第一章計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)

1、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)一、隨機(jī)變量的概率分布1隨機(jī)變量隨機(jī)變量是指取值具有隨機(jī)性的變量。隨機(jī)變量有兩種：離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量。2離散隨機(jī)變量的概率分布（1）概率函數(shù)通常用一個(gè)二維表格直觀描述離散隨機(jī)變量X的概率分布：XP其中，（2）分布函數(shù)累計(jì)分布概率：3連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布（1）概率函數(shù)用概率密度函數(shù)描述，它滿足以下性質(zhì)：；（2）分布函數(shù)累計(jì)分布函數(shù) ；另有：二、隨機(jī)變量的數(shù)字特征（分布參數(shù)）1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 記為或 對(duì)于離散變量，；對(duì)于連續(xù)變量，性質(zhì)： 2方差方差 記為或 性質(zhì)：；.3標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）標(biāo)準(zhǔn)差 4矩矩 稱為變量X的階矩，時(shí)就是X的期望。5協(xié)方差協(xié)方差用于度量?jī)蓚€(gè)

2、變量的線性相關(guān)程度，記為或； .意味著兩個(gè)變量同方向變動(dòng)，稱之為正相關(guān)；稱之為負(fù)相關(guān)；稱之為不相關(guān)。相關(guān)系數(shù) ；.如果獨(dú)立，那么，三、樣本統(tǒng)計(jì)量1總體和樣本所謂總體就是一個(gè)隨機(jī)變量X，X的分布函數(shù)通常記為，其中就是待估計(jì)的參數(shù)。在進(jìn)行n次重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)后，得到總體X的n個(gè)觀察值，而在實(shí)驗(yàn)之前，實(shí)際上是相互獨(dú)立均與總體X同分布的n個(gè)隨機(jī)變量。稱為總體X的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本；稱為樣本的一個(gè)觀察值，簡(jiǎn)稱樣本值。2常見的樣本統(tǒng)計(jì)量l 統(tǒng)計(jì)量的概念設(shè)是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，若隨機(jī)變量的函數(shù)中不含有任何未知參數(shù)，則稱為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。注意：統(tǒng)計(jì)量本身是一個(gè)隨機(jī)變量；其值可由樣本值計(jì)算出來(lái)。l 最常

3、見的統(tǒng)計(jì)量有：樣本均值 ；樣本方差；樣本標(biāo)準(zhǔn)差；樣本k階原點(diǎn)矩 ；樣本k階中心矩 。假設(shè)，是某個(gè)X和Y聯(lián)合分布的樣本，那么樣本協(xié)方差 樣本相關(guān)系數(shù) 四、抽樣分布1幾個(gè)常用分布l 正態(tài)分布定義：如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為、的正態(tài)分布，通常記為XN(m,s2)。令，那么服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，l 卡方分布假設(shè)n維向量XN(0,)，那么；l t-分布假設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量ZN(0,1)， Y ，那么 l F-分布假設(shè)和是兩個(gè)獨(dú)立的卡方分布，那么2樣本均值的分布總體X N(m,s2)樣本 N(m,s2)則： N(m,s2/n)3樣本方差的分布4樣本均方差的分布四、區(qū)間估計(jì)l 臨界

4、值的概念設(shè)的分布函數(shù)為，滿足，則稱為的臨界值。對(duì)稱分布的臨界值 非對(duì)稱分布的臨界值 l 區(qū)間估計(jì)對(duì)于參數(shù)，如果有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量,，滿足對(duì)給定的，有則稱區(qū)間，是的一個(gè)區(qū)間估計(jì)或置信區(qū)間，、分別稱作置信下限、置信上限，稱為置信水平。置信水平為1-，在實(shí)際上可以這樣理解:如取，就是說(shuō)若對(duì)某一參數(shù)取100個(gè)容量為的樣本，用相同方法做100個(gè)置信區(qū)間。，=1,2,100,那么其中有95個(gè)區(qū)間包含了真參數(shù)因此,當(dāng)實(shí)際上只做一次區(qū)間估計(jì)時(shí)，我們有理由認(rèn)為它包含了真參數(shù)。這樣判斷當(dāng)然也可能犯錯(cuò)誤，但犯錯(cuò)誤的概率只有5%。尋找置信區(qū)間的通常方法是從已知抽樣分布的統(tǒng)計(jì)量，如上文提到的U，X和T入手，由于分布和概率已知

5、，只要確定臨界值就可以了。單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)為的樣本，對(duì)給定的置信水平，求 參數(shù)和方差的區(qū)間估計(jì)。情況1（已知）由于，所以容易找到臨界值，使得，那么的區(qū)間估計(jì)是：。情況 2（未知）情況 3（的區(qū)間估計(jì)）五、假設(shè)檢驗(yàn)l 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，假設(shè)檢驗(yàn)是這樣一個(gè)過(guò)程：對(duì)未知總體，先作出某種假設(shè)，然后利用樣本提供的信息，對(duì)這一假設(shè)的合理性進(jìn)行檢驗(yàn)，從而確定接受或拒絕這一假設(shè)。在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，有兩點(diǎn)值得注意： 反證法思想?！靶「怕适录痹谝淮螌?shí)驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生。l 假設(shè)檢驗(yàn)的步驟第一步，建立假設(shè)； 這里稱為原假設(shè)，稱為備擇假設(shè)。注意：在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)與備選假設(shè)的地位是不對(duì)等的。一

6、般來(lái)說(shuō)是較小的，因而檢驗(yàn)推斷是“偏向”原假設(shè)，而“歧視”備選假設(shè)的。既然是受保護(hù)的，則對(duì)于的肯定相對(duì)來(lái)說(shuō)是較缺乏說(shuō)服力的，充其量不過(guò)是原假設(shè)與試驗(yàn)結(jié)果沒有明顯矛盾；反之，對(duì)于的否定則是有力的，且越小，小概率事件越難于發(fā)生，一旦發(fā)生了，這種否定就越有力，也就越能說(shuō)明問(wèn)題。在應(yīng)用中，如果要用假設(shè)檢驗(yàn)說(shuō)明某個(gè)結(jié)論成立，那么最好設(shè)為該結(jié)論不成立。第二步，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，求出統(tǒng)計(jì)量的樣本分布以及由樣本觀察值算出其具體值。統(tǒng)計(jì)量 在成立的條件下，對(duì)應(yīng)的具體值記為。第三步，根據(jù)備擇假設(shè)構(gòu)造出對(duì)不利的小概率事件在給定顯著性水平下，確定臨界值，構(gòu)造出拒絕域。在一個(gè)問(wèn)題中，通常指定一個(gè)正數(shù)（），認(rèn)為概率不超過(guò)的事件是在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生的事件，稱為顯著性水平。=0.05，算出臨界值。，這里V是拒絕域，它是使得這一小概率事件發(fā)生的樣本空間的點(diǎn)的全體。第四步，得出結(jié)論方法1：根據(jù)計(jì)算出來(lái)的值，看樣本是否落在內(nèi)，若落在內(nèi)，則拒絕，否則,不能拒絕。如果，則稱能以的顯著性水平拒絕零假設(shè)；否則，不能拒