圓與方程知識(shí)點(diǎn)整理

1、關(guān)于圓與方程的知識(shí)點(diǎn)整理一、標(biāo)準(zhǔn)方程1.求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法關(guān)鍵是求出圓心和半徑待定系數(shù)：往往已知圓上三點(diǎn)坐標(biāo)，例如教材例2利用平面幾何性質(zhì)往往涉及到直線與圓的位置關(guān)系，特別是：相切和相交相切：利用到圓心與切點(diǎn)的連線垂直直線相交：利用到點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理2.特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)法（無(wú)需記，關(guān)鍵能理解）條件 方程形式圓心在原點(diǎn) 過(guò)原點(diǎn) 圓心在軸上 圓心在軸上 圓心在軸上且過(guò)原點(diǎn) 圓心在軸上且過(guò)原點(diǎn) 與軸相切 與軸相切 與兩坐標(biāo)軸都相切 二、一般方程1.表示圓方程則2.求圓的一般方程一般可采用待定系數(shù)法：如教材例43.?？捎脕?lái)求有關(guān)參數(shù)的范圍三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：點(diǎn)到圓心的距

2、離與半徑的大小關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓外2.涉及最值：（1）圓外一點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)，討論的最值（2）圓內(nèi)一點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)，討論的最值 思考：過(guò)此點(diǎn)作最短的弦？（此弦垂直）四、直線與圓的位置關(guān)系1.判斷方法（為圓心到直線的距離）（1）相離沒(méi)有公共點(diǎn)（2）相切只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）相交有兩個(gè)公共點(diǎn)這一知識(shí)點(diǎn)可以出如此題型：告訴你直線與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的范圍.2.直線與圓相切（1）知識(shí)要點(diǎn)基本圖形主要元素：切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程、切線長(zhǎng)等問(wèn)題：直線與圓相切意味著什么？圓心到直線的距離恰好等于半徑（2）常見(jiàn)題型求過(guò)定點(diǎn)的切線方程切線條數(shù)點(diǎn)在圓外兩條；點(diǎn)在圓上一條；點(diǎn)在圓內(nèi)無(wú)求切線方程的方法及注意點(diǎn)i

3、）點(diǎn)在圓外如定點(diǎn)，圓：，第一步：設(shè)切線方程第二步：通過(guò)，從而得到切線方程特別注意：以上解題步驟僅對(duì)存在有效，當(dāng)不存在時(shí)，應(yīng)補(bǔ)上千萬(wàn)不要漏了！如：過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線方程.答案：和ii）點(diǎn)在圓上1） 若點(diǎn)在圓上，則切線方程為會(huì)在選擇題及填空題中運(yùn)用，但一定要看清題目.2） 若點(diǎn)在圓上，則切線方程為碰到一般方程則可先將一般方程標(biāo)準(zhǔn)化，然后運(yùn)用上述結(jié)果. 由上述分析，我們知道：過(guò)一定點(diǎn)求某圓的切線方程，非常重要的第一步就是判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，得出切線的條數(shù).求切線長(zhǎng)：利用基本圖形，求切點(diǎn)坐標(biāo)：利用兩個(gè)關(guān)系列出兩個(gè)方程3.直線與圓相交（1）求弦長(zhǎng)及弦長(zhǎng)的應(yīng)用問(wèn)題垂徑定理及勾股定理常用弦長(zhǎng)公式：（暫

4、作了解，無(wú)需掌握）（2）判斷直線與圓相交的一種特殊方法（一種巧合）：直線過(guò)定點(diǎn)，而定點(diǎn)恰好在圓內(nèi).（3）關(guān)于點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題例：若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是_. 答案：4.直線與圓相離會(huì)對(duì)直線與圓相離作出判斷（特別是涉及一些參數(shù)時(shí)）五、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題1.若圓，關(guān)于直線，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi).答案：3（注意：時(shí)，故舍去）變式：已知點(diǎn)是圓:上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在圓上，則實(shí)數(shù)_.2.圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的曲線方程是_.變式：已知圓：與圓：關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則直線的方程為_(kāi).3.圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的曲線方程是_.4.已知直線：與圓：，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)使自發(fā)出的光線被直線反射后與圓相切于點(diǎn)？若存在

5、，求出的值；若不存在，試說(shuō)明理由.六、最值問(wèn)題方法主要有三種：（1）數(shù)形結(jié)合；（2）代換；（3）參數(shù)方程1.已知實(shí)數(shù)，滿足方程，求：（1）的最大值和最小值；看作斜率（2）的最小值；截距（線性規(guī)劃）（3）的最大值和最小值.兩點(diǎn)間的距離的平方2.已知中，點(diǎn)是內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求以，為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值和最小值.數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！3.設(shè)為圓上的任一點(diǎn)，欲使不等式恒成立，則的取值范圍是_. 答案：（數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可?。┢?、圓的參數(shù)方程，為參數(shù)，為參數(shù)八、相關(guān)應(yīng)用1.若直線（，），始終平分圓的周長(zhǎng)，則的取值范圍是_.2.已知圓：，問(wèn)：是否存在斜率為1的直線，使被圓截得的

6、弦為，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若存在，寫(xiě)出直線的方程，若不存在，說(shuō)明理由. 提示：或弦長(zhǎng)公式. 答案：或3.已知圓：，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo).4.已知圓：，直線：（）（1）證明：不論取什么值，直線與圓均有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）求其中弦長(zhǎng)最短的直線方程.5.若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍.6.已知圓與直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.九、圓與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：幾何法（為圓心距）（1）外離 （2）外切（3）相交 （4）內(nèi)切（5）內(nèi)含2.兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.補(bǔ)充說(shuō)明：若與相切，

7、則表示其中一條公切線方程；若與相離，則表示連心線的中垂線方程.3圓系問(wèn)題（1）過(guò)兩圓：和：交點(diǎn)的圓系方程為（）說(shuō)明：1）上述圓系不包括；2）當(dāng)時(shí)，表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程（公共弦）（2）過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為（3）有關(guān)圓系的簡(jiǎn)單應(yīng)用（4）兩圓公切線的條數(shù)問(wèn)題相內(nèi)切時(shí)，有一條公切線；相外切時(shí)，有三條公切線；相交時(shí)，有兩條公切線；相離時(shí)，有四條公切線（數(shù)學(xué)2必修）第四章 圓與方程1一、選擇題圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為 ( ) A BCD2若為圓的弦的中點(diǎn)，則直線的方程是（ ） A. B. C. D. 3圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值是（ ）A B C D4將直線，沿軸向左平移個(gè)單位，所得直線與圓相

8、切，則實(shí)數(shù)的值為（）ABCD5在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)距離為，且與點(diǎn)距離為的直線共有（ ）A條 B條C條 D條6圓在點(diǎn)處的切線方程為（ ）A B C D二、填空題1若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，則此直線在軸上的截距是_ _.2由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 。3圓心在直線上的圓與軸交于兩點(diǎn),則圓的方程為 . 已知圓和過(guò)原點(diǎn)的直線的交點(diǎn)為則的值為_(kāi)。5已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線，是切點(diǎn)，是圓心，那么四邊形面積的最小值是_。三、解答題1點(diǎn)在直線上，求的最小值。2求以為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程。3求過(guò)點(diǎn)和且與直線相切的圓的方程。4已知圓和軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，求圓的方

9、程。 （數(shù)學(xué)2必修）第四章 圓與方程一、選擇題1若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為,則實(shí)數(shù)的值為（ ）A或 B或 C或 D或2直線與圓交于兩點(diǎn)，則（是原點(diǎn)）的面積為（ ） ABCD3直線過(guò)點(diǎn)，與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，斜率的取值范圍是( )A B CD4已知圓C的半徑為，圓心在軸的正半軸上，直線與圓C相切，則圓C的方程為（ ）AB CD 5若過(guò)定點(diǎn)且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的斜率是（）ABCD二、填空題1直線被曲線所截得的弦長(zhǎng)等于 2圓：的外有一點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引切線的長(zhǎng)_ 2 對(duì)于任意實(shí)數(shù)，直線與圓的位置關(guān)系是_ _4動(dòng)圓的

10、圓心的軌跡方程是 .為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為_(kāi).三、解答題求過(guò)點(diǎn)向圓所引的切線方程。求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)。已知實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍。已知兩圓，求（1）它們的公共弦所在直線的方程；（2）公共弦長(zhǎng)。（數(shù)學(xué)2必修）第四章 圓與方程一、選擇題1圓：和圓：交于兩點(diǎn)，則的垂直平分線的方程是（ ）A. B C D2 方程表示的曲線是（ ）A一個(gè)圓 B兩個(gè)半圓 C兩個(gè)圓 D半圓3已知圓：及直線，當(dāng)直線被截得的弦長(zhǎng)為時(shí)，則（ ）A B C D4圓的圓心到直線的距離是（ ）ABC D5直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為（ ）A B C D 6圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（ ）A6 B4 C5 D

11、1 7兩圓和的位置關(guān)系是（ ）A相離 B相交 C內(nèi)切 D外切二、填空題1若點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 2若曲線與直線始終有交點(diǎn)，則的取值范圍是_；若有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是_；若有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是_；把圓的參數(shù)方程化成普通方程是_已知圓的方程為，過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，若使最小，則直線的方程是_。如果實(shí)數(shù)滿足等式，那么的最大值是_。6過(guò)圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則直線的方程為_(kāi) _。三、解答題1求由曲線圍成的圖形的面積。2設(shè)求的最小值。3求過(guò)點(diǎn)且圓心在直線上的圓的方程。4平面上有兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓周上，求使取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。第四章 圓和方程 基礎(chǔ)訓(xùn)練A組一、選擇題 1.A 關(guān)于原

12、點(diǎn)得，則得2.A 設(shè)圓心為，則3.B 圓心為4.A 直線沿軸向左平移個(gè)單位得圓的圓心為5.B 兩圓相交，外公切線有兩條6.D 的在點(diǎn)處的切線方程為二、填空題1. 點(diǎn)在圓上，即切線為2. 3. 圓心既在線段的垂直平分線即，又在 上，即圓心為，4. 設(shè)切線為，則5. 當(dāng)垂直于已知直線時(shí)，四邊形的面積最小三、解答題1.解：的最小值為點(diǎn)到直線的距離 而，。2.解： 得3.解：圓心顯然在線段的垂直平分線上，設(shè)圓心為，半徑為，則，得，而。4.解：設(shè)圓心為半徑為，令而，或圓和方程 綜合訓(xùn)練B組一、選擇題 1.D 2.D 弦長(zhǎng)為，3.C ，相切時(shí)的斜率為4.D 設(shè)圓心為5.A 圓與軸的正半軸交于6.D 得三角形的三邊，得的角 二、填空題1. ，2. 3.相切或相交 ；另法：直線恒過(guò)，而在圓上4. 圓心為，令 5. 三、解答題1.解：顯然為所求切線之一；另設(shè)而或?yàn)樗蟆?.解：圓心為，則圓心到直線的距離為，半徑為 得弦長(zhǎng)的一半為，即弦長(zhǎng)為。3.解：令則可看作圓上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的連線的斜率 而相切時(shí)的斜率為，。4.解：（1）；得：為公共弦所在直線的方程；（2）弦長(zhǎng)的一半為，公共弦長(zhǎng)為。第四章 圓和方程 提高訓(xùn)練C組一、選擇題 1.C 由平面幾何知識(shí)知的垂直平分線就是連心線2.B 對(duì)分類(lèi)討論得兩種情況 3.C 4.A 5.C 直線的傾斜角為，得等邊三角形6.B 7.B