應用于所研究的質(zhì)點系，質(zhì)點系受力有：重力W、管壁對質(zhì)點系的作用力F，以及截面受到流體的壓力Fa和Fb，則有,因為管內(nèi)流動是穩(wěn)定的，有 于是,dt為極小，可認為在截面aa與a1a1之間各質(zhì)點的速度相同，截面b1b1與bb之間各質(zhì)點的速度相同，于是得,Fb,例 題 5,例題 動量定理,3

12、0,消去時間dt，得,若將管壁對于流體的約束力F分為兩部分：F為與外力W，F(xiàn)a和Fb相平衡的管壁靜約束力。F為由于流體的動量發(fā)生變化而產(chǎn)生的附加動約束力。即F由下式計算：,附加動約束力由下式確定：,設(shè)截面aa與bb的面積分別為Sa和Sb，由不可壓縮流體的連續(xù)性定律知,例 題 5,例題 動量定理,31,因此，只要知道流速和曲管的尺寸，即可求得附加動約束力。,如圖為一水平等截面直角彎管，流體對管壁的附加作用力大小等于管壁對流體作用的附加動約束力，即,由此可見，當流速很高或管子截面積很大時，附加動壓力很大，在管子的彎頭處應該安裝支座。,v2,v1,O,x,y,在應用前面的公式時應取投影形式。,例 題

13、 5,例題 動量定理,32,圖示單擺B的支點固定在一可沿光滑的水平直線軌道平移的滑塊A上，設(shè)A，B的質(zhì)量分別為mA，mB，運動開始時，x=x0， , ， 。試求單擺B的軌跡方程。,例 題 6,例題 動量定理,33,解：以系統(tǒng)為對象，其運動可用滑塊A的坐標x和單擺擺動的角度兩個廣義坐標確定。,解出,單擺B的坐標為,則,由于沿x方向無外力作用，且初始靜止，系統(tǒng)沿x軸的動量守恒，質(zhì)心坐標xC應保持常值xC0。,例 題 6,例題 動量定理,34,消去 ，即的到單擺B的軌跡方程：,是以 x= xC0 , y=0 為中心的橢圓方程，因此懸掛在滑塊上的單擺也稱為橢圓擺。,例 題 6,例題 動量定理,35,軌

14、跡演示,例 題 6,例題 動量定理,參見動畫：動量定理例題6,36,11-3質(zhì)心運動定理,將 代入到質(zhì)點系動量定理，得,若質(zhì)點系質(zhì)量不變，,則 或,上式稱為質(zhì)心運動定理（或質(zhì)心運動微分方程）。質(zhì)點系的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。,1. 投影形式：,37,3. 質(zhì)心運動定理是動量定理的另一種表現(xiàn)形式，與質(zhì)點運動微分方程形式相似。對于任意一個質(zhì)點系， 無論它作什么形式的運動， 質(zhì)點系質(zhì)心的運動可以看成為一個質(zhì)點的運動， 并設(shè)想把整個質(zhì)點系的質(zhì)量都集中在質(zhì)心這個點上， 所有外力也集中作用在質(zhì)心這個點上。,或,38,若開始時系統(tǒng)靜止，即 則 常矢量,質(zhì)心位置

15、守恒。,若則 常量，質(zhì)心沿x方向速度不變；,若，,若存在 , 則 常量，質(zhì)心在x 軸的位置坐標保持不變。,5質(zhì)心運動定理可求解兩類動力學問題： 已知質(zhì)點系質(zhì)心的運動, 求作用于質(zhì)點系的外力(包括約束反力)。 已知作用于質(zhì)點系的外力，求質(zhì)心的運動規(guī)律。,只有外力才能改變質(zhì)點系質(zhì)心的運動, 內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運動，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的運動。,4質(zhì)心運動守恒形式：,常矢量，質(zhì)心作勻速直線運動；,則,39, 動畫,動量定理,參見動畫：質(zhì)心運動定理實例1,40, 動畫,動量定理,參見動畫：質(zhì)心運動定理實例2,41,x,y,O,A,B,Fx,Fy,FN,曲柄滑塊機構(gòu)如圖所示。設(shè)曲柄OA受力偶作用以勻角

16、速度轉(zhuǎn)動，滑塊B沿x軸滑動。若OA=AB=l，OA及AB皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量皆為m1，滑塊B的質(zhì)量為m2 。試求支座O處的水平約束力。,例 題 7,例題 動量定理,42,選取整個機構(gòu)為研究對象，其水平方向只承受O處約束力的作用。列出質(zhì)心運動定理在x軸上的投影式,此系統(tǒng)質(zhì)心坐標為,x,y,O,A,B,Fx,Fy,FN,解：,將xC對時間取二階導數(shù),代入上式（a），求得,（a）,例 題 7,例題 動量定理,43,整個系統(tǒng)在鉛垂方向除有重力外，O，B兩處受有y方向約束力Fy和FN。列出質(zhì)心運動定理在y軸上的投影式,質(zhì)心yC對時間取二階導數(shù)，代入上式，求得,以整個系統(tǒng)為研究對象，只能求出O，B兩處y向約束反之和，而不能分別求出各自的值。,x,y,O,A,B,Fx,Fy,FN,例 題 7,例題 動量定理,44, 動畫,動量定理,參見動畫：動量定理動畫,45,如圖所