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文檔簡介

1、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理(轉(zhuǎn)載三) 七、分類討論思想1.分類討論思想的概念。人們面對比較復(fù)雜的問題,有時無法通過統(tǒng)一研究或者整體研究解決,需要把研究的對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進行分類并逐類進行討論,再把每一類的結(jié)論綜合,使問題得到解決,這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。其實質(zhì)是把問題“分而治之、各個擊破、綜合歸納”。其分類規(guī)則和解題步驟是:(1)根據(jù)研究的需要確定同一分類標(biāo)準(zhǔn);(2)恰當(dāng)?shù)貙ρ芯繉ο筮M行分類,分類后的所有子項之間既不能“交叉”也不能“從屬”,而且所有子項的外延之和必須與被分類的對象的外延相等,通俗的說就是要做到“既不重復(fù)又不遺漏”;(3)逐類逐級進行討論;(4)綜合概括、歸

2、納得出最后結(jié)論。分類討論既是解決問題的一般的思想方法,適應(yīng)于各種科學(xué)的研究;同時也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題較常用的思想方法。2.分類討論思想的具體應(yīng)用。分類討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有很多應(yīng)用,例如從宏觀的方面而言,小學(xué)數(shù)學(xué)可以分為數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率和實踐與綜合應(yīng)用四大領(lǐng)域。從比較具體的知識來說,幾大領(lǐng)域的知識又有很多分支,例如小學(xué)數(shù)學(xué)的認(rèn)知范圍實際上是在有理數(shù)范圍內(nèi),有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù),整數(shù)又可以分為正整數(shù)、零、和負(fù)整數(shù)、整數(shù)根據(jù)它的整除性又可以分為偶數(shù)和奇數(shù)。正整數(shù)又可以分為1、素數(shù)和合數(shù)。小學(xué)數(shù)學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用如下表。思想方法知識點應(yīng)用舉例分類討論思想分類一年級上冊物體的

3、分類,滲透分類思想、集合思想數(shù)的認(rèn)識數(shù)可以分為整數(shù)、0、負(fù)數(shù)有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)(小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù))整數(shù)的性質(zhì)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)正整數(shù)可以分為1、素數(shù)和合數(shù)圖形的認(rèn)識平面圖形中的多邊形可以分為:三角形、四邊形、五邊形、六邊形三角形按角可以分為:銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三角形按邊可以分為:不等邊三角形、等腰三角形,其中等腰三角形又可以分為等邊三角形和腰與底邊不相等的等腰三角形四邊形按對邊是否平行可以分為:平行四邊形、梯形和兩組對邊都不平行的四邊形統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分類整理和描述排列組合分類討論是小學(xué)生了解排列組合思想的基礎(chǔ)概率排列組合是概率計算的基礎(chǔ)植樹問題先確定是幾排樹,再確定每排樹

4、的情況:兩端都不栽、一端栽一端不栽、兩端都栽抽屜原理構(gòu)建抽屜實際上是應(yīng)用分類標(biāo)準(zhǔn),把所有元素進行分類4.分類討論思想的教學(xué)。如前所述,分類討論思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中占有比較重要的地位,而且應(yīng)用比較廣泛。在教學(xué)中應(yīng)注意一下幾點。第一,在分類單元的教學(xué)中,注意滲透分類思想和集合思想,一方面是一般物體的分類,如柜臺上的商品、文具等;另一方面要注意從數(shù)學(xué)的角度分類,如立體圖形、平面圖形、數(shù)的認(rèn)識和運算等。同時注意滲透集合的思想,就是說當(dāng)把某些屬性相同的物體放在一起,作為一個整體,就可以看作一個集合。第二,在三大領(lǐng)域知識的教學(xué)中注意經(jīng)常性地滲透分類思想和集合思想,如平面圖形和立體圖形的分類、數(shù)的分類。第三,注

5、意從數(shù)學(xué)思維和解決問題的方法上滲透分類思想,如排列組合、概率的計算、抽屜原理等問題經(jīng)常運用分類討論思想解決。第四,在統(tǒng)計與概率知識的教學(xué)中,滲透分類的思想。現(xiàn)實生活中數(shù)據(jù)豐富多彩,很多時候需要把收集到的數(shù)據(jù)進行分類整理和描述,從而有利于分析數(shù)據(jù)和綜合地做出推斷。第五,注意讓學(xué)生體會分類分類的目的和作用,不要為了分類而分類。如對商品和物品的分類是為了便于管理和選購,對數(shù)學(xué)知識和方法進行分類,是為了更深入地研究問題、理解知識、優(yōu)化解決問題的方法。第六,注意有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律在一般條件下的適用性和特殊條件下的不適用性。也就是說有些數(shù)學(xué)規(guī)律在一般情況下成立,在特殊情況下不成立;而這種特殊性在小學(xué)數(shù)學(xué)里往往被

6、忽略,長此以往,容易造成學(xué)生思維的片面性。如在小學(xué)里經(jīng)常有爭議的判斷題:如果 5a2b,那么a:b=2:5;有人認(rèn)為是對的,有人認(rèn)為是錯的。嚴(yán)格來說,這道題是錯的,因為這里沒有規(guī)定a和b不等于0。之所以產(chǎn)生分歧,是因為在小學(xué)數(shù)學(xué)里有一個不成為的規(guī)定:在討論整數(shù)的性質(zhì)時,一般情況下不包括0。這種約定是為了避免麻煩,有一定道理;但是這樣就造成了在解決有關(guān)問題時產(chǎn)生分歧,而且不利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性,尤其是學(xué)生進入初中后的學(xué)習(xí)中,經(jīng)常會因為解決問題不全面、忽略特殊情況而出現(xiàn)低級錯誤。案例2:任意給出4個兩兩不等的整數(shù),請說明:其中必有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)。分析:任意一個整數(shù)除以3,余數(shù)只有三種可能

7、:0、1和2。運用分類思想,構(gòu)造這樣的三個抽屜:除以3余數(shù)分別是0、1和2 的整數(shù)。根據(jù)抽屜原理,必有一個抽屜里至少放了兩個數(shù)。這兩個數(shù)除以3的余數(shù)相等,設(shè)這兩個數(shù)分別為3m+r和3n+r(m、n都是整數(shù)),他們的差事3(m-n),必是3的倍數(shù)。八、統(tǒng)計思想1統(tǒng)計思想的概念?,F(xiàn)實生活中有大量的數(shù)據(jù)需要分析和研究,如人口數(shù)量、物價指數(shù)、商品合格率、種子發(fā)芽率等等。有時需要對所有的數(shù)據(jù)進行全面調(diào)查,如我國為了掌握人口的真實情況,曾經(jīng)進行過全國人口普查。一般情況下不可能也不需要考察所有對象,如物價指數(shù)、商品合格率等,就需要采取抽樣調(diào)查的方法收集和分析數(shù)據(jù),用樣本來估計總體,從而進行合理的推斷和決策,

8、這就是統(tǒng)計的思想方法。在統(tǒng)計里主要有兩種估計方法:一是用樣本的頻率分布估計總體的分布,二是用樣本的數(shù)據(jù)特征(如平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù))估計總體的數(shù)據(jù)特征。2統(tǒng)計思想的具體應(yīng)用。在小學(xué)數(shù)學(xué)中,統(tǒng)計思想的應(yīng)用大體上可分為兩種:一是統(tǒng)計作為四大領(lǐng)域知識中的一類知識,安排了很多獨立的單元進行統(tǒng)計知識的教學(xué);二是在學(xué)習(xí)了一些統(tǒng)計知識后,在其他領(lǐng)域知識的學(xué)習(xí)中,都不同程度地應(yīng)用了統(tǒng)計知識,作為知識呈現(xiàn)的載體和解決問題的方法進行教學(xué)。因而,統(tǒng)計思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是比較廣泛的。小學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計的知識點主要有:象形統(tǒng)計圖、単式統(tǒng)計表、復(fù)式統(tǒng)計表、單式條形統(tǒng)計圖、復(fù)式條形統(tǒng)計圖、單式折線統(tǒng)計圖、復(fù)式折線統(tǒng)計圖、扇

9、形統(tǒng)計圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。這些知識作為學(xué)習(xí)統(tǒng)計的基礎(chǔ)是必須掌握的,但更重的是能夠根據(jù)數(shù)據(jù)的特點和解決問題的需要選擇合適的統(tǒng)計圖表或者統(tǒng)計量來描述和分析數(shù)據(jù)、做出合理的預(yù)測和決策。另外,在小學(xué)階段,由于計算難度的制約,解決一些統(tǒng)計問題時選定的樣本容量往往較少,這時我們要注意這樣的統(tǒng)計推斷是否可信。如把一個班級50人作為一個樣本進行調(diào)查收集數(shù)據(jù),進而對全年級甚至同齡人進行估計,要注意50人的數(shù)據(jù)是否具有代表性。如果調(diào)查50人的身高、體重、血型、鞋子號碼、服裝型號分布等等可能是合適的。如果調(diào)查50人出生的月份分布情況,以此來推斷全年級甚至同齡人出生的月份,出現(xiàn)差錯的可能性會大一些。因為一年有

10、12個月,50人平均下來每個月也就4到5人,容量太小代表性就差。第四,對有關(guān)概念應(yīng)正確理解,應(yīng)注重知識的應(yīng)用,避免單純的數(shù)據(jù)計算和概念判斷。如平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別,這三個統(tǒng)計量到底在什么條件下適用,一直困擾著很多老師。另外,有些老師喜歡在一些概念上糾纏,而不是關(guān)注知識的應(yīng)用和實際意義,如讓學(xué)生找出下面一組數(shù)據(jù)的眾數(shù):75 84 84 89 89 92 92 96 98。這樣的問題沒有什么現(xiàn)實意義,不如給一組聯(lián)系實際的數(shù)據(jù),讓學(xué)生去思考用什么量數(shù)作為該組數(shù)據(jù)一般水平的代表,更有意義。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù),代表一般水平。平均數(shù)能反映全體數(shù)據(jù)的信息,任何一個

11、數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變,比較敏感,因而應(yīng)用比較普遍;缺點是易受極端值的影響。日常生活和研究領(lǐng)域的統(tǒng)計數(shù)據(jù),多數(shù)都選擇平均數(shù)作為代表值。如我們國家和地方統(tǒng)計部門經(jīng)常公布的人均產(chǎn)值、人均收入、物價指數(shù)等等,都是應(yīng)用平均數(shù)作為代表值。中位數(shù)處于中間水平,不受極端值的影響,運算簡單,在一組數(shù)據(jù)中起分水嶺的作用;缺點是不能反映全體數(shù)據(jù)的情況,可靠性較差。眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響,運算簡單,當(dāng)要找出適應(yīng)多數(shù)需要的數(shù)值時,常用眾數(shù);缺點是不能反映全體數(shù)據(jù)的情況,可靠性較差。眾數(shù)可能不唯一,甚至有時沒有。這三個統(tǒng)計量有著各自的特點和適用的條件,可以根據(jù)研究和解決問題的需要來選擇;與中位數(shù)和眾數(shù)比較而言,

12、平均數(shù)可以反映更多的樣本數(shù)據(jù)全體的信息。然而他們?nèi)齽t并不是一種完全排斥的關(guān)系,特殊情況下這三個統(tǒng)計量或者其中的兩個統(tǒng)計量都有可能成為一組數(shù)據(jù)一般水平的代表。如學(xué)生的考試成績往往服從正態(tài)或者近似正態(tài)分布,那么這三個統(tǒng)計量很可能相等或者非常接近;這時用三個統(tǒng)計量中的任何一個作為該數(shù)據(jù)一般水平的代表都是可以的。有時把平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合使用,會了解更多的信息。如某次數(shù)學(xué)考試全班49人平均分?jǐn)?shù)為92分,小林考了93分、排名第25、小明的成績比小林高2分??梢园l(fā)現(xiàn)中位數(shù)是93分,小明的成績處于中上等水平,平均分低于中位數(shù),說明可能有極端的低分?jǐn)?shù)。案例1:一家公司2008年和2009年職工年工資情況如下表。

13、職務(wù)總經(jīng)理副總經(jīng)理部門經(jīng)理部門副經(jīng)理普通員工人數(shù)12810792008年工資/萬元875422009年工資/萬元108.564.82.3(1)這家公司2008年和2009年職工平均工資各是多少?(2)這家公司對外宣稱,2009年職工平均工資比2008年增長17%以上,這種說法有不妥之處嗎?分析:(1)2008年和2009年職工平均工資分別為:(8+27+85+104+792)100=2.6(萬元)(10+28.5+86+104.8+792.3)=3.047(萬元)(2)(3.047-2.6)2.617.2%,(2.3-2)2=15%。從全體職工平均工資角度看,2009年比上年增長確實超過了17

14、%。但是代表公司大多數(shù)的普通員工的平均工資低于平均數(shù),增長率也低于平均增長率,普通員工與高級管理人員的收入差距在逐年擴大。案例2:日本和中國2009年國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)大約分別是50458、49285億美元,分別排名世界第二和第三。如果中國人口總數(shù)按13.4億計算,日本人口總數(shù)大約是中國的9.5%。在參加統(tǒng)計的183個經(jīng)濟體中,人均GDP日本排名17位,中國排在101位,排在第92位的人均GDP為4059美元。比較中國和日本GDP的總量及人均GDP,并結(jié)合中位數(shù)分析,你能發(fā)現(xiàn)哪些信息?分析:從GDP總量上來說,中國已經(jīng)排名世界第三,而且與排名第二位的日本非常接近,可以發(fā)現(xiàn)中國是世界經(jīng)濟大國

15、。但是從平均數(shù)的角度看,日本人均GDP為39731美元,中國為3678美元,中國遠(yuǎn)落后于日本,而其低于中位數(shù)4059美元,說明我們的人均GDP處于中下水平。與中等水平相差大約10%。案例3:有關(guān)部門對一個社區(qū)的100個居民月度人均用水量進行了調(diào)查統(tǒng)計,數(shù)據(jù)如下表:用水量/噸23456人數(shù)/人82440226(1)計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。(2)什么數(shù)可以代表居民人均用水量的一般水平?(3)如果采取階梯水價,標(biāo)準(zhǔn)用水量以上加價收費,希望至少70%的居民不受影響,你認(rèn)為人均標(biāo)準(zhǔn)用水量定為多少比較合適?分析:(1)平均數(shù):(28+324+440+522+66)100=3.94(噸)中位數(shù)和

16、眾數(shù)都是4噸。(2)中位數(shù)和眾數(shù)相等,平均數(shù)也約等于中位數(shù)和眾數(shù),這三個量差別很小,都可以作為該組數(shù)據(jù)一般水平的代表。(3)10070%=70,用水量在4噸及以下的人數(shù)為72人,所以人均標(biāo)準(zhǔn)用水量定為4噸比較合適。九、概率思想1.概率思想的概念。生活中的事件可以分為兩類:一類是確定事件,在一定條件下一定發(fā)生的和一定不會發(fā)生的,這些事件都是確定事件;如每天日出日落、四季輪回是一定發(fā)生的,而擲兩枚骰子朝上的兩個數(shù)字的和是13是不可能發(fā)生的。另一類是隨機事件,就是在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,如一個產(chǎn)婦生男嬰還是生女嬰、某種子的發(fā)芽率、某產(chǎn)品的合格率等事件、都是隨機事件。這些隨機事件表面上

17、看雜亂無章,但是大量地重復(fù)觀察這些事件時,這些隨機事件會呈現(xiàn)規(guī)律性,這種規(guī)律叫統(tǒng)計規(guī)律,概率論是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門科學(xué)學(xué)科,統(tǒng)計與概率有著密切的聯(lián)系。(1)事件的分類。事件可以分為確定事件和隨機事件,其中確定事件又可以分為必然事件和不可能事件。在一定條件下一定發(fā)生的是必然事件,一定不會發(fā)生的是不可能事件。(2)頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系。隨機事件發(fā)生的可能性的大小是概率論研究的主要內(nèi)容,通過試驗來觀察隨機事件發(fā)生的可能性的大小是常用的方法。在相同的條件下,重復(fù)進行n次試驗,某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)m就是頻數(shù),就是事件A出現(xiàn)的頻數(shù)。如果試驗的次數(shù)不斷增加,事件A發(fā)生的頻數(shù)穩(wěn)定在某個數(shù)上,就把

18、這個常數(shù)記作P(A),稱為事件A的概率。事件的概率是確定的、不變的常數(shù),是理論上的精確值;而頻率是某次具體試驗的結(jié)果,是不確定的、變化的數(shù),盡管這種變化可能性非常的小。這里的概率是用頻率來界定的,在等可能性隨機試驗中,雖然頻率總是在很小的范圍內(nèi)變化,但我們可以認(rèn)為頻率和概率的相關(guān)性非常的強。也就是說,在一次試驗中,事件A出現(xiàn)的頻率越大、事件A的概率就越大;事件A出現(xiàn)的頻率越小、事件A的概率就越小。反之亦然。2.概率思想的具體應(yīng)用。概率思想主要應(yīng)用于統(tǒng)計與概率領(lǐng)域。一是小學(xué)數(shù)學(xué)第一、第二學(xué)段都安排了可能性的內(nèi)容,如會求簡單的等可能性隨機事件發(fā)生的可能性,根據(jù)等可能性事件設(shè)計公平的游戲規(guī)則。二是統(tǒng)

19、計推斷中很多情況是根據(jù)對隨機事件的相關(guān)數(shù)據(jù)進行分析后,再對隨機發(fā)生的可能性大小進行預(yù)測和決策。如2010年南非世界杯決賽西班牙對荷蘭,有人預(yù)測西班牙奪冠,理由是西班牙是近年歐洲冠軍、實力雄厚;還有人預(yù)測荷蘭衛(wèi)冕,理由是荷蘭是無冕之王、兩次獲得世界杯亞軍。西班牙和荷蘭兩隊歷史上一共交手9次,其中荷蘭4盛1平4負(fù),實力不分上下。所以兩隊奪冠的可能性各占一半。4.概率思想的教學(xué)。2001年,課程改革首次正式把概率的內(nèi)容納入小學(xué)數(shù)學(xué),對這部分內(nèi)容的科學(xué)性和難度的準(zhǔn)確把我是個挑戰(zhàn)。這部分內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)注意以下幾點。第一,隨機事件的發(fā)生是有條件的,是在一定條件下,事件發(fā)生的可能性性有大有??;條件變了,事件發(fā)

20、生的可能性大小也可能會變化。如種子的發(fā)芽率與很多因素有關(guān),如種子的質(zhì)量、保存期限、溫度、水分、土壤、陽光、空氣等等。在各種條件都合適的情況下,發(fā)芽率可能高達90%;條件不合適發(fā)芽率可能降到50%甚至不發(fā)芽。第二,避免把頻率與概率混淆。如最經(jīng)典的就是擲硬幣試驗去驗證概率。從概率的統(tǒng)計定義而言,做拋硬幣試驗是可以的,可以使學(xué)生參與實踐活動、經(jīng)歷知識的形成過程、提高學(xué)習(xí)的興趣。關(guān)鍵是廣大教師心中要明白:試驗次數(shù)少的時候頻率與概率的誤差可能會比較大,但是試驗次數(shù)多,也不能每次都保證頻率與概率相差很小,或者說試驗次數(shù)足夠大的兩次試驗,也不能保證試驗次數(shù)多的比試驗次數(shù)少的誤差小。這是隨機事件本身的特點決定

21、的,教師要通過通俗的語言使學(xué)生清楚這一點。這樣在拋硬幣時出現(xiàn)什么情況都是正常的,在學(xué)生操作的基礎(chǔ)上,有條件的可通過計算機模擬試驗,還要呈現(xiàn)數(shù)學(xué)家們做的試驗結(jié)果,使學(xué)生理解概率的統(tǒng)計定義。十、分析法和綜合法分析與綜合都是思維的基本方法,無論是研究和解決一般問題,還是數(shù)學(xué)問題,分析和綜合都是最基本的具有邏輯性的方法。分析與綜合是兩種思想方法,但因二者具有十分密切的聯(lián)系,因此把二者結(jié)合起來闡述。1.分析和綜合法的概念。分析是把研究對象的整體分解為若干部分、方面和因素,分別加以考察,找出各自的本質(zhì)屬性及彼此之間的聯(lián)系。綜合是把研究對象的各個部分、方面和因素的認(rèn)識結(jié)合起來,形成一個整體性認(rèn)識的思維方法。

22、分析是綜合的基礎(chǔ),綜合是分析的整合,綜合是與分析相反的思維過程。在研究數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)時,往往先把研究對象分解成幾個部分、方面和要素進行考察,在進行整合從整體上認(rèn)識研究對象,形成理性認(rèn)識。實際上教師和學(xué)生都經(jīng)常有意識和無意識地運用了分析和綜合的思維方法。如認(rèn)識等腰梯形時,可以從它的邊和角等幾個要素進行分析:它有幾條邊?幾個角?四條邊有什么關(guān)系?四個角有什么關(guān)系?再從整體上概括等腰梯形的性質(zhì)。數(shù)學(xué)中的分析法一般被理解為:在證明和解決問題時,從結(jié)論出發(fā),一步一步地追溯到產(chǎn)生這一結(jié)論的條件是已知的為止,是一種“執(zhí)果索因”的分析法。綜合法一般被理解為:在證明和解決問題是,從已知條件和某些定義、定理等出發(fā)

23、,經(jīng)過一系列的運算或推理,最終證明結(jié)論或解決問題,是一種“由因?qū)Ч钡木C合法。如小學(xué)數(shù)學(xué)中的問題解決,可以由問題出發(fā)逐步逆推理到已知條件,這是分析法;從已知條件出發(fā),逐步求出所需答案,這是綜合法。再如分析法和綜合法在中學(xué)數(shù)學(xué)作為直接證明的基本方法,應(yīng)用比較普遍。因此,分析法和綜合法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用較為普遍的互相依賴、互相滲透的思想方法。3.分析法和綜合法的具體應(yīng)用。如上所述,分析法和綜合法作為數(shù)學(xué)的思想方法,在小學(xué)數(shù)學(xué)的各個方面都有重要的應(yīng)用。首先,在四大領(lǐng)域的內(nèi)容中,無論是低年級的數(shù)和計算、圖形的認(rèn)識,還是中高年級的方程和比例、統(tǒng)計與概率,分析法和綜合法都有較多應(yīng)用。如數(shù)的計算法則的學(xué)習(xí),就

24、是一個先分析再綜合概括的過程,先一步一步地學(xué)習(xí)法則的不同方面,再綜合概括成一個完整的法則。其次,在貫穿整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的問題解決、判斷和推理證明等方面,分析法和綜合法也是無所不在。如在進行一個概念或者性質(zhì)的判斷時,必須先進行分析,然后才能做出判斷。4.分析法和綜合法的教學(xué)。分析能力和綜合能力作為培養(yǎng)邏輯思維能力和解決問題能力的重要方面,在課標(biāo)時代仍然要給予足夠的重視,在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾點。第一,在學(xué)習(xí)一般的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)時注重分析能力和綜合能力的培養(yǎng)。小學(xué)數(shù)學(xué)的很多知識,學(xué)生往往經(jīng)歷先分析再綜合的過程,即先認(rèn)識局部特征,再從整體上認(rèn)識或者形成抽象概念的過程。如圖形的認(rèn)識,在第一學(xué)段學(xué)生通過

25、操作和直觀初步感知圖形的一些特征,到了第二學(xué)段,可以從整體上認(rèn)識或者抽象成概念。教師從低年級開始就應(yīng)注重分析能力的培養(yǎng),從而為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下較好的基礎(chǔ)。第二,在解決問題時注重分析法和綜合法的結(jié)合運用。簡單的問題,往往直接應(yīng)用綜合法便可解決;復(fù)雜的問題,往往需要把分析法和綜合法結(jié)合運用。分析法從問題出發(fā)逐步逆推,便于把我探索的方向,綜合法的思維具有發(fā)散性,能夠提供多種策略;把二者結(jié)合起來,便于根據(jù)已知條件提供向問題靠攏的策略,使問題盡快得到解決。案例1:一件襯衫的標(biāo)價是150元,現(xiàn)在因換季按標(biāo)價打八折的優(yōu)惠價格出售,還能夠在進價的基礎(chǔ)上獲利20%。這款襯衫的進價是多少錢?分析:要想求進價是多少錢

26、,需要知道進價加上獲利的20%一共是多少錢,進價加上獲利的20%等于優(yōu)惠價,優(yōu)惠價等于標(biāo)價的80%。根據(jù)分析法找出的數(shù)量關(guān)系和解題思路,用綜合法列式如下。(1) 進價加獲利20%一共的錢數(shù):15080%120(元)(2) 這款襯衫的進價是:120(120%)100(元)。列成綜合算式是:15080%(120%)100(元)。案例2:食品店把120千克巧克力分裝在兩種大小不同的盒子里,先裝0.25千克一盒的裝了200盒,剩下的每盒裝0.5千克。這些巧克力一共裝了多少盒?分析:要想求一共裝了多少盒,因為有大盒和小盒兩種包裝規(guī)格,已經(jīng)知道小盒有200盒,所以要先求大盒的裝了多少千克。因為大盒每盒裝0

27、.5千克,要想求大盒裝了多少盒,應(yīng)先求大盒共裝了多少千克。因為總共有120千克巧克力,要想求大盒裝了多少千克,應(yīng)先求小盒裝了多少千克??梢愿鶕?jù)已知條件小盒每盒裝0.25千克和共有200盒,算出小盒裝的千克數(shù)。利用分析法找出了數(shù)量關(guān)系和解題思路,即可用綜合法列式解答。(1) 小盒共裝的千克數(shù):0.2520050(千克)(2) 大盒共裝的千克數(shù):1205070(千克)(3) 大盒裝的盒數(shù):700.5140(盒)(4) 一共裝的盒數(shù):200140340(盒)綜合算式為:200(1200.25200)0.5340(盒)案例3:明明家有一些蘋果和梨,蘋果的個數(shù)如果減少5個,就恰好是梨的個數(shù)的3倍。如果每

28、天吃4個蘋果和2個梨,當(dāng)梨吃完時蘋果還剩15個。那么原來梨和蘋果各有過少個?分析:想要求出蘋果和梨的個數(shù),一是要找出蘋果和梨的關(guān)系,二是要求出蘋果或者梨的個數(shù)。從題目中可以看出,蘋果比梨的個數(shù)多,可以考慮把梨的個數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)來分析它們的倍數(shù)關(guān)系。從題目的第二句話可以得出:蘋果比梨的2倍多15個;從第一句話可以得出:蘋果比梨的3倍多5個。綜合起來可以得出:蘋果和梨相比較,蘋果減少15個是梨的2倍,減少5個是梨的3倍;所以,從15個中減去5個,剩下的10個就是梨的個數(shù)。十一、反證法1.反證法的概念。反證法是間接證明的一種基本方法,當(dāng)我們需要證明一個判斷為真時,先假設(shè)這個判斷為假,經(jīng)過正確的推理,最后

29、得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原判斷為真,這樣的證明方法叫做反證法。反證法是演繹推理的一種,依據(jù)的是排中律,就是說兩個互相矛盾的判斷不可能同假,其中必有一真。2.反證法的具體應(yīng)用。反證法作為一種思想方法,不僅在數(shù)學(xué)中有很多應(yīng)用,在日常生活和其他學(xué)科中也有應(yīng)用。數(shù)學(xué)史上有比較經(jīng)典的利用反證法證明的問題,如證明 是無理數(shù),證明素數(shù)有無限多個等。在小學(xué)數(shù)學(xué)中,反證法的應(yīng)用不多,在抽屜原理等問題中有一些應(yīng)用。3.反證法的教學(xué)。反正法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用較少,教師在教學(xué)時應(yīng)注意以下幾點。第一,掌握它的基本原理和步驟是必要的。反證法采用的論證方式是演繹推理中的假言推理形式,依據(jù)的是排中律。它的證明

30、步驟大致如下:(1)假設(shè)待證的結(jié)論為假、反論題為真;(2)從反論題出發(fā),經(jīng)過正確的邏輯推理,得出與已知條件或者定義、定理、公理、事實等矛盾;(3)根據(jù)排中律得出原結(jié)論成立。第二,對反證法涉及的一些概念和詞語應(yīng)正確理解。在描述一對概念間的關(guān)系時,應(yīng)注意怎樣描述才是矛盾的。如是與不是、等于與不等于、大于與不大于、至少有一個與一個也沒有等是相互矛盾的關(guān)系。有時候要注意容易出現(xiàn)錯誤的地方,如大于5與小于5、正數(shù)與負(fù)數(shù)等不是相互矛盾的關(guān)系,是一種對立關(guān)系。也就是說,兩個矛盾的種概念外延之和等于屬概念的外延,兩個對立的種概念外延之和小于屬概念的外延。大于與小于中間有等于、正數(shù)和負(fù)數(shù)中間有0。大于5與不大于

31、(小于等于)5、正數(shù)與非正數(shù)(0和負(fù)數(shù))是矛盾關(guān)系。第三,對于學(xué)生來說,只需初步了解其方法。作為教師而言,要掌握反證法的基本原理、步驟和推理方法,以便在教學(xué)中把握反證法的科學(xué)性。學(xué)生通過簡單的案例和運用反證法通俗易懂的推理過程,能夠了解反證法的基本思想和數(shù)學(xué)方法的豐富性,培養(yǎng)思維的靈活性。案例1:把43人分成7個小組,總有一個小組至少有7人。請說明理由。分析:假設(shè)每個小組最多有6人,那么7個小組最多有42人,與已知條件有43人矛盾,假設(shè)不成立,所以總有一個小組至少有7人。案例2:把11個參加活動的名額分配給6個班,每班至少分配1人。請說明:不管怎樣分,至少有3個班的名額相等。分析:假設(shè)名額相等

32、的班級最多有2個,那么需要的名額總數(shù)至少應(yīng)為:(123)212(個),與已知條件有11個名額矛盾。所以至少有3個班的名額相等。案例3:在直角三角形ABC中,C是直角,請說明:A一定是銳角。分析:假設(shè)A不是銳角,首先三角形的任何一個內(nèi)角不可能為0,那么A90,又因為 C90,B0,所以 ABC180,這就與三角形的內(nèi)角和等于180矛盾。所以A一定是銳角。十二、集合思想1.集合的概念。把指定的具有某種性質(zhì)的事物看作一個整體,就是一個集合(簡稱集),其中每個事物叫做該集合的元素(簡稱元)。給定的集合,它的元素必須是確定的,即任何一個事物是否屬于這個集合是明確的。如“學(xué)習(xí)成績好的同學(xué)”不能構(gòu)成一個集合

33、,因為構(gòu)成它的元素是不確定的;而“語文和數(shù)學(xué)的平均成績在90分及以上的同學(xué)”就是一個集合。一個給定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素不重復(fù)出現(xiàn)。只要兩個集合的元素完全相同,就說這兩個集合相等。集合的表示法一般用列舉法和描述法。列舉法就是把集合的元素一一列舉出來,并用花括號“”括起來表示集合的方法。描述法就是在花括號內(nèi)寫出規(guī)定這個集合元素的特定性質(zhì)來表示集合的方法。列舉法的局限性在于當(dāng)集合的元素過多或者有無限多個時,很難把所有的元素一一列舉出來,這時描述法便體現(xiàn)出了優(yōu)越性。此外,有時也可以用封閉的曲線(韋恩圖)來直觀地表示集合及集合間的關(guān)系,曲線的內(nèi)部表示集合的所有元素。一一對應(yīng)是兩個集合

34、之間元素(這種元素不一定是數(shù))的一對一的對應(yīng),也就是說集合A中的任一元素,在集合B中都有唯一的元素b與之對應(yīng);并且在集合B中的任一元素b,在集合A中也有唯一的元素與之對應(yīng)。數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng),如正奇數(shù)集合和正偶數(shù)集合之間的元素可以建立一一對應(yīng)。其他集合之間也可以建立一一對應(yīng),如五(1)班有25個男生,25個女生,如果把男生和女生各自看成一個集合,那么這兩個集合之間可以建立一一對應(yīng);再如,中國、美國、俄羅斯、英國、法國、德國作為一個集合,北京、華盛頓、莫斯科、倫敦、巴黎、柏林作為一個集合,這兩個集合之間也可以建立一一對應(yīng)。2.集合思想的重要意義。集合理論是數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ),從集合論的角度研究

35、數(shù)學(xué),便于從整體和部分及二者的關(guān)系上研究數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域的知識。如數(shù)系的擴展,從小學(xué)的自然數(shù)到整數(shù),再到中學(xué)的有理數(shù)、無理數(shù)和實數(shù),都可以從集合的角度來描述。有時用集合語言來表述有關(guān)概念更為簡潔,如全體偶數(shù)的集合可表示為x|x=2k,kZ。集合溝通了代數(shù)(數(shù))和幾何之間的關(guān)系,如y=kx,既是正比例函數(shù),又可以表示一條直線;也就是說在平面直角坐標(biāo)系上,這條直線是由滿足y=kx的有序?qū)崝?shù)對所有組成的點的集合。用集合圖描述概念的分類及概念之間的關(guān)系,往往層次分明、直觀清晰,如四邊形的分類可以用韋恩圖表示。3.集合思想在具體應(yīng)用。集合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的很多內(nèi)容中進行了滲透。在數(shù)的概念方面,如自然數(shù)可以從對

36、等集合基數(shù)(元素的個數(shù))的角度來理解,再如在一年級通過兩組數(shù)量相等的實物建立一一對應(yīng),讓學(xué)生理解“同樣多”的概念,實際上就是兩個對等集合的元素之間建立一一對應(yīng);數(shù)的運算也可以從集合的角度來理解,如加法可以理解為兩個交集為空集的集合的并集,再如求兩數(shù)相差多少,通過把代表兩數(shù)的實物圖或直觀圖一對一地比較,來幫助學(xué)生理解用減法計算的道理;實際上就是把代表兩數(shù)的實物分別看作集合A、B,通過把A的所有元素與B的部分元素建立一一對應(yīng),然后轉(zhuǎn)化為求B與其子集(與A等基)的差集的基數(shù)。此外,在小學(xué)數(shù)學(xué)中還經(jīng)常用集合圖表示概念之間的關(guān)系,如把所有三角形作為一個整體,看作一個集合,記為A;把銳角三角形、直角三角形

37、和鈍角三角形各自看作一個集合,分別記為B、C、D,這三個集合就是集合A的三個互不相交的子集,B、C、D的并集就是A。再如在學(xué)習(xí)公因數(shù)和公倍數(shù)時,都是通過把兩個數(shù)各自的因數(shù)和倍數(shù)分別用集合圖表示,再求兩個集合的交集,直觀地表示了公因數(shù)和公倍數(shù)的概念。4.集合思想的教學(xué)。集合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中廣泛滲透,在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個問題。第一,應(yīng)正確理解有關(guān)概念。我們知道,兩個數(shù)之間可以比較大小,但是兩個集合之間無法直接比較大小,也就是說一般不說兩個集合誰大誰小。如有兩個集合A、B,當(dāng)且僅當(dāng)它們有完全相同的元素時,稱A、B相等,記為A=B。如A=2,3,5,7,B=x|x是小于10的素數(shù)。集合之間可以有包含

38、關(guān)系,如C=2,3,5,7,11,則A是C的真子集。集合之間可以可以比較基數(shù)的大小,也就是比較元素的個數(shù)的多少。只要兩個集合元素間能夠建立一一對應(yīng)的關(guān)系,那么就說兩個集合的元素個數(shù)相等,就是基數(shù)相等,即等勢或等基。如果A是C的真子集,就說A的基數(shù)小于C的基數(shù)。對于有限集比較容易數(shù)出它的元素的個數(shù),而對于無限集,又怎樣比較它們元素個數(shù)的多少呢?如正整數(shù)集合與正偶數(shù)集合,它們的基數(shù)相等嗎?我們知道,兩個集合的元素,只要能夠建立一一對應(yīng)就基數(shù)相等。正整數(shù)集合與正偶數(shù)集合的元素之間可以建立如下的一一對應(yīng)關(guān)系。1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 因此,這兩個集合的元素個數(shù)相等,也就是它們的基數(shù)相等

39、。案例1:乒乓球比賽有16人參加A組的小組賽,規(guī)定采取淘汰賽決出小組第一名參加決賽。一共要進行多少場比賽?分析:淘汰賽一般的規(guī)則是每兩個人分為一組比賽一場,勝者進入下一輪繼續(xù)進行兩人一組比賽;如果出現(xiàn)單數(shù)就有一人輪空,直接進入下一輪比賽。這樣一直進行下去,直到?jīng)Q出第一名。按照這個思路解答,只需要把每一輪比賽的場數(shù)算出來,最后加起來就行。第一輪共有8場比賽,第二輪共有4場比賽,第三輪共有2場比賽,第四輪共有1場比賽;所以總共有15(8+4+2+1=15)場比賽。以上思路層次清楚、容易理解,小學(xué)生一般都可以接受,但是如果參加小組比賽的人比較多,計算起來就比較麻煩。下面用一一對應(yīng)的思想來分析:因為每

40、次比賽淘汰一個人,有一場比賽就淘汰一個人,沒有比賽就不淘汰人,要想淘汰一個人就必須有一場比賽,也就是說比賽的場數(shù)與被淘汰的人數(shù)是一一對應(yīng)的。在小組參賽的16人中,最后只有一人得第一名,要淘汰15人,所以比賽的場數(shù)為15場。第二,正確把握集合思想的教學(xué)要求。集合思想雖然在小學(xué)數(shù)學(xué)中廣泛滲透,但是集合的知識并不是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容;因而應(yīng)注意把握好知識的難度和要求,盡量使用通俗易懂的語言滲透集合思想。集合除了可以表示概念系統(tǒng)及概念間的關(guān)系外,利用韋恩圖進行集合的直觀運算,可以解決一些分類計數(shù)的問題。案例2:六(1)班舉辦文藝活動,演出歌舞節(jié)目的有9人,演出小品等節(jié)目的有12人,兩類節(jié)目都參加的有5

41、人。該班共有多少人參加這兩類節(jié)目的演出?分析:為了便于理解集合的運算原理,我們借助韋恩圖來分析。左邊的圈里表示演出歌舞節(jié)目的人,右邊圈里表示演出小品等節(jié)目的人。兩個圈相交的共有的部分有5人,表示這5人既參加了歌舞節(jié)目,又參加了小品等節(jié)目的演出。左邊圈中沒跟另一個圈相交的單獨的部分由4人,表示這4人只參加了歌舞節(jié)目的演出。因此,參加歌舞節(jié)目演出的9人由兩部分組成:一部分是只參加歌舞節(jié)目演出的4人,另一部分是既參加歌舞節(jié)目又參加小品等節(jié)目演出的5人。同樣道理,參加小品等節(jié)目演出的12人由兩部分組成:一部分是只參加小品等節(jié)目演出的7人,另一部分是既參加小品等節(jié)目又參加歌舞節(jié)目演出的5人。綜合以上分析

42、,可以得出:該班參加這兩類節(jié)目演出的人數(shù)是4+5+7=16,或9+125=16。第三,集合思想的教學(xué)要貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)的始終。如上所述,集合思想在一年級學(xué)習(xí)之初,學(xué)生在學(xué)習(xí)人數(shù)和分類等知識中就已經(jīng)有所接觸,一直到高年級學(xué)習(xí)公因數(shù)和公倍數(shù)、三角形和四邊形的分類、數(shù)的分類(正數(shù)、0、負(fù)數(shù))等等,不同年級和不同知識領(lǐng)域都有所滲透。這里涉及了用集合語言概念及概念間的關(guān)系、集合的元素之間的對應(yīng)關(guān)系、集合的運算等等。因此,集合思想的滲透不是一朝一夕的事情,而是堅持不懈的長期的過程。十三、數(shù)形結(jié)合思想1.數(shù)形結(jié)合思想的概念。數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)和形之間的對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。數(shù)學(xué)是研究實現(xiàn)世

43、界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué),數(shù)和形之間是既對立又統(tǒng)一的關(guān)系,在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。這里的數(shù)是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關(guān)系式等,這里的形式是指幾何圖形和函數(shù)圖象。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上,直角坐標(biāo)系的出現(xiàn)給幾何的研究帶來了新的工具,直角坐標(biāo)系與幾何圖形相結(jié)合,也就是把幾何圖形放在坐標(biāo)平面上,使得幾何圖形上的每個點都可以用直角坐標(biāo)系里的坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對)來表示,這樣可以用代數(shù)的量化的運算的方法來研究圖形的性質(zhì),堪稱數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合思想的核心應(yīng)是代數(shù)與幾何的對立統(tǒng)一和完美結(jié)合,就是要善于把握什么時候運用代數(shù)方法解決幾何問題是最佳的、什么時候運用幾何方法解決代數(shù)問題是最佳的。如解決不

44、等式和函數(shù)問題有時用圖象解決非常簡捷,幾何證明問題在初中時難點,到高中運用解析幾何的代數(shù)方法有時比較簡便。2.數(shù)形結(jié)合思想的重要意義。數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、使繁難的數(shù)學(xué)問題簡捷化,使得原本需要通過抽象思維解決的問題,有時借助形象思維就能夠解決,有利于抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展和優(yōu)化解決問題的方法。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直覺,形少數(shù)時難入微?!边@句話深刻地揭示了數(shù)形之間的辯證關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的重要性。眾所周知,小學(xué)生的邏輯思維能力還比較弱,在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時必須面對數(shù)學(xué)的抽象性這一現(xiàn)實問題;教材的編排和課堂教學(xué)都在千方百計地使抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生易于理解的方式呈現(xiàn),借

45、助數(shù)形結(jié)合思想中的圖形直觀手段,可以提供非常好的教學(xué)方法和解決方案。如從數(shù)的認(rèn)識、計算到比較復(fù)雜的實際問題,經(jīng)常要借助圖形來理解和分析,也就是說,在小學(xué)數(shù)學(xué)中,數(shù)離不開形。另外,幾何知識的學(xué)習(xí),很多時候只憑直接觀察看不出什么規(guī)律和特點,這時就需要用數(shù)來表示,如一個角不是直角、兩條邊是否相等、周長和面積是多少等。換句話說,就是形也離不開數(shù)。因此,數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的意義尤為重大。3.數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中應(yīng)用大致分為兩種情形:一是借助于數(shù)的精確性、程序性和可操作性來闡明形的某些屬性,可稱之為“以數(shù)解形”;二是借助形的幾何直觀性來闡明某些概念及數(shù)之間的關(guān)系,可稱之為“以

46、形助數(shù)”。數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個方面:(1)實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系;(2)函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系;(3)曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系;(4)與幾何有關(guān)的知識,如三角函數(shù)、向量等;(5)概率統(tǒng)計的圖形表示;(6)在數(shù)軸上表示不等式的解集;(7)數(shù)量關(guān)系式具有一定的幾何意義,如s=100t。數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的四大領(lǐng)域知識的學(xué)習(xí)都有非常普遍和廣泛的應(yīng)用,主要體現(xiàn)在以下幾個方面:一是利用“形”作為各種直觀工具幫助學(xué)生理解和掌握知識、解決問題,如從低年級借助直線認(rèn)識數(shù)的順序,到高年級的畫線段圖幫助學(xué)生理解實際問題的數(shù)量關(guān)系。二是數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系在小學(xué)的滲透,如數(shù)軸、位置、正反

47、比例關(guān)系圖象等,使學(xué)生體會代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系。這方面的應(yīng)用雖然比較淺顯,但這正是數(shù)形結(jié)合思想的重點所在,是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。三是統(tǒng)計圖本身和幾何概念模型都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn),統(tǒng)計圖表把抽象的、枯燥的數(shù)據(jù)直觀地表示出來,便于分析和決策。四是用代數(shù)(算術(shù))方法解決幾何問題。如角度、周長、面積和體積等的計算,通過計算三角形內(nèi)角的度數(shù),可以知道它是什么樣的三角形等等。4.數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)。數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué),應(yīng)注意一些幾個問題。第一,如何正確理解數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合中的形是數(shù)學(xué)意義上的形,是幾個圖形和圖象。有些老師往往容易把利用各種圖形作為直觀手段幫助學(xué)生理解知識,與數(shù)形結(jié)合思想中的“以形助

48、數(shù)”混淆起來,彼“形”非此“形”,小學(xué)數(shù)學(xué)中實物和圖片作為理解抽象知識的直觀手段,很多時候是生活意義上的形,并不都是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,如6+1=7,可以通過擺各種實物和幾何圖形幫助學(xué)生理解加法的算理,這里的幾何圖片并不是數(shù)形結(jié)合的形,因為這里并不關(guān)心幾何圖片的形狀和大小,用什么形狀和大小的圖片都行,并沒有賦予圖片本身形狀和大小的量化的特征,甚至不用圖片用小棒等材料也能起到相同的作用,因而它更是生活中的形。如果結(jié)合數(shù)軸(低年級往往用類似于數(shù)軸的尺子或直線)來認(rèn)識數(shù)的順序和加法,那么就把數(shù)和形(數(shù)軸)建立了對應(yīng)的關(guān)系,便于比較數(shù)的大小和進行加減法計算,這是真正的數(shù)形結(jié)合。由于在解決實際問題時,通

49、過畫線段圖幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系是老師和學(xué)生都非常熟悉的內(nèi)容。因此在案例中不再出現(xiàn)這方面素材。案例1:? ?+=分析:此題很難用小學(xué)算術(shù)的知識直接計算,因為它有無窮多個數(shù)相加,如果是有限個數(shù)相加,用等式的性質(zhì)進行恒等變換可以計算。從題中數(shù)的特點來看,每一項的分子都是1,每一項的分母都是它前一項分母的2倍,或者說第幾項的分母就是2的幾次方,第n項就是2的n次方。聯(lián)想到分?jǐn)?shù)的計算可用幾何直觀圖表示,那么現(xiàn)在可構(gòu)造一個長度或者面積是1的線段或者正方形,不妨構(gòu)造一個面積是1的正方形,如下圖所示。先取它的一半作為二分之一,再取余下的一半的一半作為四分之一,如此取下去當(dāng)取的次數(shù)非常大時,余下部分的面積已經(jīng)非

50、常小了,用極限的思想來看,當(dāng)取的次數(shù)趨向于無窮大時,余下部分的面積趨向于0,因而,最后取的面積就是1。也就是說,上面算式的得數(shù)是1。第二,適當(dāng)拓展數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想中的以數(shù)解形在中學(xué)應(yīng)用的較多,小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的就是計算圖形的周長、面積和體積等內(nèi)容。除此之外,還可以創(chuàng)新求變,在小學(xué)幾何的范圍內(nèi)深入挖掘素材,在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上適當(dāng)拓展,豐富小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想。案例2:用兩個一樣的直角三角形和一個等腰直角三角形(腰等于前兩個直角三角形的斜邊),可以拼一個直角梯形,如下圖。如果直角三角形的邊長分別是3、4、c,5、12、c,根據(jù)梯形的面積等于3個三角形的面積之和,比較每個直角三角

51、形的兩個直角邊的平方和,與斜邊的平方之間的大小關(guān)系,你能發(fā)現(xiàn)什么?如果直角三角形的邊長分別是、b、c時,你又能發(fā)現(xiàn)什么?分析:當(dāng)直角三角形的邊長分別是3、4、c時,梯形的面積是:(34) (34)224.5,3個三角形的面積和是:3422224.5,可得25,即。當(dāng)直角三角形的邊長分別是5、12、c時,梯形的面積是:(512) (512) 2144.5,3個三角形的面積和是:512222144.5,可得169,即。當(dāng)直角三角形的邊長分別是、時,也就是說直角三角形的三條邊長可以取任意不同的值的時候,仍然有梯形的面積等于3個三角形面積之和。梯形的面積是:()() 2,3個三角形的面積和是:222(

52、2)2。()() 2 (+)+(+) 2(+2)2所以有(+2)2(2)2,可得+。根據(jù)以上計算結(jié)果,由此得出一個重大發(fā)現(xiàn):直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。實際上這是美國第20任總統(tǒng)茄菲爾德發(fā)現(xiàn)的證明勾股定理的方法。這里有一個難點就是()()的計算,這是中學(xué)的多項式乘法。在小學(xué)學(xué)習(xí)乘法分配律時已經(jīng)會計算 (),那么計算()()可以先把左邊的()看作一個數(shù),分別與右邊括號中的和相乘,再進行計算。()() (+) + (+)+2案例3:把兩個形狀和大小相同的長方體月餅盒包裝成一包,怎樣包裝最省包裝紙?分析:此題是小學(xué)數(shù)學(xué)比較典型的通過探索活動發(fā)現(xiàn)規(guī)律的題目,一般情況下教師會給學(xué)生足夠的

53、學(xué)具進行操作,拼出幾種包裝方法,再通過計算比較表面積的大小找到最佳答案。現(xiàn)在我們從代數(shù)思想出發(fā),不用任何操作和具體數(shù)量的計算,一般性的,假設(shè)長方體的長、寬、高分別為、,并且(只要給出三個數(shù)的大小順序便可,誰大誰小并不影響用代數(shù)方法計算的過程和結(jié)論)。首先要明確的是,問題所求怎樣包裝最省包裝紙,實際上就是求怎樣拼才能使拼成的大長方體的表面積最小。每個長方體有6個面,兩個長方體拼成一個大長方體后仍然有6個面,但這6個面的面積是原來長方體的10個面的面積,其中有兩個面是原來長方體的面,另4個面分別是原來的相同的兩個面拼成的;也就是說,大長方體的表面積已經(jīng)不是原來兩個長方體的12個面的面積直接相加的和

54、了,而是它們的和再減去拼在一起的兩個面的面積和。原來兩個長方體的12個面的面積和是恒定不變的,因而大長方體的面積的大小,取決于減去的(拼在一起的)兩個面的面積和的大小,減去的兩個面的面積和越大,大長方體的表面積就越小。根據(jù)已知條件可知,所以把最大的兩個側(cè)面貼在一起包裝最省包裝紙。列成公式為:S4()2。十四、極限思想1.極限思想的概念。我們知道,在小學(xué)數(shù)學(xué)里有些問題不是通過初等數(shù)學(xué)的方法解決的,如圓的面積,無法直接按照求長方形面積的方法來計算,無法直接按照求長方形面積的方法來計算。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽為了計算圓的面積和圓周率,曾經(jīng)創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,具體做法是:先作圓的內(nèi)接正六邊形,再作內(nèi)接正十二

55、邊形隨著邊數(shù)的不斷增加,正多邊形越來越接近于圓,那么它的面積和周長也越來越接近于圓的面積和周長。劉徽在描述這種做法時說“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至不可割,則與圓周合體而無所失矣”。也就是說,隨著正多邊形的邊數(shù)無限增加,圓內(nèi)接正多邊形就轉(zhuǎn)化為圓,這種思想就是極限思想,即用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想。為了便于理解,我們先從數(shù)列說起,數(shù)列是按照正整數(shù)1、2、3、n、編號依次排列的一列數(shù),可寫成如下形式:,其中稱為數(shù)列的通項。其實,數(shù)列的通項可以看成是自變量為正整數(shù)n的特殊的函數(shù),可寫作=,其定義域為全體正整數(shù)。如1,2,4,6,2n,1,1,1,1,1,1都是數(shù)列,當(dāng)n無限增大

56、時,這些數(shù)列的通項都會隨之變化,有的趨向于無窮大,如第二個數(shù)列;有的無限接近于某一常數(shù),如第一個數(shù)列無限接近于0,這時我們就說該數(shù)列以0為極限,或者說收斂到0。通俗地說,就是對于任意給定一個不管多么小的正數(shù),總是存在一個正整數(shù)N,使得nN的通項(N+1及大于它的每一項,即,)與常數(shù)的差的絕對值總小于(在數(shù)軸上可以直接地理解為兩個點和的距離總小于),那么就說數(shù)列的極限為。在上面的數(shù)列中,由無窮多個項相加的式子+叫做無窮級數(shù),其中前n項的和可記作=+,稱為級數(shù)的部分和,這些部分和又可以構(gòu)成一個新的數(shù)列,當(dāng)n趨向于無窮大時,如果數(shù)列的極限存在,可設(shè)極限為S,這時極限S就是無窮級數(shù)+的和,記作S=+2

57、.極限思想的重要意義。小學(xué)生的思維以形象思維為主,逐步向邏輯思維過渡;此外,在小學(xué)數(shù)學(xué)中還滲透著既對立又統(tǒng)一的辯證思維,如加與減、乘與除是學(xué)生非常熟悉的辯證關(guān)系。在極限思想中,也滲透著有限與無線、曲與直、變與不變的辯證關(guān)系。我們知道,多邊形的面積直接用公式就可以計算出來,而如果其中有的邊改成曲邊,就無法直接用多邊形的面積公式計算,就要用定積分來求了,如曲邊梯形(直角梯形的斜邊是曲邊)的面積計算,就是先把曲邊梯形平均分成n個小曲邊梯形,在每個小曲邊梯形里取一個最大的小矩形,這時n個小矩形的面積的近等于n個小曲邊梯形的面積的和,當(dāng)n越來越大時,小矩形的面積和就越來越接近于相應(yīng)的曲邊梯形的面積,當(dāng)n趨向于無窮大時,如果的極限存在,記作S,最后S就等于所有的小曲邊梯形的面積的和了,那么就得到了曲邊梯形的面積是S。這是從有限的曲邊梯形的面積中找到無限個小矩形的面積,再從無限個小矩形的面積的無限變化中回歸到曲邊梯形的有限的面積的過程,體現(xiàn)了有限與無限、曲與直相互轉(zhuǎn)化的辯證思想。因此,極限思想對于培養(yǎng)學(xué)生初步的辯證思維有所裨益。3.極限思想的具體應(yīng)用。極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的

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