第五章 系統(tǒng)的頻率特性.ppt

1、機(jī)械控制理論基礎(chǔ),第五章 系統(tǒng)的頻率特性,系統(tǒng)的頻率特性,5.1 頻率特性 5.2 頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（伯德圖） 5.3 頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（奈奎斯特圖） 5.5 最小相位系統(tǒng)的概念 5.6 閉環(huán)頻率特性與頻域性能指標(biāo) 5.7 系統(tǒng)辨識(shí),5.1 頻率特性,1. 頻率特性的概念,頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,輸出與輸入的正弦幅值之比為,輸出與輸入的正弦相位差為,式中： 是在系統(tǒng)傳遞函數(shù) 中令 得來， 稱為系統(tǒng)的頻率特性， 和 分別表示頻率特性的幅值和相位角。當(dāng) 從0變化到時(shí)， 和 的變化情況分別稱為系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性，總稱為頻率特性。,輸出與輸入的正弦幅值之比為,輸出與輸入的

2、正弦相位差為,2.頻率特性的含義及特點(diǎn),（1）頻率特性分析是通過分析不同諧波輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來表示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。,傳遞函數(shù) 是輸出 與輸入 的拉氏變換之比，故,式中：,（58）,（59）,同理：,系統(tǒng)的頻率特性為輸出和輸入的傅氏變換之比。,（510）,（514）,式中：,（58）,（59）,（2）系統(tǒng)的頻率特性是系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù) 的傅氏變換：,（513）,（3）在經(jīng)典控制理論范疇，頻域分析法比時(shí)域分析法簡(jiǎn)單,因?yàn)樗粌H可以方便地研究參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響，而且可方便地研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并可直接在頻域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正和綜合，以改善性能。對(duì)于外部干擾和噪聲信號(hào)，可通過頻率特性分析，在系統(tǒng)設(shè)

3、計(jì)時(shí)，選擇合適的帶寬，從而抑制其影響。,（4）對(duì)于高階系統(tǒng)，應(yīng)用頻域分析法比較簡(jiǎn)單,對(duì)于高階系統(tǒng)，應(yīng)用時(shí)域分析法比較困難，而應(yīng)用頻域分析法較為簡(jiǎn)單，尤其在系統(tǒng)設(shè)計(jì)和校正時(shí)。,3. 機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)剛度的概念,圖3-2所示，質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為：,系統(tǒng)阻尼比 ，系統(tǒng)無阻尼自然頻率 。 系統(tǒng)的頻率特性為：,上式反映了動(dòng)態(tài)作用力 與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變形 之間的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上 表示的是機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔度 ，也就是它的動(dòng)剛度 的倒數(shù)。,即該機(jī)械系統(tǒng)的靜剛度為k。,（515）,其動(dòng)剛度曲線如右圖所示，對(duì) 求偏導(dǎo)，并令,可得當(dāng),具有最小值,（516）,由此可以看出，增大機(jī)械結(jié)構(gòu)的阻尼 ，能大大提高系統(tǒng)的動(dòng)剛度。若,則

4、系統(tǒng)不存在諧振頻率，也不會(huì)發(fā)生諧振。,例5.1 如圖所示系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為 ，求系統(tǒng)的頻率特性及系統(tǒng)對(duì)正弦輸入 的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,解：令 則系統(tǒng)的頻率特性為,系統(tǒng)的幅頻特性為,系統(tǒng)的相頻特性為：,根據(jù)頻率響應(yīng)的定義得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：,如果輸入的不是正弦信號(hào)，而是一個(gè)階躍信號(hào),輸出的傅氏變換為：,其幅值為:,相位為：,輸出響應(yīng)為：,可以看出輸出 也不是正弦函數(shù)。,例5.2 如圖所示吸振器系統(tǒng)，若質(zhì)量塊 受到干擾力 ，如何選擇吸振器參數(shù) 和 ，使質(zhì)量塊產(chǎn)生的振幅最小。,解：建立系統(tǒng)的微分方程,其動(dòng)剛度,則位移x1與干擾力f之間的傳遞函數(shù)為：,而,由頻率響應(yīng)可知，當(dāng)系統(tǒng)輸入為正弦信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)輸出為同頻率

5、正弦信號(hào)。顯然要使 ,則應(yīng)使,即應(yīng)選擇吸振器參數(shù)滿足上式時(shí)，可使質(zhì)量 的振幅為零，施加于 的干擾被 和 吸收了，這就是振動(dòng)控制中的吸振器。,例5.3 一典型質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)如圖所示，系統(tǒng)輸入力f(t)為矩形波。f(t)=f(t-2T)，試求系統(tǒng)的輸出位移x(t)。,解：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,其幅頻特性,相頻特性,根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)輸出表達(dá)式為：,4.頻率特性的表示方法,（1）對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖或稱伯德(Bode)圖 （2）極坐標(biāo)圖或稱奈奎斯特(Nyquist)圖 （3）對(duì)數(shù)幅相圖或稱尼柯爾斯(Nichols)圖,5.2頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（伯德圖）,1.對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖,伯德圖：以對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示的頻率特

6、性圖，由對(duì)數(shù)幅頻圖和對(duì)數(shù)相頻圖組成。橫坐標(biāo)是按頻率 的以10為底的對(duì)數(shù)分度。,用對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示頻率特性的優(yōu)點(diǎn)： 可以將幅值相乘轉(zhuǎn)化為幅值相加，便于繪制多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖； 可采用漸近線近似的方法繪制對(duì)數(shù)幅頻圖，簡(jiǎn)單方便，尤其是在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、校正及系統(tǒng)辨識(shí)方面，優(yōu)點(diǎn)更突出； 對(duì)數(shù)分度擴(kuò)展了頻率范圍，尤其是低頻段的擴(kuò)展，對(duì)分析機(jī)械系統(tǒng)的頻率特性是有利的。,2.各種典型環(huán)節(jié)的伯德圖,（1）比例環(huán)節(jié)K,比例常數(shù)K不隨頻率而變，故其幅頻特性和相頻特性都是平行于橫軸的水平直線，大小分別為20lgK和0。,（2）積分環(huán)節(jié),對(duì)數(shù)幅頻特性為：,對(duì)數(shù)幅頻圖為一直線，且過(1,0)點(diǎn)，斜率為：-

7、20dB/dec,對(duì)數(shù)相頻特性為：,相位角與頻率無關(guān)，是一條平行于橫軸的直線,若系統(tǒng)包含兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，即 ，則其對(duì)數(shù)幅頻特性為,對(duì)數(shù)幅頻圖為過(1,0)點(diǎn)，斜率為-40dB/dec的直線,相頻特性為,（3）微分環(huán)節(jié),對(duì)數(shù)幅頻特性為：,對(duì)數(shù)幅頻圖為一條過(1,0)點(diǎn)，斜率為20dB/dec的直線,對(duì)數(shù)相頻特性為：,當(dāng)有兩個(gè)微分環(huán)節(jié)時(shí)，幅頻特性為過(1,0)斜率為40 dB/dec的直線；相頻特性為平行于橫軸的水平線，相位角恒等于180度。,（4）一階慣性環(huán)節(jié),其幅頻特性,其相頻特性,工程上經(jīng)常采用近似作圖法來畫幅頻特性曲線，方法如下：,右圖即為慣性環(huán)節(jié)伯德圖，可以看出漸近線近似畫法的誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)

8、角頻率處，誤差值為：,此外，可以看出慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波的特性。,（5）一階微分環(huán)節(jié),幅頻特性,相頻特性,可以看出一階微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻圖對(duì)稱于零分貝線。,（6）振蕩環(huán)節(jié),幅頻特性,相頻特性,（526）,（525）,可以看出漸近線與阻尼比 無關(guān)，但實(shí)際幅值變化與有 關(guān)，在 附近時(shí)，若 值較小，則會(huì)產(chǎn)生諧振峰。,由（525）求出對(duì)數(shù)幅頻曲線的漸近線：,即漸近線是一條零分貝線,相頻特性： 以 為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)于不同 的 值，形成一簇對(duì)數(shù)相頻曲線。,（7）二階微分環(huán)節(jié),幅頻特性,相頻特性,可以看出二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性與振蕩環(huán)節(jié)只是相差一個(gè)符號(hào)，故其對(duì)數(shù)幅頻曲線對(duì)稱于零分貝線，對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)

9、稱于 線。,（8）延時(shí)環(huán)節(jié),幅頻特性,即對(duì)數(shù)幅頻曲線為一條零分貝直線。,相頻特性,相位角隨頻率 成線性變化，但對(duì)于對(duì)數(shù)分度，相頻特性則表現(xiàn)為曲線。,3.繪制伯德圖的一般步驟,（1）由傳遞函數(shù) 求出頻率特性 ，并將 化為若干典型環(huán)節(jié)頻率特性相乘的形式； （2）求出各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率 等參數(shù)； （3）分別畫出各典型環(huán)節(jié)的幅頻曲線的漸近線和相頻曲線； （4）將各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻曲線的漸近線進(jìn)行疊加，得到系統(tǒng)幅頻曲線的漸近線，并對(duì)其進(jìn)行修正； （5）將各環(huán)節(jié)相頻曲線疊加，得到系統(tǒng)的相頻曲線。,例5.4 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,畫出系統(tǒng)的伯德圖,解：（1）求系統(tǒng)的頻率特性 ，并化成典型環(huán)節(jié)相乘形式,（2）

10、求各典型環(huán)節(jié)的參數(shù),比例環(huán)節(jié),積分環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié),一階微分環(huán)節(jié),（3）分別畫出各典型環(huán)節(jié)的幅頻曲線的漸近線和對(duì)數(shù)相頻曲線。,（4）將各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻曲線的漸近線進(jìn)行疊加，得到系統(tǒng)幅頻曲線的漸近線，并對(duì)其進(jìn)行修正。,4.系統(tǒng)類型和對(duì)數(shù)幅頻曲線之間的關(guān)系,設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 為：,其開環(huán)頻率特性為：,即低頻漸近線是 分貝的水平線，如右圖所示,（1）靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp,對(duì)于0型系統(tǒng)，其對(duì)數(shù)幅頻曲線在低頻段即 時(shí)，幅值為,（2）靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv,對(duì)于I型系統(tǒng)，其對(duì)數(shù)幅頻曲線在低頻段是一條斜率為20dB/dec的線段,即 ，速度誤差系數(shù)Kv在數(shù)值上等于交點(diǎn)頻率 。,當(dāng) 時(shí)，其幅值為：,即

11、速度誤差系數(shù)Kv與對(duì)數(shù)幅頻曲線低頻率起始線段（或其延長(zhǎng)線）在 時(shí)的對(duì)應(yīng)幅值相等。 若該線段或其延長(zhǎng)線與零分貝線的交點(diǎn)頻率為 ，則：,（3）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka,對(duì)于II型系統(tǒng)，其對(duì)數(shù)幅頻曲線在低頻段是一條斜率為40dB/dec的線段,即加速度誤差系數(shù)Ka與對(duì)數(shù)幅頻曲線起始段（或延長(zhǎng)線）在 處對(duì)應(yīng)的幅值相等。,若該線段或其延長(zhǎng)線與零分貝線的交點(diǎn)頻率為,即 ，速度誤差系數(shù)Ka在數(shù)值上等于交點(diǎn)頻率 。,5.3 頻率特性的極坐標(biāo)圖（奈奎斯特圖）,1. 極坐標(biāo)圖,優(yōu)點(diǎn)：可以將系統(tǒng)在整個(gè)頻域中的頻率特性表現(xiàn)在一張圖上，在進(jìn)行穩(wěn)定性分析和系統(tǒng)校正時(shí)，應(yīng)用極坐標(biāo)圖比較方便。,缺點(diǎn)：繪圖時(shí)必須計(jì)算出每個(gè)頻率下

12、的幅值和相位角，對(duì)多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的系統(tǒng)，需要將某一頻率下各環(huán)節(jié)的幅值相乘、相位相加，不如伯德圖方便。,的極坐標(biāo)圖是當(dāng) 從零變化到無窮大時(shí)，表示在極坐標(biāo)上的 的幅值與相角的關(guān)系圖。極坐標(biāo)圖是在復(fù)平面內(nèi)用不同頻率的矢量端點(diǎn)軌跡來表示系統(tǒng)的頻率特性。,2. 典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖,（1）比例環(huán)節(jié)K,幅頻特性和相頻特性分別為：,極坐標(biāo)為實(shí)軸上的一點(diǎn),（2）積分環(huán)節(jié),幅頻特性和相頻特性分別為：,極坐標(biāo)為負(fù)虛軸，且由負(fù)無窮遠(yuǎn)處指向原點(diǎn)。,（3）微分環(huán)節(jié),幅頻特性和相頻特性分別為：,極坐標(biāo)為正虛軸，且由原點(diǎn)指向正無窮遠(yuǎn)處,（4）慣性環(huán)節(jié),式中：,（5）一階微分環(huán)節(jié),幅頻特性和相頻特性分別為：,一階微分環(huán)節(jié)為過點(diǎn)（

13、1，0），平行于虛軸的上半部直線。,幅頻特性和相頻特性分別為：,（6）振蕩環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖與阻尼比 有關(guān)，對(duì)應(yīng)不同的值，形成一簇極坐標(biāo)曲線。對(duì)于欠阻尼系統(tǒng) 的情況，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn),諧振峰值，記作 ，該頻率 稱諧振頻率。對(duì)于過阻尼系統(tǒng) ，極坐標(biāo)接近一個(gè)半圓，因?yàn)?很大時(shí)，特征方程的根全為實(shí)根，而起主導(dǎo)作用的是靠近虛軸的極點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)接近為一階慣性環(huán)節(jié)。,幅頻特性和相頻特性分別為：,（7）二階微分環(huán)節(jié),二階微分環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖與阻尼比 有關(guān)，對(duì)應(yīng)不同的值，形成一簇極坐標(biāo)曲線。不論 如何，極坐標(biāo)曲線在 時(shí)，從點(diǎn)(1,0)開始，在 時(shí)指向無窮遠(yuǎn)處。,（8）延時(shí)環(huán)節(jié),幅頻特性和相頻特性分別為：,由上面

14、式子可以看出，延時(shí)環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為單位圓，特點(diǎn)是信號(hào)通過延時(shí)環(huán)節(jié)時(shí)，幅值不變而相位角發(fā)生改變，輸出滯后于輸入，滯后角與輸入信號(hào)的頻率成正比增大。,當(dāng)慣性環(huán)節(jié)與其他環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)的頻率特性會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的變化，例如與慣性環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)和延時(shí)環(huán)節(jié)串聯(lián)。,慣性環(huán)節(jié)與比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為第四象限半圓，加入延時(shí)環(huán)節(jié)后，對(duì)應(yīng)每一頻率的幅值不變，但相位滯后了 。系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖由原來的第四象限內(nèi)的半園擴(kuò)展到整個(gè)復(fù)平面。,3.系統(tǒng)奈奎斯特圖的一般畫法,例5.5 畫出下列兩個(gè)0型系統(tǒng)的奈奎斯特圖，其中K，T1，T2，T3均大于零,上式說明0型系統(tǒng)的奈奎斯特圖的起點(diǎn)均為正實(shí)軸上的一個(gè)有限點(diǎn)（K，0）。,例5.6 畫出

15、下列兩個(gè)I型系統(tǒng)的奈奎斯特圖，其中K，T1，T2均大于零,解：頻率特性可表示為,幅頻特性為,相頻特性為,（532）,根據(jù)式532，令 對(duì) 的實(shí)部和虛部分別取極限,解： 較 增加了一個(gè)慣性環(huán)節(jié),（533）,幅頻特性為,相頻特性為,根據(jù)式533，令 對(duì) 的實(shí)部和虛部分別取極限,例5.7 畫出下面II型系統(tǒng)的奈奎斯特圖，其中K，T1，T2均大于零,解：頻率特性可表示為,（534）,幅頻特性為,相頻特性為,例5.8 畫出如下系統(tǒng)的奈奎斯特圖，其中K，T均大于零,解：系統(tǒng)頻率特性,幅頻特性為,相頻特性為,對(duì)于一般形式的系統(tǒng)頻率特性,對(duì)于不同型次的系統(tǒng)，其奈奎斯特圖具有以下特點(diǎn)：,（1）當(dāng) 時(shí)，奈奎斯特圖

16、起點(diǎn)取決于系統(tǒng)的型次,0型系統(tǒng) 起始于正實(shí)軸的某一有限點(diǎn)；,I型系統(tǒng) 起始于相位角為 的無窮遠(yuǎn)處，漸近線為一平行于虛軸的直線；,II型系統(tǒng) 起始于相位角為 的無窮遠(yuǎn)處。,（2）當(dāng) 時(shí)，若 ，奈奎斯特圖以順時(shí)針方向收斂于原點(diǎn)，即幅值為零，相位角與分母和分子階次之差有關(guān)，即,（3）當(dāng) 含有零點(diǎn)時(shí)，其頻率特性 的相位將不隨頻率的增大而單調(diào)減小，奈奎斯特圖會(huì)產(chǎn)生“變形”或“彎曲”，具體畫法與各環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)有關(guān)。,5.4 最小相位系統(tǒng)的概念,1. 最小相位系統(tǒng),最小相位系統(tǒng)：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)都在s平面的左半平面。,特點(diǎn)：頻率從零變化到無窮大，相位角變化范圍最小，且當(dāng) 時(shí)，其相位角為,

17、2. 非最小相位系統(tǒng),非最小相位系統(tǒng)：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 有零點(diǎn)或極點(diǎn)在s平面的右半平面。,特點(diǎn)：頻率從零變化到無窮大，相位角變化范圍總大于最小相位系統(tǒng)，且當(dāng) 時(shí)，其相位角不等于,例5.10 判斷下面?zhèn)鬟f函數(shù)是否為最小相位系統(tǒng)，分別畫出伯德圖，并比較相頻特性，其中T1T20,解：分別寫出三個(gè)系統(tǒng)零點(diǎn)和極點(diǎn)并畫出分布圖,可以看出它們中只有 為最小相位系統(tǒng)， 和 為非最小相位系統(tǒng)。,可以看出它們的幅頻特性相同，相頻特性不同分別為：,例5.11 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，求其頻率特性,解：該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，其頻率特性為：,幅頻特性為,相頻特性為,右圖為其奈奎斯特圖（其中k取3）,5.6 閉環(huán)頻率特

18、性與頻域性能指標(biāo),1.閉環(huán)頻率特性,如圖所示系統(tǒng)其閉環(huán)傳遞函數(shù)為,則,被稱作閉環(huán)頻率特性,2.頻域性能指標(biāo),(1)諧振峰值 和諧振頻率,若 ，則諧振峰值為 ，又稱相對(duì)諧振峰值，若取分貝值，則：,將閉環(huán)頻率特性的幅值用 表示。,當(dāng) 的幅值為 時(shí)， 的最大值 稱作諧振峰值。,在諧振峰值處的頻率 稱為諧振頻率。,例如：圖示二階系統(tǒng)頻率特性為,幅頻特性為,令 ，則：,當(dāng) 取最大值 時(shí)，應(yīng)滿足：,可得：,在 范圍內(nèi)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生諧振峰值Mr ，而且 越小，Mr越大；諧振頻率 與系統(tǒng)的阻尼自然頻率 ，無阻尼自然頻率 有如下關(guān)系：,當(dāng) 時(shí)， ， ， 系統(tǒng)產(chǎn)生共振。當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)不存在諧振頻率 ，即不產(chǎn)生諧振。,

19、二階系統(tǒng)Mr與阻尼比 的關(guān)系如圖46所示。當(dāng) 時(shí)Mr迅速增大，此時(shí)瞬態(tài)響應(yīng)超調(diào)量Mp也增大，當(dāng) 時(shí)，Mr和Mp存在著相似關(guān)系。對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)，通常要求,(2) 截止頻率 和頻寬,截止頻率是指系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的對(duì)數(shù)幅值下降到其零頻率幅值以下3dB時(shí)的頻率，即：,故 也可以說是系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性幅值為其零頻率幅值的 時(shí)的頻率，如圖：,系統(tǒng)的頻寬：指從0到 的頻率范圍。 頻寬（或稱帶寬）表征系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，也反映了系統(tǒng)對(duì)噪聲的濾波性能。大的頻寬可以改善系統(tǒng)的響應(yīng)速度，使其跟蹤或復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的精度提高，但同時(shí)對(duì)高頻噪聲的過濾特性降低，系統(tǒng)抗干擾性能減弱。因此，必須綜合考慮來選擇合適的頻帶寬度。,一階系統(tǒng)頻寬的求解：,得：,故,一階系統(tǒng)的截止頻率 等于系統(tǒng)的轉(zhuǎn)角頻率 ，即等于系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。說明頻寬越大，系統(tǒng)時(shí)間