數(shù)學(xué)分析第十八章課件極值與條件極值 精選文檔

1、第十八章,極值與條件極值,第一節(jié),極值與最小二乘法,x,y,z,一、,多元函數(shù)的極值,定義,:,若函數(shù),則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值,(,極小值,).,例如,:,在點(diǎn),(0,0),有極小值,;,在點(diǎn),(0,0),有極大值,;,在點(diǎn),(0,0),無極值,.,極大值和極小值,統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),.,),(,),(,0,0,y,x,f,y,x,f,?,),(,),(,(,0,0,y,x,f,y,x,f,?,或,2,2,4,3,y,x,z,?,?,2,2,z,x,y,?,?,y,x,z,?,),(,),(,0,0,y,x,y,x,f,z,在點(diǎn),?,的某鄰域內(nèi)有,x,y,z,x,y,z

2、,說明,:,使偏導(dǎo)數(shù)都為,0,的點(diǎn)稱為駐點(diǎn),.,例如,定理,1,(,必要條件,),函數(shù),偏導(dǎo)數(shù),證,:,據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立,.,0,0,0,0,(,),0,(,),0,x,y,f,xy,f,xy,?,?,取得極值,取得極值,取得極值,但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),.,有駐點(diǎn),( 0, 0 ),但,在該點(diǎn)不取極值,.,且在該點(diǎn)取得極值,則有,),(,),(,0,0,y,x,y,x,f,z,在點(diǎn),?,存在,),(,),(,0,0,y,x,y,x,f,z,在點(diǎn),因,?,在,),(,0,y,x,f,z,?,0,x,x,?,故,在,),(,0,y,x,f,z,?,0,y,y,?,y,x,z

3、,?,定理,2,(,充分條件,),的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,令,若函數(shù),的,在點(diǎn),),(,),(,0,0,y,x,y,x,f,z,?,0,),(,0,),(,0,0,0,0,?,?,y,x,f,y,x,f,y,x,0,0,0,0,0,0,(,),(,),(,),x,x,x,y,y,y,A,f,x,y,B,f,x,y,C,fx,y,?,?,?,時(shí),具有極值,則,: 1),當(dāng),2),當(dāng),3),當(dāng),時(shí),沒有極值,.,時(shí),不能確定,需另行討論,.,2,0,A,C,B,?,?,時(shí)取極小值,;,0,A,?,時(shí)取極大值,;,0,A,?,2,0,A,C,B,?,?,2,0,A,C,B,?,?,二

4、、最值應(yīng)用問題,函數(shù),f,在閉域上連續(xù),函數(shù),f,在閉域上可達(dá)到最值,最值可疑點(diǎn),?,?,?,穩(wěn)定點(diǎn)，偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),邊界上的最值點(diǎn),特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且,只有一個(gè),極值點(diǎn),P,時(shí),),(,P,f,為極小,值,),(,P,f,為最小,值,(,大,),(,大,),依據(jù),第二節(jié),條件極值與拉格朗日乘數(shù)法,三、條件極值,極值問題,無條件極值,:,條,件,極,值,:,條件極值的求法,:,方法,1,代入法,.,求一元函數(shù),的無條件極值問題,對自變量只有定義域限制,對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制,例如,轉(zhuǎn),化,0,),(,下,在條件,?,y,x,?,的極,求函數(shù),),(,y,x,f,z

5、,?,),(,0,),(,x,y,y,x,?,?,?,?,中解出,從條件,),(,(,x,x,f,z,?,?,0,),(,下,在條件,?,y,x,?,方法,2,拉格朗日乘數(shù)法,.,如方法,1,所述,則問題等價(jià)于一元函數(shù),可確定隱函數(shù),的極值問題,極值點(diǎn)必滿足,設(shè),記,.,),(,的極值,求函數(shù),y,x,f,z,?,0,),(,?,y,x,?,),(,x,y,?,?,),(,(,x,x,f,z,?,?,例如,故,0,d,d,d,d,?,?,?,x,y,f,f,x,z,y,x,d,d,y,x,x,y,?,?,?,?,因,0,?,?,y,x,y,x,f,f,?,?,y,y,x,x,f,f,?,?,?

6、,故有,?,?,?,引入輔助函數(shù),輔助函數(shù),F,稱為拉格朗日,( Lagrange ),函數(shù),.,0,?,?,?,x,x,x,f,F,?,?,0,?,?,?,y,y,y,f,F,?,?,0,?,?,?,?,F,利用拉格,極值點(diǎn)必滿足,0,?,?,x,x,f,?,?,0,?,?,y,y,f,?,?,0,),(,?,y,x,?,則極值點(diǎn)滿足,:,朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法,.,),(,),(,y,x,y,x,f,F,?,?,?,?,例,1.,求,滿足約束條件,的最大值。,8,V,xyz,?,2,2,2,1,0,x,y,z,x,y,z,?,?,?,?,解：作拉格朗日函數(shù)：,2,2,2,(

7、,)8,(,),L,x,y,z,x,y,z,x,y,z,?,?,?,?,?,令,8,2,0,x,L,y,z,x,?,?,?,?,8,2,0,y,L,x,z,y,?,?,?,?,8,2,0,z,L,x,y,z,?,?,?,?,2,2,2,1,x,y,z,?,?,?,?,1,3,x,y,z,?,?,?,即，穩(wěn)定點(diǎn)：,1,1,1,(,),3,3,3,由實(shí)際問題知所求最大值必存,在，而穩(wěn)定點(diǎn)又唯一，因此唯,一的穩(wěn)定點(diǎn)就是最大值點(diǎn)。故,球內(nèi)接長方體中以正方體的體,積最大。,例,2.,求在,約束條件,(,),f,xyz,x,y,z,?,1,1,1,1,0,x,yz,x,y,z,r,?,?,?,?,下的極小

8、值；,并證明不等式：,1,3,1,1,1,3,(,),3,0,x,y,z,x,y,z,x,y,z,?,?,?,?,?,解：作拉格朗日函數(shù)：,1,1,1,(,),(,),L,xyz,x,y,z,x,y,z,?,?,?,?,?,令,2,0,x,L,y,z,x,?,?,?,?,2,0,y,L,xz,y,?,?,?,?,2,0,z,L,x,y,z,?,?,?,?,1,1,1,1,x,y,z,r,?,?,?,?,3,x,y,z,r,?,?,?,即，穩(wěn)定點(diǎn)：,(3,3,3,),r,r,r,下面判別穩(wěn)定點(diǎn)是極值點(diǎn),記,1,1,1,1,(,),Fx,yz,x,y,z,r,?,?,?,?,則,2,3,1,0,z

9、,z,r,F,(,3,r,3,r,3,r,),z,?,?,?,?,故方程,111,1,1111,(,),0,(,),F,x,y,z,x,y,z,r,x,y,z,r,?,?,?,?,?,?,?,?,在穩(wěn)定點(diǎn),附近可唯一確定可微數(shù),(3,3,3,),r,r,r,(,),z,z,x,y,?,令,(,),(,(,),),g,x,y,fx,y,z,x,y,?,現(xiàn)在用二元函數(shù)取極值的充分條件判別,是,的極值點(diǎn)。,(3,3,),r,r,(,),g,x,y,由約束條件得：,2,2,2,2,z,z,z,z,x,x,y,y,?,?,?,?,?,?,從而,2,g,z,y,z,y,z,x,y,y,z,x,x,x,?,

10、?,?,?,?,?,?,?,2,g,z,x,z,x,z,x,y,x,z,y,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,3,2,2,3,2,2,g,z,y,z,y,z,z,y,z,y,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,3,2,2,g,z,z,y,zz,z,z,z,zy,z,x,y,y,x,x,y,y,x,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,3,2,3,2,g,xz,y,y,?,?,?,故,在,點(diǎn)有,(,),g,x,y,(3,3,),r,r,1,1,1,2,2,1,2,2,2,2,7,0,a,a,D,r,a,a,?,?,?

11、,1,1,6,0,a,r,?,?,.,因此,在,取極小值,(,),g,x,y,(3,3,),r,r,這等價(jià)于,在,取極小值,(,),f,x,y,z,(3,3,3,),r,r,r,3,(,3,3,3,),(,3,),f,r,r,r,r,?,分析約束集,?,?,1,1,1,1,0,D,x,y,z,x,y,z,x,y,z,r,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,是一無界集。當(dāng),在,內(nèi),遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)將,趨于正無,(,),x,y,z,D,窮。因此，函數(shù),的唯一極小值,點(diǎn)是函數(shù)的,最小值點(diǎn)，即,f,f,3,(,3,),(,),x,y,z,r,x,y,z,D,?,?,1,1,1,1,(,),r,

12、x,y,z,?,?,?,?,代入得，,1,3,1,1,1,3,(,),3,0,x,y,z,x,y,z,x,y,z,?,?,?,?,?,推廣,拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多,個(gè)約束條件的情形,.,設(shè),解方程組,可得到條件極值的可疑點(diǎn),.,例如,求函數(shù),下的極值,.,在條件,),(,z,y,x,f,u,?,0,),(,?,z,y,x,?,0,),(,?,z,y,x,?,),(,),(,),(,2,1,z,y,x,z,y,x,z,y,x,f,F,?,?,?,?,?,?,?,0,2,1,?,?,?,?,x,x,x,x,f,F,?,?,?,?,0,2,1,?,?,?,?,y,y,y,y,f,F,?

13、,?,?,?,0,2,1,?,?,?,?,z,z,z,z,f,F,?,?,?,?,0,1,?,?,?,?,F,0,1,?,?,?,?,F,內(nèi)容小節(jié),1.,函數(shù)的極值問題,第一步,利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn),.,即解方程組,第二步,利用充分條件,判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn),.,2.,函數(shù)的條件極值問題,(1),簡單問題用代入法,),(,y,x,f,z,?,?,?,?,?,?,0,),(,0,),(,y,x,f,y,x,f,y,x,如對二元函數(shù),(2),一般問題用拉格朗日乘數(shù)法,設(shè)拉格朗日函數(shù),如求二元函數(shù),下的極值,解方程組,第二步,判別,?,比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小,?,根據(jù)問題的實(shí)際意義確

14、定最值,第一步,找目標(biāo)函數(shù),確定定義域,(,及約束條件,),3.,函數(shù)的最值問題,在條件,求駐點(diǎn),.,),(,y,x,f,z,?,0,),(,?,y,x,?,),(,),(,y,x,y,x,f,F,?,?,?,?,0,?,?,?,x,x,x,f,F,?,?,0,?,?,?,y,y,y,f,F,?,?,0,?,?,?,?,F,習(xí)題,例,1.,求函數(shù),解,:,第一步,求駐點(diǎn),.,得駐點(diǎn),: (1, 0) , (1, 2) , (,3, 0) , (,3, 2) .,第二步,判別,.,在點(diǎn),(1,0),處,為極小值,;,解方程組,A,B,C,?,),(,y,x,f,x,0,9,6,3,2,?,?,?

15、,x,x,?,),(,y,x,f,y,0,6,3,2,?,?,?,y,y,的極值,.,求二階偏導(dǎo)數(shù),6,6,),(,?,?,x,y,x,f,x,x,0,),(,?,y,x,f,y,x,6,6,),(,?,?,?,y,y,x,f,y,y,12,?,A,0,?,B,6,?,C,0,6,12,2,?,?,?,?,B,AC,5,),0,1,(,?,?,?,f,0,?,A,x,y,x,y,x,y,x,f,9,3,3,),(,2,2,3,3,?,?,?,?,?,在點(diǎn),(,?,3,0),處,不是極值,;,在點(diǎn),(,?,3,2),處,為極大值,.,6,6,),(,?,?,x,y,x,f,x,x,0,),(,?

16、,y,x,f,y,x,6,6,),(,?,?,?,y,y,x,f,y,y,12,?,?,A,0,?,B,6,?,C,0,6,12,2,?,?,?,?,?,B,AC,),0,3,(,?,?,f,6,0,12,?,?,?,?,?,C,B,A,31,),2,3,(,?,?,?,f,0,),6,(,12,2,?,?,?,?,?,?,B,AC,0,?,A,在點(diǎn),(1,2),處,不是極值,;,6,0,12,?,?,?,?,C,B,A,),2,1,(,f,?,0,),6,(,12,2,?,?,?,?,?,B,AC,A,B,C,例,2.,討論函數(shù),及,是否取得極值,.,解,:,顯然,(0,0),都是它們的駐點(diǎn)

17、,在,(0,0),點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此,z,(0,0),不是極值,.,因此,0,2,2,時(shí),當(dāng),?,?,y,x,2,2,2,),(,y,x,z,?,?,0,),0,0,(,?,?,z,為極小值,.,正,負(fù),0,3,3,y,x,z,?,?,2,2,2,),(,y,x,z,?,?,在點(diǎn),(0,0),x,y,z,o,并且在,(0,0),都有,0,2,?,?,B,AC,3,3,y,x,z,?,?,可能為,0,),(,),0,0,(,),0,0,(,2,2,2,?,?,?,y,x,z,例,3,.,解,:,設(shè)水箱長,寬分別為,x,y,m,則高為,則水箱所用材料的面積為,令,得駐點(diǎn),某廠要用鐵板做一個(gè)體積為

18、,2,根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省,?,m,2,y,x,?,2,?,A,y,x,y,x,y,2,?,?,?,y,x,x,2,?,?,?,?,y,x,y,x,2,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,0,y,x,0,),(,2,2,2,?,?,?,x,x,y,A,0,),(,2,2,2,?,?,?,y,y,x,A,因此可,斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn),.,即當(dāng)長、寬均為,高為,時(shí),水箱所用材料最省,.,3,m,),2,2,(,3,3,3,2,3,2,2,2,2,3,3,?,?,例,4.,有一寬為,24cm,

19、的長方形鐵板,把,它折起來做成,解,:,設(shè)折起來的邊長為,x,cm,則斷面面積,x,24,一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為,?,?,A,?,cos,2,2,24,x,x,?,?,x,2,24,?,?,(,2,1,?,sin,),x,?,?,?,?,?,sin,cos,sin,2,sin,24,2,2,x,x,x,?,?,?,x,2,24,?,?,x,積最大,.,),0,12,0,:,(,2,?,?,?,?,?,?,x,D,為,問怎樣折法才能使斷面面,?,cos,24,x,?,cos,2,2,x,?,0,),sin,(cos,2,2,2,?,?,?,?,?,x,令,?,x,A,?,sin,24,

20、?,sin,4,x,?,0,cos,sin,2,?,?,?,?,x,?,?,A,解得,:,由題意知,最大值在定義域,D,內(nèi)達(dá)到,而在域,D,內(nèi)只有,一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求,.,0,sin,?,?,0,?,x,?,?,?,?,sin,cos,sin,2,sin,24,2,2,x,x,x,A,?,?,?,),0,12,0,:,(,2,?,?,?,?,?,?,x,D,0,cos,2,12,?,?,?,?,x,x,0,),sin,(cos,cos,2,cos,24,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,(cm,),8,60,3,?,?,?,x,?,?,?,例,5.,要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為,0,V,則問題為求,x,y,令,解方程組,解,:,設(shè),x,y,z,分別表示長、寬、高,下水箱表面積,最小,.,z,使在條件,?,x,F,0,2,?,?,?,z,y,y,z,?,?,y,F,0,2,?,?,?,z,x,x,