向量數(shù)乘及幾何意義.ppt

1、2.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義,數(shù)學(xué)源于生活，高于生活，服務(wù)于生活,復(fù)習(xí)回顧,1.已知兩個(gè)非零向量a和b，如何求作它們的和向量、差向量？,1.向量加法三角形法則:,特點(diǎn):首是首， 尾是尾,特點(diǎn):共起點(diǎn),特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量,2.向量加法平行四邊形法則:,3.向量減法三角形法則:,問題提出,1.相同的幾個(gè)數(shù)相加可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，如33333=53=15.那么相等的幾個(gè)向量相加是否也可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算呢？,探究一：向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義,思考1：已知非零向量a，如何求作向量a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)？,aaa,(-a)+(-a)+(-a),a+a+a記為3

2、a，(-a)+(-a)+(-a)記為-3a.,一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作a，,（1）|a|=|a|；,（2）當(dāng)0時(shí),a與a方向相同； 當(dāng)0時(shí),a與a方向相反； 當(dāng)=0時(shí),a =0.,向量的數(shù)乘的定義,注意:若a=0，,則=0或a=0.,探究二:向量數(shù)乘運(yùn)算律,1.結(jié)合律(ab)c=a(bc), 2.分配律(a+b)c= ac+bc；,實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律,設(shè)、為實(shí)數(shù)，則 1）(a)=() a ； 2）(+) a =a +a； 3）(a+b)=a+b.,向量的數(shù)乘結(jié)合律和分配律,以上通過作圖可驗(yàn)證,特別提醒：(-)a=-( a) = (- a) (a-

3、b)=a-b,題組一：,例1 計(jì)算 (1)(-3)4a； (2)3(a+b)-2(a-b)-a； (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c）.,解：1） 原式=(-34)a,解（2）原式=- 3a+3b-2a+2b-a,解：（3） 原式=2a+3b-c-3a+2b-c,=-12a,=5b,= -a+5b-2c,練習(xí)課本: 1. p90-3,(2)b= a.,(1)b=2a.,(4)b= a.,(3)b= a.,練習(xí)課本：2. p90-5,(1) 3a-2b,(3) 2ya,思考2：引入向量的數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間有何關(guān)系？,a,A,B,l,向量共線定理：向量a（a0）與b共

4、線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使b=a.,若a0，上述定理成立嗎？,b,形：,數(shù)：,共線,b=a.,2.若a，b不共線， -ma+2b與a-3b共線，則實(shí)數(shù)m的值為_.,練習(xí)課本: 1. p90-4,例2 如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a， b，試作 =ab， =a2b， =a3b.你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？,題組二,向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)、x、y，則,(xayb）=xayb.,例4 如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，且 =a， =b，試用a,b表示向量 、 、 、,解：平行四邊形ABCD,又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分,若向量a,b不共線，是否可以用向量a,b來表示平面上的任一向量？,小結(jié)作業(yè),1.向量的數(shù)乘概念,注意:若a=0，則可能有=0,也可能有a=0.,3. 向量共線定理,2.向量的數(shù)乘運(yùn)算律,注意:不是規(guī)定，而是可以證明的結(jié)論.,注意:平面幾何中證明三點(diǎn)共