小學奧數(shù)解題方法大全

1、.21、數(shù)字和與最大最小問題【數(shù)字求和】例1 100個連續(xù)自然數(shù)的和是8450，取其中第1個，第3個，第5個，第99個（所有第奇數(shù)個），再把這50個數(shù)相加，和是_。（上海市第五屆小學數(shù)學競賽試題）講析：第50、51兩個數(shù)的平均數(shù)是8450 100= 84. 5，所以，第50個數(shù)是84。則100個連續(xù)自然數(shù)是：35，36，37，133，134。上面的一列數(shù)分別取第1、3、5、99個數(shù)得：35，37，39，131，133。則這50個數(shù)的和是：例2 把1至100的一百個自然數(shù)全部寫出來，所用到的所有數(shù)碼的和是_。（上海市第五屆小學數(shù)學競賽試題）講析；可把1至100這一百個自然數(shù)分組，得（1、2、3、

2、9），（10、11、12、19），（20、21、22、29），（90、91、92、99），（100）。容易發(fā)現(xiàn)前面10組中，每組的個位數(shù)字之和為45。而第一組十位上是0，第二組十位上是1，第三組十位上是2，第十組十位上是9，所以全體十位上的數(shù)字和是（l+2+3+9）10=450。故所有數(shù)碼的和是4510+450+l=901。續(xù)若干個數(shù)字之和是1992，那么a=_。（北京市第八屆“迎春杯”小學數(shù)學競賽試題）又，199227=73余21，而21=8+5+7+1，所以 a=6。例4 有四個數(shù)，每次選取其中三個數(shù)，算出它們的平均數(shù)，再加上另外一個數(shù)，用這種方法計算了四次，分別得到四個數(shù)：86，92，1

3、00，106。那么，原來四個數(shù)的平均數(shù)是（1993年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：每次所選的三個數(shù)，計算其平均數(shù)，實際上就是計算這三個數(shù)中原來四個數(shù)的平均數(shù)為（86+92+100+106）2=192。【最大數(shù)與最小數(shù)】例1 三個不同的最簡真分數(shù)的分子都是質(zhì)數(shù)，分母都是小于20的合數(shù)，要使這三個分數(shù)的和盡可能大,這三個分數(shù)是（全國第四屆從小愛數(shù)學邀請賽試題）。講析： 20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19要使三個分數(shù)盡量大，必須使每個分子盡量大而分母盡量小。且三個真例2 將1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)分成三組，分別計算各組數(shù)的和。已知這三個和互不

4、相等，且最大的和是最小和的2倍。問：最小的和是多少？（全國第三屆“華杯賽”決賽口試試題）講析；因為1+2+3+8=36，又知三組數(shù)的和各不相同，而且最大的例3 把20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)分別填入中（每個質(zhì)數(shù)只用一次）：使A是整數(shù)。A最大是多少？（第五屆從小愛數(shù)學邀請賽試題）講析：要使A最大，必須使分母盡量小，而分子盡量大。分母分別取2、3、5時，A都不能為整數(shù)。當分母取7時，例4 一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是1，最大的數(shù)是25。除1之外、這組數(shù)中的任一個數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個數(shù)的2倍，或者等于這組數(shù)中某兩個數(shù)之和。問：這組數(shù)之和的最大值是多少？當這組數(shù)之和有最小值時，這組數(shù)都有哪些數(shù)？并說明和

5、是最小值的理由。（全國第四屆“華杯賽”決賽第一試試題） 析：觀察自然數(shù)1、2、3、4、5、25這25個數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們除1之外，每個數(shù)都能用其中某一個數(shù)的2倍，或者某兩個數(shù)之和表示。因此，這組數(shù)之和的最大值是1+2+3+25=325。下面考慮數(shù)組中各數(shù)之和的最小值。1和25是必取的，25不能表示成一個數(shù)的2倍，而表示成兩個數(shù)之和的形式，共有12種。我們?nèi)蓚€加數(shù)中含有盡可能大的公約數(shù)的一組數(shù)（20+5）或者（10+15）。當取1、5、20、25時，還需取2、3、10三個；當取1、10、15、25時，還需取2、3、5。經(jīng)比較這兩組數(shù)，可知當取1、2、3、4、5、10、15、25時，和最小是61。22

6、、數(shù)字串問題【找規(guī)律填數(shù)】例1 找規(guī)律填數(shù)（杭州市上城區(qū)小學數(shù)學競賽試題）（1992年武漢市小學數(shù)學競賽試題）講析：數(shù)列填數(shù)問題，關鍵是要找出規(guī)律；即找出數(shù)與數(shù)之間有什么聯(lián)系。第（1）小題各數(shù)的排列規(guī)律是:第1、3、5、（奇數(shù)）個數(shù)分別別是4和2。第（2）小題粗看起來，各數(shù)之間好像沒有什么聯(lián)系。于是，運用分數(shù)得到了 例2 右表中每豎行的三個數(shù)都是按照一定的規(guī)律排列的。按照這個規(guī)律在空格中填上合適的數(shù)。（1994年天津市小學數(shù)學競賽試題）講析：根據(jù)題意，可找出每豎行的三個數(shù)之間的關系。不難發(fā)現(xiàn)每豎行中的第三個數(shù)，是由前兩數(shù)相乘再加上1得來的。所以空格中應填33?！緮?shù)列的有關問題】數(shù)是幾分之幾？（

7、第一屆從小愛數(shù)學邀請賽試題）講析：經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，分母是1、2、3、4、5的分數(shù)個數(shù)，分別是1、3、5、7、9。所以，分母分別為1、2、39的分數(shù)共 例2 有一串數(shù)：1，1993，1992，1，1991，1990，1，1989，1988，這個數(shù)列的第1993個數(shù)是_（首屆現(xiàn)代小學數(shù)學邀請賽試題）講析：把這串數(shù)按每三個數(shù)分為一組，則每組第一個數(shù)都是1，第二、三個數(shù)是從1993開始，依次減1排列。而19933=664余1，可知第1993個數(shù)是1。例3 已知小數(shù)0.123456789101112139899的小數(shù)點后面的數(shù)字，是由自然數(shù)199依次排列而成的。則小數(shù)點后面第88位上的數(shù)字是_。（1988年

8、上海市小學數(shù)學競賽試題）講析：將原小數(shù)的小數(shù)部分分成A、B兩組：A中有9個數(shù)字，B中有180個數(shù)字，從10到49共有80個數(shù)字。所以，第88位上是4。例4 觀察右面的數(shù)表（橫排為行，豎排為列）；幾行，自左向右的第幾列。（全國第三屆“華杯賽”決賽試題）講析：第一行每個分數(shù)的分子與分母之和為2，第二行每個分數(shù)的分子與分母之和為3，第三行每個分數(shù)的分子與分母之和為4，即每行各數(shù)的分子與分母之和等于行數(shù)加1。例5 如圖5.4，除了每行兩端的數(shù)之外，其余每個數(shù)都是與它相連的上一行的兩個數(shù)的平均數(shù)，那么第100行各數(shù)之和是_。（廣州市小學數(shù)學競賽試題）講析：可試探著計算每行中各數(shù)之和。第一、二、三、四行每

9、行的各數(shù)之和分別是6、8、10、12，從而得出，每行的數(shù)字之和，是行數(shù)的2倍加4。故第100行各數(shù)之和為10024=204.例6 伸出你的左手，從大拇指開始，如圖5.5所示的那樣數(shù)數(shù)：l、2、3。問：數(shù)到1991時，會落在哪個手指上？（全國第三屆“華杯賽”決賽口試試題）講析：除1之外，從2開始每8個數(shù)為一組，每組第一個數(shù)都是從食指開始到拇指結束。（19911）8=248余6，剩下最后6個數(shù)又從食指開始數(shù)，會到中指結束。例7 如圖5.6，自然數(shù)按從小到大的順序排成螺旋形。在“2”處拐第一個彎，在“3”處拐第二個彎問拐第二十個彎處是哪個數(shù)？（全國第一屆“華杯賽”決賽口試試題）講析：寫出拐彎處的數(shù)，

10、然后按每兩個數(shù)分為一組：（2，3），（5，7），（10，13），（17，21），（26，31），。將會發(fā)現(xiàn)，每組數(shù)中依次相差1、2、3、4、5、。每組的第二個數(shù)與后一組的第二個數(shù)依次相差2、3、4、5、。從而可推出，拐第二十個彎處的數(shù)是111。例8 自然數(shù)按圖5.7順次 排列。數(shù)字3排在第二行第一列。問：1993排在第幾行第幾列？（全國第四屆“華杯賽”復賽試題）講析：觀察每斜行數(shù)的排列規(guī)律，每斜行數(shù)的個數(shù)及方向。每一斜行數(shù)的個數(shù)分別是1、2、3、4、5、，奇數(shù)斜行中的數(shù)由下向上排列，偶數(shù)斜行中的數(shù)由上向下排列。 斜行，該斜行的數(shù)是由下向上排列的，且第63行第1列是1954。由于從1954開始，

11、每增加1時，行數(shù)就減少1，而列數(shù)就增加1。所以1993的列數(shù)、行數(shù)分別是：199319541=40（列），63-（19931954）=24（行）23、數(shù)陣圖【方陣】例1 將自然數(shù)1至9，分別填在圖5.17的方格中，使得每行、每列以及兩條對角線上的三個數(shù)之和都相等。（長沙地區(qū)小學數(shù)學競賽試題）講析：中間一格所填的數(shù)，在計算時共算了4次，所以可先填中間一格的數(shù)。（l+2+3+9）3=15，則符合要求的每三數(shù)之和為15。顯然，中間一數(shù)填“5”。再將其它數(shù)字順次填入，然后作對角線交換，再通過旋轉（如圖5.18），便得解答如下。例2 從1至13這十三個數(shù)中挑出十二個數(shù)，填到圖5.19的小方格中，使每一橫

12、行四個數(shù)之和相等，使每一豎列三個數(shù)之和又相等。（“新苗杯”小學數(shù)學競賽試題）講析：據(jù)題意，所選的十二個數(shù)之和必須既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。所以，能被12整除。十三個數(shù)之和為91，91除以12，商7余7，因此，應去掉7。每列為（917）4=21而1至13中，除7之外，共有六個奇數(shù)，它們的分布如圖5.20所示。三個奇數(shù)和為21的有兩種：21=19+11=35+13。經(jīng)檢驗，三個奇數(shù)為3、5、13的不合要求，故不難得出答案，如圖5.21所示。例3 十個連續(xù)自然數(shù)中，9是第三大的數(shù)，把這十個數(shù)填到圖5.22的十個方格中，每格填一個，要求圖中三個22的正方形中四數(shù)之和相等。那么，這個

13、和數(shù)的最小值是_。（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析：不難得出十個數(shù)為:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它們的和是65。在三個22的正方形中，中間兩個小正方形分別重復了兩次。設中間兩個小正方形分別填上a和b，則（65ab）之和必須是 3的倍數(shù)。所以，（ab）之和至少是7。故，和數(shù)的最小值是24。【其他數(shù)陣】例1 如圖5.23，橫、豎各12個方格，每個方格都有一個數(shù)。已知橫行上任意三個相鄰數(shù)之和為20，豎列上任意三個相鄰數(shù)之和為21。圖中已填入3、5、8和“”四個數(shù)，那么“”代表的數(shù)是_。（1994年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析：可先看豎格。因為每相鄰三格數(shù)字和為2

14、1，所以每隔兩格必出現(xiàn)重復數(shù)字。從而容易推出，豎格各數(shù)從上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。同理可推導出橫格各數(shù)，其中“”=5。例2 如圖5.24，有五個圓，它們相交后相互分成九個區(qū)域，現(xiàn)在兩個區(qū)域里已經(jīng)分別填上數(shù)字10、6，請在另外七個區(qū)域里分別填進2、3、4、5、6、7、9七個數(shù)字，使每個圓內(nèi)的數(shù)之和都是15。（上海市第五屆小學數(shù)學競賽試題）講析：可把圖中要填的數(shù)，分別用a、b、c、d、e、f、g代替。（如圖5.25）顯然a=5，g=9。則有：bc=10，ef=6，cde=15。經(jīng)適當試驗，可得b=3，c=7，d=6，e=2，f=4。例3 如圖5.26，將六個

15、圓圈中分別填上六個質(zhì)數(shù)，它們的和是20，而且每個小三角形三個頂點上的數(shù)之和相等。那么，這六個質(zhì)數(shù)的積是_。（全國第一屆“華杯賽”決賽試題）講析：最上面的小三角形與中間的小三角形，都有兩個共同的頂點，且每個小三角形頂點上三數(shù)之和相等。所以，最上邊圓圈內(nèi)數(shù)字與最下面中間圓圈內(nèi)數(shù)字相等。同樣，左下角與右邊中間的數(shù)相等，右下角與左邊中間數(shù)相等。202=10，102+3+5。所以，六個質(zhì)數(shù)積為223355=900。例4 在圖5.27的七個中各填上一個數(shù)，要求每條直線上的三個數(shù)中，中間一個數(shù)是兩邊兩個數(shù)的平均數(shù)?，F(xiàn)已填好兩個數(shù)，那么X=_。（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：如圖5.28，可將

16、圓圈內(nèi)所填各數(shù)分別用a、b、c、d代替。則d=15。由15+c+a=17+c+b，得：a比b多2。所以，b=13+2=15。進而容易算出，x=19。例5 圖5.29中8個頂點處標注的數(shù)字：a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一個數(shù)都等于相鄰三個頂點（全國第三屆“華杯賽”復賽試題）講析：將外層的四個數(shù)，分別用含其它字母的式子表示，得 即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=024、數(shù)的組成【數(shù)字組數(shù)】例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個數(shù)字都要用到，并且只能用一次，那么這九個數(shù)字最多能組成_個質(zhì)數(shù)。（1990年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：自然數(shù)1至

17、9這九個數(shù)字中，2、3、5、7本身就是質(zhì)數(shù)。于是只剩下1、4、6、8、9五個數(shù)字，它們可組成一個兩位質(zhì)數(shù)和一個三位質(zhì)數(shù)：41和689。所以，最多能組成六個質(zhì)數(shù)。例2 用0、1、2、9這十個數(shù)字組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們的和是一個奇數(shù)，并且盡可能的大。那么，這五個兩位數(shù)的和是_。（1991年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：組成的五個兩位數(shù)，要求和盡可能大，則必須使每個數(shù)盡可能大。所以它們的十位上分別是9、8、7、6、5，個位上分別是0、1、2、3、4。但要求五個兩位數(shù)和為奇數(shù)，而1+2+3+4=10為偶數(shù)，所以應將4與5交換，使和為：（9+8+7+6+4）10+（1+2+3+

18、5）=351。351即本題答案。例3 一個三位數(shù)，如果它的每一個數(shù)字都不超過另一個三位數(shù)對應數(shù)位上的數(shù)字，那么就稱它被另一個三位數(shù)“吃掉”。例如，241被342吃掉，123被123吃掉（任何數(shù)都可以被與它相同的數(shù)吃掉），但240和223互不被吃掉?，F(xiàn)請你設計出6個三位數(shù)，它們當中任何一個數(shù)不被其它5個數(shù)吃掉，并且它們的百位上數(shù)字只允許取1、2；十位上數(shù)字只允許取1、2、3；個位上數(shù)字只允許取1、2、3、4。這6個三位數(shù)是_。（第五屆從小愛數(shù)學邀請賽試題）講析：六個三位數(shù)中，任取兩個數(shù)a和b，則同數(shù)位上的數(shù)字中，a中至少有一個數(shù)字大于b，而b中至少有一個數(shù)字大于a。當百位上為1時，十位上可從1開

19、始依次增加1，而個位上從4開始依次減少1。即：114，123，132。當百位上為2時，十位上從1開始依次增加1而個位上只能從3開始依次減少1。即：213，222，231。經(jīng)檢驗，這六個數(shù)符合要求。例4 將1、1、2、2、3、3、4、4這八個數(shù)字排成一個八位數(shù)，使得兩個1之間有一個數(shù)字；兩個2之間有兩個數(shù)字；兩個3之間有三個數(shù)字；兩個4之間有四個數(shù)字。那么這樣的八位數(shù)中的一個是_。（1991年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析：兩個4之間有四個數(shù)字，則在兩個4之間必有一個數(shù)字重復，而又要求兩個1之間有一個數(shù)，于是可推知，這個重復數(shù)字必定是1，即412134或421314。然后可添上另一個2和3。

20、經(jīng)調(diào)試，得23421314，此數(shù)即為所答。【條件數(shù)字問題】例1 某商品的編號是一個三位數(shù)，現(xiàn)有五個三位數(shù)：874，765，123，364，925。其中每一個數(shù)與商品編號，恰好在同一位上有一個相同的數(shù)字，那么這個三位數(shù)是_（1993年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：將五個數(shù)按百位、十位、個位上的數(shù)字分組比較，可發(fā)現(xiàn)：百位上五個數(shù)字都不同；十位上有兩個2和兩個6；個位上有兩個4和兩個5。故所求的數(shù)的個位數(shù)字一定是4或5，百位上一定是2或6。經(jīng)觀察比較，可知724符合要求。例2 給一本書編頁碼，共用了1500個數(shù)字，其中數(shù)字“3”共用了_個（首屆現(xiàn)代小學數(shù)學）邀請賽試題）講析：可先求出1500個

21、數(shù)字可編多少頁。從第一頁到第9頁，共用去9個數(shù)字；從第10頁到第99頁，共用去290=180（個）數(shù)字；余下的數(shù)字可編（1500-189）3=437（頁）所以，這本書共有536頁。l至99頁，共用20個“3”，從100至199頁共用20個“3”，從200至299頁共用20個“3”，從300至399頁共用去120個“3”，從400至499頁共用去20個“3”，從500到536頁共用去11個“3”。所以，共用去211個數(shù)字3。例3 在三位數(shù)中，數(shù)字和是5的倍數(shù)的數(shù)共有_個。（全國第四屆“華杯賽”決賽口試試題）講析：可把三位數(shù)100至999共900個數(shù)，從100起，每10個數(shù)分為一組，得（100，1

22、01、109），（110、111、119），（990、991、999）共分成了90組，而每組中有且只有兩個數(shù)的數(shù)字和是5的倍數(shù)，所以一共有290=180（個）。例4 有四個數(shù)，取其中的每兩個數(shù)相加，可以得到六個和。這六個和中最小的四個數(shù)是83、87、92、94，原因數(shù)中最小的是_。（上海市第五屆小學數(shù)學競賽試題）講析：設原四個數(shù)從小到大為a、b、c、d，則有a+b=83，a+c=87，所以c比b大4。而對于和為92和94時，或者是b+c=92，或者是b+c=94。當b+c=92時，因c比b大4，可得b=45，進而可求得a=38。當b+c=94時，因c比b大4，可得b=44，進而可求得a=39。

23、所以，原四數(shù)中最小的數(shù)是38或39。abcd=_（廣州市小學數(shù)學競賽試題）講析：原四位數(shù)增加8倍后得新的四位數(shù)，也就是原四位數(shù)乘以9，得新四位數(shù)（如圖5.29）。從而可知，a一定為1，否則積不能得四位數(shù)。則例6 有兩個兩位數(shù)，它們的個位數(shù)字相同，十位數(shù)字之和是11。這兩個數(shù)的積的十位數(shù)字肯定不會是哪兩個數(shù)字？（1990年小學生報小學數(shù)學競賽試題）講析：由題意可知，兩個數(shù)的十位上為（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），而個上則可以是0至9的任意一個數(shù)字。如果分別去求這兩個數(shù)的積，那是很麻煩的。設這兩個數(shù)的個位數(shù)字是c，十位數(shù)字分別為a、b，則a+b=11，兩數(shù)分別為（10a+c)，（1

24、0b+c）。字。能是6、8。例7 期的記法是用6個數(shù)字，前兩個數(shù)字表示年份，中間兩個數(shù)字表示月份，后兩個數(shù)字表示日（如1976年4月5日記為760405）。第二屆小學“祖杯賽”的競賽日期記為921129。這個數(shù)恰好左右對稱。因此這樣的日期是“吉祥日”。問：從87年9月1日到93年6月30日，共有_個吉祥日。（第二屆“祖沖之杯”小學數(shù)學競賽試題）講析：一個六位數(shù)從中間分開，要求左右對稱，則在表示月份的兩個數(shù)中，只有11月份。而且“年份”的個位數(shù)字只能是0、1、2。所以是共有3個吉祥日：901109、911119、921129。25、數(shù)的整除性規(guī)律【能被2或5整除的數(shù)的特征】（見小學數(shù)學課本，此處

25、略）【能被3或9整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當且僅當它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3和9整除時，這個數(shù)便能被3或9整除。例如，1248621各位上的數(shù)字之和是1+2+4+8+6+2+1=24324，則31248621。又如，372681各位上的數(shù)字之和是3+7+2+6+8+1=27927，則9372681?！灸鼙?或25整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當且僅當它的末兩位數(shù)能被4或25整除時，這個數(shù)便能被4或25整除。例如，173824的末兩位數(shù)為24，424，則4173824。43586775的末兩位數(shù)為75，2575，則2543586775。【能被8或125整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當且僅當它的末三位數(shù)字為

26、0，或者末三位數(shù)能被8或125整除時，這個數(shù)便能被8或125整除。例如，32178000的末三位數(shù)字為0，則這個數(shù)能被8整除，也能夠被125整除。3569824的末三位數(shù)為824，8824，則83569824。214813750的末三位數(shù)為750，125750，則125214813750?！灸鼙?、11、13整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當且僅當它的末三位數(shù)字所表示的數(shù)，與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)的差（大減小的差）能被7、11、13整除時，這個數(shù)就能被7、11、13整除。例如，75523的末三位數(shù)為523，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是75，523-75=448，4487=64，即7448，則775

27、523。又如，1095874的末三位數(shù)為874，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是1095，1095-874=221，22113=17，即13221，則131095874。再如，868967的末三位數(shù)為967，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是868，967-868=99，9911=9，即1199，則11868967。此外，能被11整除的數(shù)的特征，還可以這樣敘述：一個數(shù)，當且僅當它的奇數(shù)位上數(shù)字之和，與偶數(shù)位上數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除時，則這個數(shù)便能被11整除。例如，4239235的奇數(shù)位上的數(shù)字之和為4+3+2+5=14，偶數(shù)位上數(shù)字之和為2+9+3=14，二者之差為14-14=0，011=0

28、，即110，則114239235。26、數(shù)的公理、定理或性質(zhì)【小數(shù)性質(zhì)】小數(shù)的性質(zhì)有以下兩條：（1）在小數(shù)的末尾添上或者去掉幾個零，小數(shù)的大小不變。（2）把小數(shù)點向右移動n位，小數(shù)就擴大10n倍；把小數(shù)點向左移動n位，小數(shù)就縮小10n倍。【分數(shù)基本性質(zhì)】一個分數(shù)的分子和分母都乘以或者都除以同一不為零的數(shù)，分數(shù)的大小不變。即【去九數(shù)的性質(zhì)】用9去除一個數(shù)，求出商后余下的數(shù)，叫做這個數(shù)的“去九數(shù)”，或者叫做“9余數(shù)”。求一個數(shù)的“去九數(shù)”，一般不必去除，只要把該數(shù)的各位數(shù)字加起來，再減去9的倍數(shù)，就得到該數(shù)的“去九數(shù)”。（求法見本書第一部分“（四）法則、方法”“2運算法則或方法”中的“棄九驗算法”

29、詞條。）去九數(shù)有兩條重要的性質(zhì)：（1）幾個加數(shù)的和的去九數(shù)，等于各個加數(shù)的去九數(shù)的和的去九數(shù)。（2）幾個因數(shù)的積的去九數(shù)，等于各個因數(shù)的去九數(shù)的積的去九數(shù)。這兩條重要性質(zhì)，是用“棄九驗算法”驗算加、減、乘、除法的依據(jù)?！咀匀粩?shù)平方的性質(zhì)】（1）奇數(shù)平方的性質(zhì)。任何一個奇數(shù)的平方被8除余1。為什么有這一性質(zhì)呢？這是因為奇數(shù)都可以表示為2k+1的形式，k為整數(shù)。而（2k+1）2=4k2+4k+1=4k（k+1）+1k與k+1又是連續(xù)整數(shù)，其中必有一個是偶數(shù)，故4k（k+1）是8的倍數(shù)，能被8整除，所以“4k（k+1）+1”，即（2k+1）2能被8除余1，也就是任何一個奇數(shù)的平方被8除余1。例如，2

30、72=7297298=911（2）偶數(shù)平方的性質(zhì)。任何一個偶數(shù)的平方，都是4的倍數(shù)。這是因為偶數(shù)可以用2k（k為整數(shù)）表示，而（2k）24k2顯然，4k2是4的倍數(shù)，即偶數(shù)的平方為4的倍數(shù)。例如，2162=46656466564=11664即 4|46656【整數(shù)運算奇偶性】整數(shù)運算的奇偶性有以下四條：（1）兩個偶數(shù)的和或差是偶數(shù)；兩個奇數(shù)的和或差也是偶數(shù)。（2）一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的和或差是奇數(shù)。（3）兩個奇數(shù)之積為奇數(shù)；兩個偶數(shù)之積為偶數(shù)。（4）一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之積為偶數(shù)。由第（4）條性質(zhì)，還可以推廣到:若干個整數(shù)相乘，只要其中有一個整數(shù)是偶數(shù)，那么它們的積就是個偶數(shù)?！九紨?shù)運算性質(zhì)】偶數(shù)

31、運算性質(zhì)有：（1）若干個偶數(shù)的和或者差是偶數(shù)。（2）若干個偶數(shù)的積是偶數(shù)。例如，四個偶數(shù)38、126、672和1174的和，是偶數(shù)2010；用偶數(shù)相減的算式3756-128-294-1350的差，也是偶數(shù)1984。【奇數(shù)運算性質(zhì)】奇數(shù)運算性質(zhì)有：（1）奇數(shù)個奇數(shù)的和（差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（差）是偶數(shù)。（2）若干個奇數(shù)的積是奇數(shù)。27、數(shù)的大小概念【比較分數(shù)大小】用常規(guī)方法比較分數(shù)大小，有時候速度很慢。采用下述辦法，往往可大大提高解題的速度。（1）交叉相乘。把要比較大小的兩個分數(shù)的分子分母交叉相乘，然后2510， 33=9， 38=24， 55=25，之所以能這樣比較，是由于它們通分時，公

32、分母是分母的乘積。這時，分數(shù)的大小就只取決于分子的大小了。（2）用“1”比較。當兩個分數(shù)都接近1，又不容易確定它們的大小（4）化相同分子。把分子不同的分數(shù)化成同分子分數(shù)比較大小。有時序排列起來：（5）兩分數(shù)相除。用兩個分數(shù)相除，看它們的商是大于1還是小于1，往往能快速地找出它們的大小關系。由于這樣做，省略了通分的過程，所以顯然，將它們反過來相除，也是可以的：【巧比兩數(shù)大小】若甲、乙兩數(shù)間的關系未直接給出，比較它們的大小，有一定難度。這時，可按下面的辦法去做：（1）先看分子是1的情況。例如下題：第一種方法是直觀比較。先畫線段圖（圖4.4）：由對線段圖的直觀比較可知，乙數(shù)大于甲數(shù)。數(shù)?？芍?）再

33、看分子不是1的情況。例如下題：它同樣也可以用四種方法比較大小。比方用直觀比較方法，可畫線段圖如下（圖4.5）：由圖可知，甲數(shù)大于乙數(shù)。用統(tǒng)一分子的方法，也可比較它們的大小。因為用圖表示就是圖4.6：這就是說，把甲數(shù)分為9份，乙數(shù)分為8份，它們的6份相等。所以，它們每一份也相等。而甲數(shù)有9份，乙數(shù)只有8份，故甲數(shù)大于乙數(shù)。去，即可知道甲數(shù)大于乙數(shù)。如果用轉化關系式比較。由題意可知根據(jù)一個因數(shù)等于積除以另一個因數(shù)，可得28、數(shù)的大小比較【分數(shù)、小數(shù)大小比較】（全國第二屆“華杯賽”決賽口試試題）講析：這兩個分數(shù)如果按通分的方法比較大小，計算將非常復雜。于是可采用比較其倒數(shù)的辦法去解答。倒數(shù)大的數(shù)反而

34、較小。個數(shù)是_。（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：將給出的六個數(shù)分別寫成小數(shù)，并且都寫出小數(shù)點后面前四位數(shù)，則把這六個數(shù)按從大到小排列是：【算式值的大小比較】例1 設A=98765433456789； B=98765443456788。試比較A與B的大小。（1990年小學生數(shù)學報小學數(shù)學競賽試題）講析：可將A、B兩式中的第一個因數(shù)和第二個因數(shù)分別進行比較。這時，只要把兩式中某一部分變成相同的數(shù)，再比較不同的數(shù)的大小，這兩個算式的大小便能較容易地看出來了。于是可得A =9876543（34567881）=987654334567889876543；B =（98765431）3456

35、788=987654334567883456788；所以，AB。例2 在下面四個算式中，最大的得數(shù)是算式_。（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：如果直接把四個算式的值計算出來，顯然是很麻煩的，我們不妨運用化簡繁分數(shù)的方法，比較每式中相同位置上的數(shù)的大小。 比較上面四個算式的結果，可得出最大的得數(shù)是算式（3）。例3 圖5.1中有兩個紅色的正方形和兩個藍色正方形，它們的面積問：紅色的兩個正方形面積大還是藍色的兩個正方形面積大？（全國第四屆“華杯賽”決賽口試試題）講析： 方形放入大正方形中去的辦法，來比較它們的大?。ㄈ鐖D5.2）。所以，兩個藍色正方形的面積比兩個紅色正方形的面積大。29、

36、實踐與實際操作【最短路線】例1 一只螞蟻要從A處出發(fā)，經(jīng)粘合在一塊木板上的正方體（如圖5.74）的表面爬到B處。請你在圖上畫出最短的路線（看得見的畫實線，看不見的畫虛線），有幾條就畫幾條。（1990年“新苗杯”小學數(shù)學競賽試題）講析：可將正方體的幾個面，按正視位置的前面上面展開，前面右面展開，左面后面展開，左邊上面展開，其展開圖都是由兩個正方形面組成的長方形（如圖5.75所示）。根據(jù)兩點之間直線段最短的原理，故最短路線為每個長方形對角線，它們共有四條，如圖5.76所示。例2 請你在圖5.77（3）、（4）、（5）上畫出三種與圖（2）不一樣的設計圖，使它們折起來后，都成為圖（1）所示的長方形盒子

37、（粗線和各棱交于棱的中點）。（第四屆從小愛數(shù)學邀請賽試題）講析：解題的關鍵，是要分清實線與虛線，然后思考它們是按什么方式展開的。不難想象，其答案如圖（3）、（4）、（5）所示。【切分圖形】例1 請將圖5.78分成面積相等，形狀相同，且每一塊中都含有“數(shù)學競賽”字樣的四塊圖形。（“新苗杯”小學數(shù)學競賽試題）講析：從條件看，所分成的每一塊圖中，必須有四個小正方形，且只有五種（如圖5.79）。根據(jù)圖中漢字的具體位置，可發(fā)現(xiàn)圖5.79中圖（1）、圖（2）明顯不合，圖（3）、圖（4）也不能分成。于是只剩下圖（5）。進一步搜索，便可得到答案。答案如圖5.80所示。例2 在一張正方形紙上畫兩個三角形，最多可

38、以把這個正方形分成_塊，畫三個三角形，最多可以把這個正方形分成_塊；畫四個三角形，最多可以把這個正方形分成_塊。（1990年無錫市小學數(shù)學競賽試題）講析：可先找出規(guī)律。在正方形紙上，畫一個三角形，依次畫三條邊時，增加了（111）塊，最多可把它分成4塊；畫二個三角形，依次畫三條邊時，增加了（333）塊，共13塊；畫三個三角形，依次畫三條邊時，增加了（555）塊，共28塊，如圖5.81所示。由此推得，畫四個三角形，可增加（777）塊，最多，共49塊?！酒春蠄D形】例1 圖5.82是由圖5.83中的六塊圖形拼合而成的，其中圖放在中間一列的某一格。請在圖5.82中找出這六個圖形，并畫出來。（1993年全

39、國小學數(shù)學奧林匹克總決賽試題）講析：可先確定圖的位置。因為圖在中間的一列的某一格，當圖放在A、B、C處時，經(jīng)試驗，與其它五圖不能拼成圖5.82。當圖放在D處時，這六幅圖可以拼成圖5.82。拼法如圖5.84所示。 例2 7塊正方體積木堆在桌上。從東、南、西、北四個方向看去，所看到的一面都只有5個正方形，而且看到的圖案是一樣的。（如圖5.85）。那么從上面看下去，看到的圖形可能是什么樣的？請在圖5.86中正確的圖形下面打“”，錯誤的圖形下面打“”。（從小愛數(shù)學邀請賽第五屆試題） 講析：上面的七幅圖都是俯視圖。在看每幅圖是否正確時，關鍵是想象出將另兩塊積木，放在這五塊中哪兩塊的上面，然后分別從東西南

40、北四個方向去看，得出的圖形是否與圖5.85相吻合。經(jīng)試驗，得出的答案如圖5.86所示，即按從左往右，從上至下的位置，依次為、。省工省時問題例1 某車隊有4輛汽車，擔負A、B、C、D、E、F六個分廠的運輸任) N/ ?+ O# T- 5 U5 + s5 w（圖5.97所標出的數(shù)是各分廠所需裝卸工人數(shù)）。若各分廠自派裝卸工，則共需33人。若讓一部分人跟車裝卸，在需要裝卸工人數(shù)較多的分廠再配備一個或幾個裝卸工，那么如何安排才能既保證各分廠所需工人數(shù)，又使裝卸工人數(shù)最少？( h# Y. 8 A, R, m 運籌1.jpg (2.91 KB)2008-9-5 11:25 （1990年小學生報小學數(shù)學競賽

41、試題）9 F5 p7 A w9 r3 t; B4 G; c講析：可從需要工人數(shù)最少的E分廠著手。假定每輛車上配備3人，則需在D、C、B、A、F五處分別派1、5、2、3、4人，共需27人。* Z3 d, m7 Q6 s. H/ 若每車配備4人，則需在C、B、A、F四處分別派4、1、2、3人，共需26人。# u; t% t S4 n) d, Y1 * d若每車配備5人，則需在C、A、F三處分別派3、1、2人，共需26人。1 d2 ; q8 n7 J: 8 E d所以，上面的第二、三種方案均可，人數(shù)為26人。& WD4 p4 u. a) 4 k E) w e3 c例2 少先隊員在植樹中，每人植樹2棵

42、。如果一個人挖一個樹坑需要25分鐘，運樹苗一趟（最多可運4棵）需要20分鐘，提一桶水（可澆4棵樹）需要10分鐘，栽好一棵樹需要10分鐘，現(xiàn)在以兩個人為一個小組進行合作，那么，完成植樹任務所需的最短時間是_分鐘。3 J2 f$ j+ E( ?9 Y! m（福州市鼓樓區(qū)小學數(shù)學競賽試題）& Y& p# S P. I! r7 I# Z講析：可將甲、乙兩人同時開始勞動的整個過程安排，用圖5.98來表示出來。5 g1 d; d) y1 x- ?- o, O6 J 運籌2.jpg (9.43 KB)2008-9-5 11:25由圖可知，完成任務所需的最短時間，是85分鐘。0 h2 Q* h0 D4 A,

43、g1 I$ A例3 若干箱同樣的貨物總重19.5噸，只知每箱重量不超過353千克。今有載重量為1.5噸的汽車，至少需要_輛，才能保證把這些貨物一次全部運走。（箱子不能拆開）/ x- |$ m+ ! p% p（北京市第七屆“迎春杯”小學數(shù)學競賽試題）$ g. + T0 _) j- O講析：關鍵是要理解“至少幾輛車，才能保證一次運走”的含義。也就是說，在最大浪費車位的情況下，最少要幾輛車。- P7 n8 z: O1 W+ N這堆貨物箱數(shù)至少有：2 v% - b 6 B s: A) e1950035355.256（箱）；; l- 0 8 b: z8 V7 一輛汽車每次最多能裝的箱數(shù)：- M3 - y

44、6 y) $ ; s. y; l F15003534.24（箱）。- t# D8 S2 0 D/ G3 j 一次全部運走所有貨物，至少需要汽車564=14（輛）。8 u 3 l+ bqZ4 o例4 如圖5.99，一條公路（粗線）兩側有7個工廠（01、02、07），通過小路（細線）分別與公路相連于A、B、C、D、E、F點?，F(xiàn)在要設置一個車站，使各工廠（沿小路和公路走）的距離總和越小越好。這個車站應設在一_點。6 m4 m1 p) C* m. i, d9 t; 4 d（1992年福州市小學數(shù)學競賽試題）7 E6 xu* . C E* a/ 6 x 運籌3.jpg (5.74 KB)2008-9-5

45、 11:25講析：從各工廠到車站，總是先走小路，小路的總長不變，所以問題可轉化為：“在一條公路上的A、B、C、D、E、F處各有一個工廠，D處有兩個工廠。要在公路上設一個站，使各廠到車站的距離總和最?。ㄈ鐖D5.100）。; D& Q6 |9 Y; d# ?# m 運籌4.jpg (2.71 KB)2008-9-5 11:25顯然，車站應設在盡量靠七個廠的中間部位。- s9 ? |3 ) q$ S1 如果車站設在D處，則各廠到D總長是：6 K5 j7 X- P4 W; e（DADF）（DBDE）DC=AFBEDC；0 R: y* t4 A- f: ?) l如果車站設在C處，則各廠到C總長是1 m9

46、 A7 m2 G7 v# I7 Z% J0 P% O（CACF）（BCCE）2DCAFBE2DC。9 k6 h1 z4 k! f2 Gk比較上面兩個式子得：當車站設在D處時，七廠到車站的距離總和最小。8 S. E2 z0 2 + P0 o. P; _# 【費用最少問題】% N7 Q/ 8 H+ p9 z例1 在一條公路上每隔100千米有一個倉庫（如圖5.101），共有五個倉庫。一號倉庫存有10噸貨物，二號倉庫存有20噸貨物，五號倉庫存有40噸貨物，其余兩個倉庫是空的。現(xiàn)在想把所有的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸1千米需要0.5元的運費，那么最少要花多少運費才行？$ I/ 5 S%

47、x8 H: a. % e- p8 B（全國第一屆“華杯賽”復賽試題）$ F+ 5 m Q x 運籌5.jpg (4.66 KB)2008-9-5 11:25講析：這類問題思考時，要盡量使運這些貨物的噸千米數(shù)的和最小。處理的方法是：“小往大處靠”。/ K* m9 ?- G2 R6 E因為第五個倉庫有40噸，比第一、二倉庫貨物的總和還多。所以，盡量把第五個倉庫的貨不動或者動得最近。. ? f: n) r; z9 J5 V. p當存放站設在第四倉庫時，一、二、五倉庫貨物運輸?shù)膰嵡讛?shù)為：8 K, G4 2 O5 D& |9 b0 I+ o- y* l103002020040100=11000；% q

48、& H$ z! M. b2 z7 . v) l! Z當存放站設在第五倉庫時，一、二倉庫貨物運輸?shù)膰嵡讛?shù)為：% l3 Q; ) z J% v: T4 U10400+20300=10000。$ K: B6 2 B g0 Z3 T2 v$ p* ?所以，存放點應設在第五號倉庫，運費最少。運費是0.510000=5000（元）。9 M8 b) w9 z! X: y4 y* J6 例2 有十個村，坐落在從縣城出發(fā)的一條公路上（如圖（5.102，單位：千米），要安裝水管，從縣城送自來水到各村，可用粗細兩種水管，粗管足夠供應所有各村用水，細管只能供一個村用水，粗管每千米要用8千元，細管每千米要用2千元。把

49、粗管細管適當搭配，互相連接，可降低工程總費用。按最節(jié)省的辦法，費用應是多少？7 ?& Z5 D/ i4 i8 S6 （全國第一屆“華杯賽”決賽第二試試題）$ Jy; M+ Q I, * Y5 b1 運籌6.jpg (3.5 KB)2008-9-5 11:25講析：因為粗管每千米的費用是細管的4倍，所以應該在需要安裝四根或四根以上水管的地段，都應安裝粗管。因此，只有到最后三個村安裝細管，費用才最省。: e( O: Y3 L5 i8 Q: 不難求出，最少費用為414000元。 S# k0 f: Z4 X. n1 o- N% 30、容斥原理問題 例1 在1至1000的自然數(shù)中，不能被5或7整除的數(shù)有

50、_個。（莫斯科市第四屆小學數(shù)學競賽試題）講析：能被5整除的數(shù)共有10005=200（個）；能被7整除的數(shù)共有10007=142（個）6（個）；同時能被5和7整除的數(shù)共有100035=28（個）20（個）。所以，能被5或7整除的數(shù)一共有（即重復了的共有）：20014228=314（個）；不能被5或7整除的數(shù)一共有1000314=686（個）。例2 某個班的全體學生進行短跑、游泳、籃球三個項目的測試，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一個項目達到了優(yōu)秀。這部分學生達到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表： 求這個班的學生人數(shù)。（全國第三屆“華杯賽”復賽試題）講析：如圖5.90，圖中三個圓圈分別表示短跑、游泳和籃球達到優(yōu)秀級的學生人數(shù)。 只有籃球一項達到優(yōu)秀的有1565+2=6（人）；只有游泳一項達到優(yōu)秀的有1866+2=8（人）；只有短跑一項達到優(yōu)秀的有17652=8（人）。獲得兩項或者三項優(yōu)秀的有66+522=13（人）。另有4人一項都沒獲優(yōu)秀。所以，這個班學生人數(shù)是136884=39（人）。31、奇數(shù)偶數(shù)與奇偶性分析【奇數(shù)和偶數(shù)】例1 用l、2、3、4、5這五個數(shù)兩兩相乘，可以得到10個不同的乘積。問乘積中是偶數(shù)多還是奇