第12講微分及運(yùn)算法則

1、第12講 微分概念及其運(yùn)算法則授課題目微分概念及其運(yùn)算法則教學(xué)內(nèi)容1. 微分的概念；2. 微分的運(yùn)算法則； 3. 高階微分；4. 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用教學(xué)目的和要求通過本次課的教學(xué)，使學(xué)生能較好地掌握微分的概念，微分的運(yùn)算法則，一階微分形式的不變性，了解高階微分的概念.教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：微分的概念，一階微分形式的不變性；教學(xué)難點(diǎn)：高階微分.教學(xué)方法及教材處理提示(1)本講的重點(diǎn)是掌握微分的概念，要講清微分是全增量的線性主部，講清函數(shù)可微分與可導(dǎo)是等價(jià)；(2)本講的難點(diǎn)是高階微分，可要求較好學(xué)生掌握這些概念.(3)通過實(shí)際問題計(jì)算講述微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用作業(yè)布置作業(yè)內(nèi)容：教材 :1，2

2、（2，4，6），4（1，2），7（1，2）.講授內(nèi)容一、 微分的概念 定義1 設(shè)函數(shù)定義在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)當(dāng)給一個(gè)增量，時(shí)，相應(yīng)地得到函數(shù)的增量為. 如果存在常數(shù)，使得能表示成則稱函數(shù)在點(diǎn)可微，并稱上式中的第一項(xiàng)為在點(diǎn)的微分，記作 或 . 由定義可見，函數(shù)的微分與增量僅相差一個(gè)關(guān)于的高階無窮小量，由于是的線性函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，也說微分是增量的線性主部 定理510 函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，而且常數(shù)等于 證：必要性 若在點(diǎn)可微，由(1)式有，取極限后有，這就證明了在點(diǎn)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)等于 充分性 若在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)的有限增量公式表明函數(shù)增量可表示為的線性部分與較高階的無窮小量之和，所以在點(diǎn)可微，

3、且有 微分的幾何解釋如圖5-9所示當(dāng)自變量由增加到時(shí)，函數(shù)增量，而微分則是在點(diǎn)處的切線上與所對(duì)應(yīng)的增量，并且，所以當(dāng)時(shí)， . 若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都可微，則稱為上的可微函數(shù)函數(shù)在上任一點(diǎn)歷處的微分記作，它不僅依賴于，而且也依賴于特別當(dāng)時(shí)，這表示自變量的微分就等于自變量的增量于是可改寫為:，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的積比如；.如果寫成那么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就等于函數(shù)微分與自變量微分的商因此，導(dǎo)數(shù)也常稱為微商在這以前，總把作為一個(gè)運(yùn)算記號(hào)的整體來看待，有了微分概念之后，也不妨把它看作一個(gè)分式了二、微分的運(yùn)算法則 由導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，我們能立刻推出如下微分運(yùn)算法則：1； 2；3.；4其中在4式

4、中，由于，所以它也可寫作這與(4)式在形式上完全相同，即(4)式不僅在為自變量時(shí)成立，當(dāng)它是另可微函數(shù)的因變量時(shí)也成立這個(gè)性質(zhì)通常稱為一階微分形式的不變性例1 求的微分. 解： . 例2 求的微分. 解： 由一階微分形式不變性，可得 .三、高階微分 我們知道函數(shù)的一階微分是，其中變量和是相互獨(dú)立的現(xiàn)將一階微分只作為的函數(shù)，若二階可導(dǎo)，那么對(duì)自變量的微分 ，或?qū)懽? 稱它為函數(shù)的二階微分 注：這里是指；表示的二階微分；而則表示的一階微分三者不能混淆 一般地，階微分是，階微分的微分，記作，即.若將它寫成時(shí)，就和階導(dǎo)數(shù)的記法一致了對(duì)的階微分均稱為高階微分 例3 設(shè)，求.解：由得，得四、微分在近似計(jì)算

5、中的應(yīng)用 1函數(shù)的近似計(jì)算由函數(shù)增量與微分關(guān)系，當(dāng)很小時(shí)，有，由此即得，或當(dāng)時(shí)有 .注意：在點(diǎn)的切線方程即為 ，幾何意義就是當(dāng)充分接近時(shí)，可用切線近似替代曲線(“以直代曲”)常用這種線性近似的思想來對(duì)復(fù)雜問題進(jìn)行簡化處理 設(shè)分別是，和，令，則可得這些函數(shù)在原點(diǎn)附近的近似公式：； ； ； 例4 求的近似值解：由于，因此取，,得到. 例5 設(shè)鐘擺的周期是1秒，在冬季擺長至多縮短cm，試問此鐘每天至多快幾秒？解：由物理學(xué)知道，單擺周期與擺長的關(guān)系為，其中是重力加速度已知鐘擺周期為1秒，故此擺原長為.當(dāng)擺長最多縮短0.01 cm時(shí)，擺長的增量001，它引起單擺周期的增量 這就是說，加快約0.0002秒，因此每天大約加快(秒)2誤差估計(jì)設(shè)量是由測(cè)量得到，量由函數(shù)經(jīng)過計(jì)算得到在測(cè)量時(shí)，由于存在測(cè)量誤差，實(shí)際測(cè)得的只是的某一近似值，因此由算得的也只是的一個(gè)近似值若已知測(cè)量值的誤差限為(它與測(cè)量工具的精度有關(guān))，即則當(dāng)很小時(shí)， ， 而相對(duì)誤差限則為.例6 設(shè)測(cè)得一